Serie de Taylor, Definición, Ejemplos, Historia, Funciones analíticas, Aproximación y convergencia, Lista de las series de Maclaurin de algunas funciones comunes, Cálculo de la serie de Taylor, Serie de Taylor en varias variables, Fracciones de Taylor, Comparación con las series de Fourier





En matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una suma infinita de términos que se calculan a partir de los valores de los derivados de la función en un solo punto.

El concepto de una serie de Taylor fue presentado formalmente por el matemático Inglés Brook Taylor en 1715 - Si la serie de Taylor está centrada en cero, entonces la serie también se llama serie de Maclaurin, llamado así por el matemático escocés Colin Maclaurin, que hizo un amplio uso de este caso especial de la serie de Taylor en el siglo 18.

Es una práctica común para aproximar una función mediante el uso de un número finito de términos de su serie de Taylor. El teorema de Taylor da estimaciones cuantitativas sobre el error en esta aproximación. Cualquier número finito de términos iniciales de la serie de Taylor de una función se llama polinomio de Taylor. La serie de Taylor de una función es el límite de los polinomios de Taylor de esa función, siempre que el límite existe. Una función no puede ser igual a su serie de Taylor, aunque su serie de Taylor converge en cada punto. Una función que es igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto se conoce como una función analítica.

Definición

La serie de Taylor de una función real o valor complejo que es infinitamente diferenciable en una vecindad de un número real o complejo de un es la serie de potencias

que puede ser escrita en la notación más compacta como sigma

donde n! denota el factorial de n y denota la derivada enésima de evaluado en el punto a. La derivada de orden cero se define a sí mismo y ser 0 y 0! están ambas definidas para ser 1 - En el caso de que a = 0, la serie también se llama una serie de Maclaurin.

Ejemplos

La serie de Maclaurin para cualquier polinomio es el mismo polinomio.

La serie de Maclaurin para -1 para | x | <1 es la serie geométrica

por lo que la serie de Taylor para x-1 en a = 1 es

Mediante la integración de la serie de Maclaurin arriba nos encontramos con la serie de Maclaurin para el registro, donde log denota el logaritmo natural:

y la serie de Taylor correspondiente para acceder a = 1 es

y más generalmente, la serie correspondiente de Taylor para registro en algún es:

La serie de Taylor para la función exponencial ex en a = 0 es

La expansión precedente se mantiene debido a que el derivado de ex con respecto a x es también ex y e0 es igual a 1 - Esto deja a los términos n en el numerador y n! en el denominador de cada término de la suma infinita.

Historia

El filósofo griego Zeno considera el problema de la suma de una serie infinita para lograr un resultado finito, pero rechazó como una imposibilidad: el resultado fue la paradoja de Zeno. Más tarde, Aristóteles propuso una resolución filosófica de la paradoja, pero el contenido matemático fue aparentemente resuelta hasta retomada por Demócrito y Arquímedes. Fue a través de método de agotamiento de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones progresivas podría realizarse para lograr un resultado finito. Liu Hui empleada independientemente un método similar un par de siglos más tarde.

En el siglo 14, los primeros ejemplos de la utilización de la serie de Taylor y métodos estrechamente relacionados fueron dados por Madhava de Sangamagrama. Aunque no hay registro de su obra sobrevive, los escritos posteriores de matemáticos de la India sugieren que se encontró con un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidas las de las funciones trigonométricas de seno, coseno, tangente y arco tangente. La escuela de Kerala de la astronomía y las matemáticas amplió sus obras con varios desarrollos en serie y aproximaciones racionales hasta el siglo 16.

En el siglo 17, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. No fue hasta 1715 sin embargo, que un método general para la construcción de dichas series para todas las funciones para las que existen finalmente fue proporcionado por Brook Taylor, después de los cuales la serie se llama ahora.

La serie de Maclaurin fue nombrado después de Colin Maclaurin, profesor en Edimburgo, que publicó el caso especial del resultado de Taylor en el siglo 18.

Funciones analíticas

Si f está dada por una serie de potencias convergente en un disco abierto centrado en b, que se dice que es analítica en este disco. Por lo tanto para x en este disco, f viene dada por una serie de potencias convergente

Diferenciando por x la fórmula n veces arriba, a continuación, establecer x = b da:

por lo que el desarrollo en serie de potencia de acuerdo con la serie de Taylor. Por lo tanto es una función analítica en un disco abierto centrado en b si y sólo si sus series de Taylor converge al valor de la función en cada punto del disco.

