Posición, Aplicaciones, Los derivados de la posición, Relación con vectores de desplazamiento





En la geometría, una posición o un vector de posición, también conocido como vector de ubicación o de radio vector, es un vector euclidiano que representa la posición de un punto P en el espacio en relación con un origen de referencia arbitrario O. Por lo general, denotado s o r, que corresponde a el desplazamiento de O a P:

Con frecuencia, este se utiliza en el espacio de dos dimensiones o en tres dimensiones, pero puede ser fácilmente generalizado a espacios euclídeos en cualquier número de dimensiones.

Aplicaciones

Álgebra lineal

Álgebra lineal permite a la producción de un vector de posición de n-dimensional. Un vector de posición se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base:

El conjunto de todos los vectores de posición forman espacios posición, ya que las posiciones se pueden agregar y ampliarse en longitud para obtener otro vector de posición en el espacio. La noción de "espacio" es intuitivo, ya que cada xi puede ser cualquier valor, la colección de valores define un punto en el espacio.

La dimensión del espacio de la posición es n. Las coordenadas del vector r con respecto a la base vectores ei son xi. El vector de coordenadas forma el vector de coordenadas o n-tupla.

Cada coordenada xi puede ser parametrizado un número de parámetros de t. Un parámetro xi sería describir una trayectoria curvada 1d, dos parámetros xi describe una superficie curvada 2d, tres xi describe un volumen 3d curvada del espacio, y así sucesivamente.

La envolvente lineal de un conjunto base B = {e1, e2 ... en} es igual al espacio de la posición R, denota span = R.

Ejemplos en 3d

En tres dimensiones, las coordenadas que las coordenadas ortogonales, como las coordenadas cartesianas familiares, esféricas polares y cilíndricas polares;

donde t es un parámetro, o que podría ser coordenadas curvilíneas generales. Estos son diferentes representaciones para el mismo vector de posición. Cualquier conjunto de coordenadas tridimensionales y sus correspondientes vectores de la base se puede utilizar para definir la ubicación de un punto en el espacio - lo que es el más simple para la tarea en cuestión puede ser utilizado.

Geometría diferencial

Campos de vectores de posición se utilizan para describir las curvas espaciales continuas y diferenciables, en cuyo caso el parámetro independiente no tiene por qué ser el tiempo, pero puede ser la longitud del arco de la curva.

Mecánica

Artículos principales: la mecánica newtoniana, la mecánica analítica, y la ecuación de movimiento

En cualquier ecuación de movimiento, el vector de posición r es por lo general el codiciado cantidad más porque esta función define el movimiento de una partícula - su ubicación con respecto a un sistema de coordenadas dado en algún tiempo t.

Para definir el movimiento en términos de posición, cada coordenada puede ser parametrizada por el tiempo; ya que cada valor sucesivo de tiempo corresponde a una secuencia de sucesivas localizaciones espaciales dadas por las coordenadas, por lo que el límite continuo de muchas ubicaciones sucesivas es una ruta de las trazas de partículas.

En el caso de una dimensión, la posición tiene sólo un componente, por lo que degenera con eficacia a una coordenada escalar. Podría ser, por ejemplo, un vector en la dirección x, o la r-dirección radial. Notaciones equivalentes incluyen:

Los derivados de la posición

Para obtener un vector de posición r que es una función del tiempo t, las derivadas respecto al tiempo pueden ser calculadas con respecto a t. Estos derivados tienen utilidad común en el estudio de la cinemática, la teoría de control, ingeniería y otras ciencias.

Velocidad

donde dr es infinitesimalmente pequeño desplazamiento.

Jerk Aceleración

Estos nombres para el primer, segundo y tercer derivado de la posición son de uso común en la cinemática básicos. Por extensión, las derivadas de orden superior se pueden calcular de una manera similar. El estudio de estos derivadas de orden superior puede mejorar la aproximación de la función de desplazamiento inicial. Tales términos de orden superior se requieren con el fin de representar con precisión la función de desplazamiento como una suma de una serie infinita, lo que permite varias técnicas analíticas en ingeniería y física.

Relación con vectores de desplazamiento

Un vector de desplazamiento se puede definir como la acción de la traducción de los puntos espaciales de manera uniforme en una dirección dada sobre una distancia dada. Así, la adición de vectores de desplazamiento expresa la composición de estas acciones de desplazamiento y de multiplicación escalar como la escala de la distancia. Con esto en mente, podemos entonces definir un vector de posición de un punto en el espacio, el vector de desplazamiento asignación de un origen dado a ese punto. Tenga en cuenta por lo tanto los vectores de posición dependen de una opción de origen para el espacio, así como vectores de desplazamiento dependen de la elección de un punto inicial.


Inicio | Sitemap