La posición y el espacio momentum, Posición y el momento espacios en mecánica cuántica, Relación entre el espacio y el espacio recíproco, Unitaria equivalencia entre la posición y operador de momento, Espacio recíproco y cristales





En la física y la geometría, hay dos espacios vectoriales entrelazadas.

Posición espacio es el conjunto de todos los vectores de posición r de un objeto en el espacio. El vector de posición define un punto en el espacio. Si el vector de posición varía con el tiempo se va a trazar una ruta de acceso o de la superficie, tales como la trayectoria de una partícula.

Espacio Momentum o espacio k es el conjunto de todos los vectores de onda k, asociada con partículas - libre y unida. Los términos "impulso" y "vector de onda" se utilizan de manera intercambiable, debido a la relación De Broglie p = hk, lo que significa que son equivalentes hasta proporcionalidad, aunque esto no es cierto en un cristal, ver a continuación.

Este es un ejemplo de la dualidad de Pontryagin.

El vector de posición r tiene dimensiones de longitud, la k-vector tiene dimensiones de longitud recíproco, por lo que K es el análogo de frecuencia de R, tal como frecuencia angular? es la cantidad analógica inversa y frecuencia de tiempo t. Los fenómenos físicos pueden ser descritas usando las posiciones de partículas, o sus momentos, ambas formulaciones equivalentemente proporcionan la misma información sobre el sistema en consideración. Por lo general, r es más intuitivo y más simple que k, aunque lo contrario también es cierto, tal como en la física de estado sólido.

Posición y el momento espacios en mecánica cuántica

En la física cuántica, una partícula se describe por un estado cuántico. Este estado cuántico puede ser representado como una superposición de estados básicos. En principio, uno es libre de elegir el conjunto de estados básicos, siempre que abarcan el espacio. Si se opta por las funciones propias del puesto de operador de un conjunto de funciones de base, se habla de un estado como una función de onda? posición en el espacio. La ecuación de Schrödinger familiar en términos de la posición r es un ejemplo de la mecánica cuántica en la representación posición.

Por la elección de las funciones propias de un operador diferente como un conjunto de funciones de base, se puede llegar a un número de diferentes representaciones del mismo estado. Si uno escoge las funciones propias del operador de momento como un conjunto de funciones de base, la función de onda f resultante se dice que la función de onda en el espacio impulso.

Relación entre el espacio y el espacio recíproco

La representación de los impulsos de una función de onda está muy estrechamente relacionado con la transformada de Fourier y el concepto de dominio de la frecuencia. Dado que una partícula mecánica cuántica tiene una frecuencia proporcional al momento, que describe la partícula como una suma de sus componentes del momento es equivalente a describir como una suma de componentes de frecuencia. Esto queda claro cuando nos preguntamos cómo podemos transformar de una representación a otra.

Funciones y operadores en el espacio posición

¿Supongamos que tenemos una función de onda en tres dimensiones en el espacio, posición, entonces podemos escribir esto funciona como una suma ponderada de funciones base ortogonales j?:

o, en el caso continuo, como una integral

Está claro que si se especifica el conjunto de funciones? J, decimos como el conjunto de funciones propias del operador de momento, la función f tiene toda la información necesaria para reconstruir? y por lo tanto es una descripción alternativa para el Estado?.

En la mecánica cuántica, el operador de momento está dada por

 con el dominio apropiado. Las funciones propias

y autovalores hk. Así

y vemos que la representación de los impulsos está relacionada con la posición de la representación por una transformada de Fourier.

Funciones y operadores en el espacio momentum

A la inversa, una función de onda en tres dimensiones en el espacio impulso f como una suma ponderada de funciones base ortogonales fj:

o como una integral:

el operador posición viene dada por

con funciones propias

y autovalores r. Así que una descomposición similar de f se puede hacer en términos de las funciones propias de este operador, que resulta ser la transformada inversa de Fourier:

Unitaria equivalencia entre la posición y operador de momento

Los operadores de r y p son unitariamente equivalente, con el operador unitario está dada explícitamente por la transformada de Fourier. Por lo tanto tienen el mismo espectro. En lenguaje físico, p impulso que actúa sobre las funciones de onda de espacio es el mismo que R que actúa en la posición de las funciones de onda de espacio.

Espacio recíproco y cristales

Para un electrón en un cristal, su valor de k se refiere casi siempre a su impulso de cristal, no su impulso normal. Por lo tanto k y p no son simplemente proporcional, sino que desempeñan diferentes roles. Vea la teoría de perturbaciones kp para un ejemplo. Cristal impulso es como un sobre de onda que describe cómo la onda varía de una célula unidad a la siguiente, pero no da ninguna información acerca de cómo la onda varía dentro de cada celda unitaria.

Cuando k se refiere a impulso de cristal en lugar de la verdadera impulso, el concepto de espacio k es todavía significativa y extremadamente útil, pero difiere en varios aspectos de la no-cristal espacio k se discutió anteriormente. Por ejemplo, en el espacio k de un cristal, no hay un conjunto infinito de puntos llamados la red recíproca que son "equivalentes" a k = 0. Del mismo modo, la "primera zona de Brillouin" es un volumen finito de espacio k, tal que cada k es posible "equivalentes" a exactamente un punto en esta región.

Para obtener más información, consulte red recíproca.


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