Si f es igual a su serie de Taylor en todas partes se llama entero. Los polinomios y el ex función exponencial y funciones trigonométricas seno y coseno son ejemplos de funciones completas. Ejemplos de funciones que no son todo incluyen el logaritmo, la tangente función trigonométrica, y su arco tangente inversa. Para estas funciones de la serie de Taylor no convergen si x está lejos de b. La serie de Taylor se puede utilizar para calcular el valor de una función entera en cada punto, si el valor de la función, y de todos sus derivados, son conocidos en un solo punto.

Usos de la serie de Taylor para funciones analíticas son:

  • Las sumas parciales de la serie pueden ser utilizados como aproximaciones de la función entera. Estas aproximaciones son buenas si se incluyen muchos términos suficientemente.
  • La diferenciación y la integración de las series de potencias se pueden realizar término a término, y es por lo tanto particularmente fácil.
  • Una función analítica se extiende únicamente a una función holomorfa en un disco abierto en el plano complejo. Esto hace que la maquinaria de análisis complejo disponible.
  • La serie puede ser utilizado para calcular valores de la función numéricamente,.
  • Operaciones algebraicas se pueden hacer fácilmente en la representación en serie de potencias, por ejemplo la fórmula de Euler De desarrollos en serie de Taylor para funciones trigonométricas y exponenciales. Este resultado es de importancia fundamental en campos como el análisis armónico.
  • Aproximaciones con los primeros términos de una serie de Taylor pueden hacer posible los problemas irresolubles de otra manera para un dominio restringido, este método se utiliza a menudo en la física.
  • Aproximación y convergencia

    En la foto de la derecha es una aproximación exacta del pecado alrededor del punto x = 0. La curva de rosa es un polinomio de grado siete:

    El error en esta aproximación no es más que | x | 9/9!. En particular, para -1

    Por el contrario, también se muestra es una imagen de la función log logaritmo natural y algunos de sus polinomios de Taylor alrededor de a = 0. Estas aproximaciones convergen a la función sólo en la región de -1

    El error incurrido en la aproximación de una función por su enésimo grado del polinomio de Taylor se llama el resto o residuo y se representa por la función de Rn. Teorema de Taylor se puede utilizar para obtener un límite en el tamaño del resto.

    En general, la serie de Taylor no necesita ser convergente en absoluto. Y, de hecho, el conjunto de funciones con una serie de Taylor convergente es un conjunto magro en el espacio Frchet de funciones suaves. E incluso si la serie de Taylor de una función f no convergen, su límite no necesita en general ser igual al valor de la función f. Por ejemplo, la función

    es infinitamente derivable en x = 0, y tiene todos los derivados de cero allí. Por lo tanto, la serie de Taylor de f sobre x = 0 es igual a cero. Sin embargo, f no es igual a la función de cero, y por lo que no es igual a su serie de Taylor en torno al origen.

    En el análisis real, este ejemplo muestra que hay funciones infinitamente diferenciable f cuya serie de Taylor no son iguales a f incluso si convergen. Por el contrario, las funciones holomorfas estudiados en el análisis complejo siempre poseen una serie de Taylor convergente, e incluso la serie de Taylor de funciones meromórficas, lo que podría tener singularidades, nunca convergen a un valor diferente de la función en sí misma. La función compleja EZ-2, sin embargo, no acercarse a 0 cuando z se aproxima a 0 a lo largo del eje imaginario, por lo que no es continua en el plano complejo y su serie de Taylor no está definido en 0.

    En términos más generales, cada secuencia de números reales o complejos puede aparecer como coeficientes en la serie de Taylor de una función infinitamente diferenciable definida en la recta real, consecuencia de lema de Borel. Como resultado, el radio de convergencia de una serie de Taylor puede ser cero. Incluso hay funciones infinitamente diferenciables definidos en la recta real cuya serie de Taylor tiene un radio de convergencia 0 en todas partes.

    Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen una singularidad, en estos casos, a menudo se puede todavía lograr un desarrollo en serie si uno permite también potencias negativas de la variable x, ver series Laurent. Por ejemplo, f = ex-2 se puede escribir como una serie Laurent.

