Espacio métrico, Historia, Definición, Ejemplos de espacios métricos, Tipos de espacios métricos, Tipos de mapas entre espacios métricos, Las nociones de espacio equivalencia métrica, Propiedades topológicas, Distancia entre los puntos y sets; Hausdorff distancia y Gromov métrica, Producto espacios métricos, Cociente espacios métricos, Las generalizaciones de espacios métricos





En las matemáticas, un espacio métrico es un conjunto en el que se define una noción de la distancia entre los elementos del conjunto.

El espacio métrico que corresponde más estrechamente a nuestra comprensión intuitiva de espacio es el espacio euclidiano de 3 dimensiones. De hecho, la noción de "métrica" es una generalización de la métrica euclidiana que surge de las cuatro propiedades de larga conocidos de la distancia euclidiana. La métrica euclidiana define la distancia entre dos puntos como la longitud del segmento de línea recta que conecta ellos. Otros espacios métricas se producen por ejemplo en la geometría elíptica y la geometría hiperbólica, donde la distancia sobre un medidos de la esfera por el ángulo es una métrica, y el modelo de hiperboloide de la geometría hiperbólica es utilizado por la relatividad especial como un espacio métrico de velocidades.

Un espacio métrico también induce propiedades topológicas como conjuntos abiertos y cerrados que conduce al estudio de los espacios topológicos aún más abstractas.

Historia

Maurice Frchet introdujo espacios métricos en su obra Sur quelques señala du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 1-74.

Definición

Un espacio métrico es un par ordenado, donde es un conjunto y es una métrica sobre, es decir, una función

tal que para cualquier, se cumple lo siguiente:

  •  ,
  •  si y sólo si,
  •  y
  •  .
  • La primera condición se desprende de los otros tres, ya que:

    La función también se denomina función de distancia o simplemente lejos. A menudo, se omite y uno solo escribe para un espacio métrico si está claro por el contexto que se utiliza métrica.

    Ejemplos de espacios métricos

    • Haciendo caso omiso de detalles matemáticos, para cualquier sistema de carreteras y terrenos la distancia entre dos ubicaciones se puede definir como la longitud de la ruta más corto que conecta esos lugares. Para ser un indicador no debe haber ninguna carretera de un solo sentido. La desigualdad del triángulo expresa el hecho de que los desvíos no son atajos. Muchos de los ejemplos de más abajo puede ser visto como versiones concretas de esta idea general.
    • Los números reales con la función de distancia dada por la diferencia absoluta, y más generalmente euclidiana-espacio con la distancia euclidiana, son espacios métricos completos. Los números racionales con la misma distancia también forman un espacio métrico, pero no están completas.
    • Los números reales positivos con función de distancia es un espacio métrico completo.
    • Todo espacio vectorial normado es un espacio métrico definiendo, ver también indicadores sobre espacios vectoriales. Ejemplos:

      • La norma Manhattan da lugar a la distancia Manhattan, donde la distancia entre dos puntos cualesquiera, o vectores, es la suma de las diferencias entre las coordenadas correspondientes.
      • La norma máxima da lugar a la distancia de Chebyshev o distancia tablero de ajedrez, el número mínimo de movimientos a un rey de ajedrez se tardaría en viajar desde a.

    • El British Rail métrica sobre un espacio vectorial normado es dada por los puntos distintos y, y. Más en general puede ser sustituido con una función de tomar un conjunto arbitrario refiere a los reales no negativos y tomando el valor a lo sumo una vez: a continuación, la métrica se define en para por puntos distintos y, y. El nombre alude a la tendencia de los viajes en tren para continuar a través de Londres, con independencia de su destino final.
    • Si es un espacio métrico y es un subconjunto de, a continuación, se convierte en un espacio métrico mediante la restricción del dominio de a.
    • La métrica discreta, en la que si y de otra manera, es un ejemplo simple, pero importante, y se puede aplicar a todos los conjuntos no vacíos. Esto, en particular, muestra que para cualquier conjunto no vacío, siempre hay un espacio métrico asociado a ella. El uso de este indicador, cualquier momento es una bola abierta, y por lo tanto cada subconjunto es abierto y el espacio tiene la topología discreta.
    • Un espacio métrico finito es un espacio métrico que tiene un número finito de puntos. No todo espacio métrico finito puede ser isométricamente incrustado en un espacio euclidiano.
    • El plano hiperbólico es un espacio métrico. Más en general:
    • Si es cualquier variedad riemanniana conexa, entonces puede convertirse en un espacio métrico definiendo la distancia de dos puntos como el ínfimo de las longitudes de los caminos que los conectan.
    • Un subconjunto del espacio métrico está cerrado si y sólo si cada secuencia en la que converge a un límite en el tiene su límite en.

