Relación de congruencia, Ejemplo básico, Definición, Relación con homomorfismos, Congruencias de los grupos y subgrupos e ideales normales, Álgebra universal


En álgebra abstracta, una relación de congruencia es una relación de equivalencia en una estructura algebraica que es compatible con la estructura. Cada relación de congruencia tiene una estructura cociente correspondiente, cuyos elementos son las clases de equivalencia de la relación.

Ejemplo básico

El ejemplo prototípico de una relación de congruencia módulo es congruencia en el conjunto de los enteros. Para un entero positivo dado, dos enteros y se llaman congruentes módulo, por escrito

si es divisible por.

por ejemplo, y son congruentes módulo,

ya que es un múltiplo de 10, o de forma equivalente, ya que ambos y tienen un resto de cuando se divide por.

Congruencia modulo es compatible tanto con la suma y la multiplicación de los números enteros. Es decir, si

 y

entonces

 y

La adición y la multiplicación de las clases de equivalencia correspondiente se conoce como la aritmética modular. Desde el punto de vista de la álgebra abstracta, la congruencia módulo es una relación de congruencia en el anillo de los enteros, y la aritmética de módulo se produce en el anillo cociente correspondiente.

Definición

La definición de una congruencia depende del tipo de estructura algebraica bajo consideración. Definiciones particulares de congruencia se pueden hacer para grupos, anillos, espacios vectoriales, módulos, semigrupos, celosías, y así sucesivamente. El tema común es que una congruencia es una relación de equivalencia en un objeto algebraica que es compatible con la estructura algebraica, en el sentido de que las operaciones son bien definidos en las clases de equivalencia.

Por ejemplo, un grupo es un objeto algebraico que consiste en un conjunto junto con una sola operación binaria, satisfacer ciertos axiomas. Si es un grupo con la operación *, una relación de congruencia en G es una relación de equivalencia = en los elementos de G que cumplan

 g1 = g2 y h1 = h2? g1 = g2 * h1 h2 *

para todos g1, g2, h1, h2? G. Para una congruencia en un grupo, la clase de equivalencia que contiene el elemento de identidad es siempre un subgrupo normal, y las otras clases de equivalencia son las clases laterales de este subgrupo. En conjunto, estas clases de equivalencia son los elementos de un grupo cociente.

Cuando una estructura algebraica incluye más de una operación, las relaciones de congruencia se requieren para ser compatible con cada operación. Por ejemplo, un anillo posee a la vez la adición y multiplicación, y una relación de congruencia en un anillo debe satisfacer

 r1 r2 s1 = s2 y R1S1 = R2S2

cuando r1 = r2 y s1 = s2. Para obtener una congruencia en un anillo, la clase de equivalencia que contiene 0 es siempre un ideal de dos caras, y las dos operaciones sobre el conjunto de clases de equivalencia definir el anillo cociente correspondiente.

La noción general de una relación de congruencia se puede dar una definición formal en el contexto de álgebra universal, un campo que estudia las ideas comunes a todas las estructuras algebraicas. En este contexto, una relación de congruencia es una relación de equivalencia = en una estructura algebraica que satisface

  =

para cada operación n-aria, y todos los elementos a1, ..., an, 'a1, ..., una "satisfacción ai = ai' para cada i.

Relación con homomorfismos

Si: A? B es un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas, a continuación, la relación definida por =

 a1 = a2 si y sólo si =

es una relación de congruencia. Por el teorema de isomorfismo primera, la imagen de A bajo es una subestructura de isomorfo B para el cociente de A por esta congruencia.

Congruencias de los grupos y subgrupos e ideales normales

En el caso particular de los grupos, las relaciones de congruencia se pueden describir en términos elementales de la siguiente manera: Si G es un grupo y ~ es una relación binaria en G, entonces ~ es una congruencia cuando:

  • Teniendo en cuenta cualquier elemento de una T, un ~ a;
  • Teniendo en cuenta todos los elementos a y b de G, si a ~ b, entonces b ~ a;
  • Teniendo en cuenta todos los elementos A, B, y C de G, si un ~ b y b ~ c, entonces a ~ c;
  • Teniendo en cuenta todos los elementos a, a ', b, y b' de G, si un ~ a 'y b ~ b', a continuación, a * b ~ un '* b';
  • Teniendo en cuenta todos los elementos A y A 'de G, si un ~ a', a continuación, un-1 ~ un "-1.
  • Condiciones 1, 2 y 3 dicen que ~ es una relación de equivalencia.

    A congruencia ~ es determinada totalmente por el conjunto {a? G: una ~ e} de los elementos de G que son congruentes con el elemento de la identidad, y este conjunto es un subgrupo normal. Específicamente, un ~ b si y sólo si b-1 * un ~ e. Así que en lugar de hablar de congruencias en grupos, la gente suele hablar en términos de subgrupos normales de ellas, de hecho, cada congruencia corresponde exclusivamente a algún subgrupo normal de G.

    Los ideales de los anillos y el caso general,

    Un truco similar permite hablar de granos en la teoría de anillos como ideales en lugar de relaciones de congruencia, y en teoría módulo como submódulos en lugar de relaciones de congruencia.

    La situación más general en la que es posible que este truco es con Omega-grupos. Pero esto no puede hacerse con, por ejemplo, monoides, por lo que el estudio de las relaciones de congruencia juega un papel más central en la teoría monoide.

    Álgebra universal

    El idea es generalizada en álgebra universal: Una relación de congruencia en una álgebra A es un subconjunto de la AA producto directo que es a la vez una relación de equivalencia en A y una subálgebra de A A.

    El kernel de un homomorfismo es siempre una congruencia. De hecho, cada congruencia surge como un núcleo. Para obtener una congruencia dado ~ en A, el conjunto A/~ de clases de equivalencia se puede dar la estructura de un álgebra de una manera natural, el álgebra cociente. La función que mapea cada elemento de A a su clase de equivalencia es un homomorfismo, y el núcleo de este homomorfismo es ~.

    The Con entramado de las relaciones de congruencia en un álgebra A es algebraico.