    Generalización

    Hay, sin embargo, una generalización de la serie de Taylor que hace converger al valor de la función en sí misma para cualquier función continua acotada en, usando el cálculo de diferencias finitas. Específicamente, se tiene la siguiente teorema, debido a Einar Hille, que para cualquier t> 0,

    Aquí? Nh es el n-ésimo operador de diferencias finitas con tamaño de paso h. La serie es precisamente la serie de Taylor, excepto que las diferencias divididas aparecen en el lugar de la diferenciación: la serie es formalmente similar a la serie de Newton. Cuando la función f es analítica en una, los términos de la serie convergen a los términos de la serie de Taylor, y en este sentido generaliza la serie de Taylor habitual.

    En general, para cualquier secuencia infinita ai, la siguiente identidad serie de potencias tiene:

    Así, en particular,

    La serie de la derecha es el valor esperado de f, donde X es una variable aleatoria distribuida Poisson que toma el valor jh con probabilidad et/hj/j!. Por lo tanto,

    La ley de los grandes números implica que la identidad se mantiene.

    Lista de las series de Maclaurin de algunas funciones comunes

     Ver también Lista de series matemáticas

    Varios importantes desarrollos en serie de Maclaurin siguen. Todas estas ampliaciones son válidos para los argumentos complejos x.

    Función exponencial

    Logaritmo natural:

     

    Q: Expandir la siguiente función como una serie de potencias de x

    .

    Sabemos que la serie de Taylor de la función es:

     

    En otras áreas, como el análisis formal, es más conveniente trabajar directamente con la serie de potencias sí mismos. Así, uno puede definir una solución de una ecuación diferencial como una serie de potencias que, uno espera para probar, es la serie de Taylor de la solución deseada.

    Serie de Taylor en varias variables

    La serie de Taylor también puede ser generalizada a las funciones de más de una variable con

     Por ejemplo, para una función que depende de dos variables, X e Y, la serie de Taylor de segundo orden sobre el punto es:

    donde los subíndices denotan las derivadas parciales respectivos.

    Un segundo orden desarrollo en serie de Taylor de una función con valores escalares de más de una variable se puede escribir de forma compacta como

    donde es la pendiente de evaluación en y es la matriz de Hesse. La aplicación de la notación multi-índice de la serie de Taylor de varias variables se

    que es para ser entendida como una versión multi-índice aún más abreviada de la primera ecuación de este párrafo, de nuevo en su totalidad analogía con el solo caso variable.

    Ejemplo

    Calcule un segundo orden desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto de una función

    En primer lugar, calcular todas las derivadas parciales que necesitamos

    La serie de Taylor es

    que en este caso se convierte

    Desde registro es analítica en | y | <1, tenemos

    para | y | <1.

    Fracciones de Taylor

    Con la aparición de cálculo fraccional, una pregunta natural surge de lo que sería el desarrollo en serie de Taylor. Odibat y Shawagfeh respondieron a esta en 2007 - Mediante el uso de la derivada fraccional Caputo,

    Comparación con las series de Fourier

    La serie de Fourier trigonométrica le permite a uno expresar una función periódica como una suma infinita de funciones trigonométricas. En este sentido, la serie de Fourier es análoga a la serie de Taylor, ya que este último permite expresar una función como una suma infinita de potencias. Sin embargo, ambos tipos de series difieren en varios aspectos relevantes:

    • El cálculo de la serie de Taylor requiere el conocimiento de la función en una vecindad pequeña arbitraria de un punto, mientras que el cálculo de la serie de Fourier requiere el conocimiento de la función en su intervalo de dominio conjunto. En cierto sentido se podría decir que la serie de Taylor es "local" y la serie de Fourier es "global".
    • El cálculo de la serie de Taylor requiere que la función sea de clase C8, mientras que la serie de Fourier sólo requiere que la función sea integrable.
    • La convergencia de ambas series tiene propiedades muy diferentes. Incluso si la serie de Taylor tiene radio de convergencia positiva, la serie resultante puede no coincidir con la función; pero si la función es analítica entonces la serie converge puntualmente a la función, y de manera uniforme en cada conjunto compacto. En cuanto a las series de Fourier, si la función es cuadrado-integrable, se necesitan la serie converge en media cuadrática, pero los requisitos adicionales para garantizar la convergencia puntual y uniforme.
    • Por último, en la práctica se quiere aproximar la función con un número finito de términos, digamos con un polinomio de Taylor o una suma parcial de la serie trigonométrica, respectivamente. En el caso de la serie de Taylor el error es muy pequeña en una zona del punto en el que se calcula, si bien puede ser muy grande en un punto distante. En el caso de la serie de Fourier se distribuye el error a lo largo del dominio de la función.

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