      Tipos de espacios métricos

      Espacios completos

      Un espacio métrico se dice que es completa si cada secuencia de Cauchy converge pulg Es decir: si como tanto de forma independiente e ir hasta el infinito, entonces hay algunas con.

      Cada espacio euclidiano es completa, como es cada subconjunto cerrado de un espacio completo. Los números racionales, utilizando el valor absoluto métrica, no están completos.

      Cada espacio métrico tiene una terminación única, que es un espacio completo que contiene el espacio dado como un subconjunto denso. Por ejemplo, los números reales son la finalización de los racionales.

      Si es un subconjunto completo del espacio métrico, a continuación, se cierra pulg De hecho, un espacio es completa si y sólo si se cierra en cualquier espacio métrico que contiene.

      Todo espacio métrico completo es un espacio de Baire.

      Espacios limitada y totalmente acotado

      Un espacio métrico M se llama acotado si existe un número r, tal que d = r para todo x y y en M. El más pequeño posible por ejemplo r se llama el diámetro de M. El espacio M se llama precompacto o totalmente acotado si, por cada r> 0 existe un número finito de bolas abiertas de radio r cuya unión cubre M. Dado que el conjunto de los centros de estas bolas es finito, tiene diámetro finito, de donde se sigue que todo espacio totalmente acotado es acotado. Lo contrario no se sostiene, ya que cualquier conjunto infinito se puede dar la métrica discreta bajo la cual está delimitada y sin embargo no completamente unido.

      Tenga en cuenta que en el contexto de los intervalos en el espacio de los números reales y, ocasionalmente, las regiones en un espacio euclídeo Rn se refiere a un conjunto acotado como "un intervalo finito" o "región finita". Sin embargo acotación no debe en general ser confundido con "finito", que se refiere al número de elementos, no a hasta dónde se extiende el conjunto; finitud implica acotación, pero no a la inversa.

      Espacios compactos

      Un espacio métrico M es compacto si cada secuencia en la M tiene una subsecuencia que converge a un punto en M. Esto se conoce como compacidad secuencial y, en espacios métricos, es equivalente a las nociones topológicas de compacidad contable y compacidad se define a través de las cubiertas abiertas.

      Ejemplos de espacios métricos compactos incluyen el intervalo cerrado con la métrica valor absoluto, todos los espacios métricas con un número finito de puntos, y el conjunto de Cantor. Cada subconjunto cerrado de un espacio compacto es en sí mismo compacto.

      Un espacio métrico es compacto si y sólo si es completa y totalmente acotado. Esto se conoce como el teorema de Heine-Borel. Tenga en cuenta que la compacidad sólo depende de la topología, mientras acotación depende de la métrica.

      Número de estados lema de Lebesgue que por cada tapa abierta de un espacio métrico compacto M, existe un "número de Lebesgue" d tal que cada subconjunto de M de diámetro

      Cada espacio métrico compacto es segundo contable, y es una imagen continua del conjunto de Cantor.

      Espacios localmente compactos y adecuado

      Un espacio métrico se dice que es localmente compacto si cada punto tiene un entorno compacto. Espacios euclídeos son localmente compacto, pero los espacios de Banach de dimensión infinita no lo son.

      Un espacio es adecuado si cada bola cerrada {y: d = r} es compacto. Espacios adecuados son localmente compacto, pero lo contrario no es cierto en general.

      Conectividad

      Un espacio métrico es conexo si los únicos subconjuntos que son abiertas y cerradas son el conjunto vacío y él mismo.

      Un espacio métrico es camino conectado si para cualesquiera dos puntos existe una aplicación continua con y. Cada espacio está conectado vía está conectada, pero lo contrario no es cierto en general.

      También hay versiones locales de estas definiciones: espacios conectados localmente y localmente camino espacios conectados.

      Espacios simplemente conexos son los que, en cierto sentido, no tiene "agujeros".

      Espacios separables

      Un espacio métrico es el espacio separable si tiene un subconjunto denso numerable. Ejemplos típicos son los números reales o cualquier espacio euclidiano. En los espacios de métricas separabilidad es equivalente al segundo cuentas y también a la propiedad Lindelf.

      Tipos de mapas entre espacios métricos

      Supongamos que y son dos espacios métricos.

