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En matemáticas, una biyección es una función que da un emparejamiento exacto de los elementos de dos conjuntos. Cada elemento de un conjunto está emparejado con exactamente un elemento del otro conjunto, y cada elemento de la otra serie se empareja con exactamente un elemento del primer conjunto. No hay elementos no emparejados. En términos matemáticos formales, una función biyectiva f: X? Y es un mapeo de un conjunto X a un conjunto Y. uno a uno y sobre

Una biyección del conjunto X al conjunto Y tiene una función inversa de Y a X. Si X e Y son conjuntos finitos, a continuación, la existencia de una biyección significa que tienen el mismo número de elementos. Para los conjuntos infinitos la situación es más complicada, lo que el concepto de número cardinal, una forma de distinguir los diferentes tamaños de los conjuntos infinitos.

Una función biyectiva a partir de un conjunto a sí mismo también se llama una permutación.

Biyectiva funciones son esenciales para muchas áreas de las matemáticas, incluyendo la definición de isomorfismo, homeomorfismo, difeomorfismo, grupo de permutación y mapa proyectiva.

Definición

Tener una pareja exacta entre X e Y, cuatro propiedades deben tener:

  • cada elemento de X debe estar emparejado con al menos un elemento de Y,
  • ningún elemento de X puede ser emparejado con más de un elemento de Y,
  • cada elemento de Y debe estar emparejado con al menos un elemento de X, y
  • ningún elemento de Y puede estar emparejado con más de un elemento de X.
  • Satisfacer las propiedades y los medios que una biyección es una función con dominio X. Es más común ver las propiedades y escrito como una sola declaración: Cada elemento de X se empareja con exactamente un elemento de Y. Las funciones que satisfacen la propiedad se dice que son " en Y "y se llaman surjections. Las funciones que satisfacen la propiedad se dice que son "uno a uno las funciones" y se llaman inyecciones. Con esta terminología, una biyección es una función que es a la vez un surjection y una inyección, o utilizando otras palabras, una biyección es una función que es a la vez "uno a uno" y "a".

    Ejemplos

    Como ejemplo concreto de una biyección, considere el bateo line-up de un equipo de béisbol. El conjunto X serán los nueve jugadores en el equipo y el conjunto Y serán las nueve posiciones en el orden al bate se le da el "emparejamiento" de que el jugador está en la posición que en este orden. La propiedad está satisfecho, ya que cada jugador está en la lista en algún lugar. La propiedad está satisfecho, ya que ningún jugador murciélagos en dos lugares en el orden. Propiedad dice que para cada posición en el orden, hay algo de bateo del jugador en esa posición y estados de propiedad de que dos o más jugadores no están bateando en la misma posición en la lista.

    En una clase hay un número determinado de plazas. Un grupo de estudiantes de entrar en la habitación y el instructor pide a todos a que nos sentaran. Después de una rápida mirada alrededor de la habitación, el instructor declara que existe una biyección entre el conjunto de los estudiantes y el conjunto de asientos, donde cada estudiante se combina con el asiento están sentados pulg Lo que el instructor observa con el fin de llegar a esta conclusión era que:

  • Cada estudiante estaba en un asiento,
  • Ningún estudiante se encontraba en más de un asiento,
  • Todos los asientos que había alguien sentado allí, y
  • No asiento tenía más de un estudiante en el mismo.
  • El instructor fue capaz de concluir que no eran tan numerosos asientos, ya que eran los estudiantes, sin tener que contar con alguno de los conjuntos.

