Geometría simpléctica, Nombre

Geometría simpléctica es una rama de la geometría diferencial y topología diferencial que estudia colectores simpléctica, es decir, variedades diferenciables equipados con un sistema cerrado, no degenerada 2-forma. Geometría simpléctica tiene sus orígenes en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, donde el espacio de fases de ciertos sistemas clásicos adquiere la estructura de una variedad simpléctica.

Geometría simpléctica tiene una serie de similitudes y diferencias con la geometría de Riemann, que es el estudio de las variedades diferenciables equipadas con no degenerada, simétricas 2-tensores. Al contrario que en el caso de Riemann, colectores simplécticos no tienen invariantes locales, tales como la curvatura. Esto es una consecuencia del teorema de Darboux que establece que una vecindad de cualquier punto de una variedad simpléctica 2n-dimensional es isomorfo a la estructura simpléctica estándar en un conjunto abierto de R2n. Otra diferencia con la geometría de Riemann es que no todas las necesita variedad diferenciable admite una forma simpléctica, hay ciertas restricciones topológicas. Por ejemplo, cada variedad simpléctica es aún-dimensional y orientable. Además, si M es una variedad simpléctica cerrado, entonces el segundo cohomología de de Rham grupo H2 es no trivial; esto implica, por ejemplo, que la única n-esfera que admite una forma simpléctica es la 2-esfera.

Cada colector Köhler es también una variedad simpléctica. Ya en la década de 1970, los expertos simplécticos estaban seguros de si existía algún colectores simplécticos no Köhler compactas, pero desde entonces muchos ejemplos se han construido, en particular, Robert Gompf ha demostrado que cada grupo finitamente presentado se produce como grupo fundamental de algunas simpléctica 4-variedad, en marcado contraste con el caso de Köhler.

Colectores más simplécticos, se puede decir, no son Köhler, y así no tener una estructura compleja integrable compatible con la forma simpléctica. Mikhail Gromov, sin embargo, hizo la observación importante que los colectores simplécticos no admiten una abundancia de compatibles estructuras casi complejas, de modo que se satisfacen todos los axiomas para un colector de Köhler, excepto el requisito de que las funciones de transición sean holomorfa.

Gromov utiliza la existencia de estructuras casi complejas en variedades simplécticos para desarrollar una teoría de curvas pseudoholomorphic, lo que ha llevado a una serie de avances en la topología simpléctica, incluyendo una clase de invariantes simplécticos ahora conocidos como invariantes de Gromov-Witten. Estas invariantes también juegan un papel clave en la teoría de cuerdas.

Nombre

El nombre de "complejo grupo" anteriormente defendida por mí en alusión a los complejos de la línea, ya que estos son definidos por la desaparición de las formas bilineales asimétricos, se ha convertido cada vez más embarazosa a través de colisión con la palabra "complejo" en la connotación de número complejo. Propongo, pues, al sustituirlo por el correspondiente adjetivo griego "simpléctica." Dickson llama el grupo del "grupo abeliano lineal" en homenaje a Abel quien primero estudió.

Weyl

Geometría simpléctica es también llamado topología simpléctica aunque este último es en realidad un sub-campo de que se trate de cuestiones globales importantes en geometría simpléctica.

El término "simpléctica" es un calco del "complejo", introducido por Weyl, previamente, el "grupo simpléctica" había sido llamado el "grupo complejo en primera linea". Complejo proviene del latín com-plexo, que significa "trenzados", mientras simpléctica proviene del sím-plektikos correspondiente griega, en ambos casos el sufijo proviene de la raíz indoeuropea * plek-. Este nombramiento refleja las profundas conexiones entre las estructuras complejas y simpléctica.