      Mapas continuos

      El mapa f: M1 M2 es continua si tiene alguna de las siguientes propiedades equivalentes:

      Continuidad topológica general para cada conjunto abierto U en M2, la imagen inversa f -1 es abierto en M1 Esta es la definición general de la continuidad en la topología. Continuidad secuencial si es una secuencia en la M1 que converge a x en M1, la secuencia converge a f en M2. Esta es la continuidad secuencial, debido a Eduard Heine. definición ed para cada x en M1 y cada e> 0 existe d> 0 tal que para todo y en M1 tenemos

      Por otra parte, f es continua si y sólo si es continua en cada subconjunto compacto de M1.

      La imagen de cada conjunto compacto bajo una función continua es compacto, y la imagen de cada conjunto conexo bajo una función continua está conectado.

      Mapas uniformemente continua

      El mapa: M1? M2 es uniformemente continua si para cada e> 0 existe d> 0 tal que

      Cada mapa uniformemente continua: M1? M2 es continua. Lo contrario es cierto si M1 es compacto.

      Uniformemente mapas continuos resultan secuencias de Cauchy en M1 en secuencias de Cauchy en M2. Para los mapas continuos esto es generalmente mal, por ejemplo, una aplicación continua del intervalo abierto en la recta real se convierte algunas secuencias de Cauchy en secuencias sin límites.

      Mapas y contracciones Lipschitz continuas

      Dado un número K> 0, el mapa: M1? M2 es K-Lipschitz continua si

      Cada mapa de Lipschitz-continua es uniformemente continua, pero lo contrario no es cierto en general.

      Si K <1, entonces se llama una contracción. Supongamos M2 = M1 y M1 es completa. Si es una contracción, entonces admite un único punto fijo. Si M1 es compacto, la condición puede ser debilitado un poco: admite un único punto fijo si

      Isometrías

      El mapa f: M1 M2 es una isometría si

      Isometrías son siempre inyectiva; la imagen de un conjunto compacto o completo bajo una isometría es compacto o completa, respectivamente. Sin embargo, si la isometría no es sobreyectiva, a continuación, la imagen de un conjunto cerrado no necesita ser cerrado.

      Cuasi isometrías

      El mapa f: M1? M2 es un cuasi-isometría si existen constantes A = 1 y B = 0 tal que

      y una constante C = 0 de manera que cada punto en M2 tiene una distancia a lo sumo C desde un cierto punto en la imagen de f.

      Tenga en cuenta que un cuasi-isometría no está obligado a ser continua. Cuasi isometrías comparan la "estructura a gran escala" de los espacios métricos, sino que son útiles en la teoría de grupos geométrica en relación con la palabra métrica.

      Las nociones de espacio equivalencia métrica

      Dados dos espacios métricos y:

      • Se les llama homeomórfico si existe un homeomorfismo entre ellos.
      • Se les llama uniformic si existe un isomorfismo uniforme entre ellos.
      • Se les llama isométrica si existe una isometría biyectiva entre ellos. En este caso, los dos espacios métricos son esencialmente idénticas.
      • Se les llama cuasi-isométrica si existe una cuasi-isometría entre ellos.

      Propiedades topológicas

      Espacios métricos son espacios de Hausdorff paracompact y por lo tanto normal. Una consecuencia importante es que cada espacio métrico admite particiones de la unidad y que cada función de valor real continua definida en un subconjunto cerrado de un espacio métrico se puede extender a un mapa continuo en todo el espacio. También es cierto que cada mapa de Lipschitz-continua de valor real definido en un subconjunto de un espacio métrico se puede extender a un mapa de Lipschitz-continua en todo el espacio.

      Espacios métricos son primero contables ya que se puede utilizar bolas de radio racional como base vecindario.

      La topología métrica en un espacio métrico M es la topología más gruesa en M con respecto al cual la métrica d es un mapa continuo a partir del producto de M consigo mismo para los números reales no negativos.

      Distancia entre los puntos y sets; Hausdorff distancia y Gromov métrica

      Una forma sencilla de construir una función de separación de un punto de un conjunto cerrado es considerar la distancia entre el punto y el conjunto. Si es un espacio métrico, S es un subconjunto de M y X es un punto de M, se define la distancia de X a S como

      donde representa el ínfimo.

      Luego d = 0 si y sólo si x pertenece a la clausura de S. Por otra parte, tenemos la siguiente generalización de la desigualdad triangular:

      que, en particular, muestra que el mapa es continua.

      Dados dos subconjuntos S y T de M, se define la distancia de Hausdorff ser

      que representa el supremo.