    Ejemplos más matemáticos y algunos no ejemplos

    • Para cualquier conjunto X, la función identidad 1X: X? X, 1X = x, es biyectiva.
    • La función f: R? R, f = 2x + 1 es biyectiva, ya que para cada y hay una única x =/2 tal que f = y. En más generalidad, cualquier función lineal sobre los reales, f: R? R, f = ax + b es una biyección. Cada número real y se obtiene a partir del número real x =/a.
    • La función f: R, dada por f = arctan es biyectiva, ya que cada número real x se empareja con exactamente un ángulo y en el intervalo de manera que tan = x. Si el codominio se hace más grande para incluir un múltiplo entero de p/2 a continuación, esta función ya no sería en ya que no hay número real que puede ser emparejado con el múltiplo de p/2 por esta función arco tangente.
    • La función exponencial, g: R? R, g = ex, no es biyectiva: por ejemplo, no hay x en R tal que g = -1, que muestra que g no es a. Sin embargo, si el codominio se limita a los números reales positivos, entonces g se convierte en biyectiva; su inversa es la función LN logaritmo natural.
    • La función h: R? R +, h = x2 no es biyectiva: por ejemplo, h = h = 1, lo que demuestra que h no es uno a uno. Sin embargo, si el dominio se limita a, a continuación, se convierte en h biyectiva; su inversa es la función raíz cuadrada positiva.

    Inversas

    Una biyección f con dominio X también define una relación de partida en Y y va a X. El proceso de "girando alrededor de las flechas" para una función arbitraria no suele producir una función, pero las propiedades y de una biyección decir que esta relación inversa es una función con el dominio de Y. Por otra parte, las propiedades y luego dicen que esta función inversa es un surjection y una inyección, es decir, existe la función inversa y es también una biyección. Las funciones que tienen funciones inversas se dice que son invertible. Una función es invertible si y sólo si es una biyección.

    Dicho de notación matemática concisa, una función f: X? Y es biyectiva si y sólo si satisface la condición

    para cada y en Y hay una x único en X con y = f.

    Continuando con el ejemplo de bateo line-up de béisbol, la función que se está definiendo como entrada el nombre de uno de los jugadores y los resultados de la posición de ese jugador en el orden de bateo. Dado que esta función es una biyección, tiene una función inversa, que toma como entrada una posición en el orden al bate y envía el jugador que se batea en esa posición.

    Composición

    La composición de dos biyecciones f: X? Y yg: Y? Z es una biyección. La inversa de es.

    Por el contrario, si la composición de dos funciones es biyectiva, sólo podemos decir que f es inyectiva yg es sobreyectiva.

    Biyecciones y cardinalidad

    Si X e Y son conjuntos finitos, entonces existe una biyección entre los dos conjuntos de X e Y si y sólo si X e Y tienen el mismo número de elementos. En efecto, en la teoría axiomática de conjuntos, esto se toma como la definición de "mismo número de elementos", y la generalización de esta definición de conjuntos infinitos nos lleva al concepto de número cardinal, una forma de distinguir los diferentes tamaños de los conjuntos infinitos.

    Propiedades

    • Una función f: R? R es biyectiva si y sólo si su gráfica se reúne cada línea horizontal y vertical de una sola vez.
    • Si X es un conjunto, entonces las funciones biyectivas de X a sí mismo, junto con la operación de composición funcional, formar un grupo, el grupo simétrico de X, que se indica diversamente por S, SX, o X! .
    • Biyecciones preservar cardinalidades de conjuntos: para un subconjunto A del dominio con cardinalidad | A | y subgrupo B del codominio con cardinalidad | B |, uno tiene las siguientes igualdades: | f | = | A | y | f-1 | = | B |.
    • Si X e Y son conjuntos finitos con la misma cardinalidad, y f: X? Y, a continuación, los siguientes son equivalentes:

    • f es una biyección.
    • f es sobreyectiva.
    • f es una inyección.
    • Para un conjunto finito S, hay una biyección entre el conjunto de posibles ordenaciones totales de los elementos y el conjunto de biyecciones de S a S. Es decir, el número de permutaciones de elementos de S es el mismo que el número de ordenamientos totales de dicho conjunto, es decir, n!.

    Biyecciones y la teoría de la categoría

    Biyecciones son precisamente los isomorfismos en la categoría Set de conjuntos y funciones establecidos. Sin embargo, los biyecciones no siempre son los isomorfismos para las categorías más complejas. Por ejemplo, en la categoría de Grado de los grupos, los morfismos deben ser homomorfismos ya que deben preservar la estructura del grupo, por lo que los isomorfismos son isomorfismos de grupos que son homomorfismos bijective.

    Contraste con

    Esta lista es incompleta, usted puede ayudar cerca ampliarlo.

    • Función de varios valores

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