      En general, la distancia Hausdorff dH puede ser infinita. Dos conjuntos están cerca uno del otro en la distancia Hausdorff si cada elemento de cualquiera de los conjuntos es cerca de algún elemento de la otra serie.

      La distancia Hausdorff dH convierte el conjunto K de todos los subconjuntos compactos no vacíos de M en un espacio métrico. Se puede demostrar que K es completa si M es completa.

      Uno puede entonces definir la distancia de Gromov-Hausdorff entre dos espacios métricos teniendo en cuenta la distancia mínima de Hausdorff de versiones isométricamente incrustados de los dos espacios. Utilizando esta distancia, el conjunto de todos los espacios métricos compactos se convierte en un espacio métrico en su propio derecho.

      Producto espacios métricos

      Si son espacios métricos, y N es la norma euclidiana en Rn, a continuación, es un espacio métrico, donde la métrica de producto se define por

      y la topología inducida está de acuerdo con la topología del producto. Por la equivalencia de las normas de dimensiones finitas, se obtiene una métrica equivalente si N es la norma de taxi, un p-norma, la norma máximo, o cualquier otra norma que es no decreciente como las coordenadas de un aumento de n-tupla positiva.

      Del mismo modo, un producto numerable de espacios métricos se puede obtener utilizando la siguiente métrica

      Un producto numerable de espacios métricos no necesita ser metrizable. Por ejemplo, no es de primera contable y por lo tanto no es metrizable.

      Continuidad de la distancia

      Vale la pena señalar que en el caso de un único espacio, el mapa de distancia es uniformemente continua con respecto a cualquiera de las métricas de productos por encima, y, en particular, es continua con respecto a la topología del producto de.

      Cociente espacios métricos

      Si M es un espacio métrico con la métrica d, e ~ es una relación de equivalencia en M, entonces podemos dotar al conjunto cociente M/~ con las siguientes mediciones. Dadas dos clases de equivalencia y, definimos

      donde se toma el ínfimo sobre todas las secuencias finitas y con,,. En general esto sólo definir un pseudometric, es decir, no implica necesariamente que. Sin embargo, para las relaciones de equivalencia agradable, es una métrica. Por otra parte, si M es un espacio compacto, a continuación, la topología inducida en M/~ es la topología cociente.

      La métrica d cociente se caracteriza por la siguiente propiedad universal. Si es un mapa métrica entre espacios métricos que satisfacen f = f cuando entonces la función inducida, a cargo, es un mapa métrica

      Un espacio topológico es secuencial si y sólo si se trata de un cociente de un espacio métrico.

      Las generalizaciones de espacios métricos

      • Cada espacio métrico es un espacio uniforme de una manera natural, y cada espacio uniforme es naturalmente un espacio topológico. Por lo tanto, espacios uniformes y topológicas pueden considerarse como generalizaciones de espacios métricos.
      • Si tenemos en cuenta la primera definición de un espacio métrico dada anteriormente y relajamos el segundo requisito, se llega a los conceptos de un espacio pseudometric o un espacio métrico dislocado. Si eliminamos la tercera o cuarta, llegamos a un espacio quasimetric o un espacio semimetric.
      • Si la función de distancia toma valores en la línea número real extendida R? {8}, pero de otro modo satisface las cuatro condiciones, entonces se llama una métrica extendida y el espacio correspondiente se llama un espacio-métrica. Si la función de distancia toma valores en un conjunto ordenado, entonces llegamos a la noción generalizada de ultrametric.
      • Espacios de aproximación son una generalización de los espacios métricos, basada en el punto de establecer distancias, en lugar de la letra a distancias de puntos.
      • Un espacio de continuidad es una generalización de los espacios y Posets métricas, que se pueden utilizar para unificar los conceptos de espacios métricos y dominios.

      Espacios métricos como categorías enriquecidos

      El conjunto ordenado puede ser visto como una categoría mediante la solicitud de exactamente un morfismo si y ninguno lo contrario. Mediante el uso como el producto tensorial y como la identidad, se convierte en una categoría monoidal. Cada espacio métrico ahora puede ser visto como una categoría enriquecido más de:

      • Establecer
      • Para cada conjunto
      • El morfismo composición será el único morfismo en dado de la desigualdad del triángulo
      • El morfismo identidad será el único morfismo dado por el hecho de que.
      • Dado que es una estricta categoría monoidal, todos los diagramas que se requieren para una categoría de conmutar automáticamente enriquecido.

      Véase el artículo de F. W. Lawvere se enumeran a continuación.


    Inicio | Sitemap