Holonomía, Definiciones, Ambrose-Singer teorema, Holonomía Riemann, Holonomía Afines, Etimología





En geometría diferencial, la holonomía de una conexión en un múltiple liso es una consecuencia geométrica general de la curvatura de la conexión de medición de la medida en que el transporte paralelo alrededor de los bucles cerrados no preserva los datos geométricos que se transportan. Para conexiones planas, la holonomía asociada es un tipo de monodromía, y es un concepto inherentemente global. Para las conexiones de curvas, holonomía tiene características locales y globales no triviales.

Cualquier tipo de conexión en un colector da lugar, a través de sus mapas de transporte paralelas, en cierta noción de holonomía. Las formas más comunes de holonomía son las conexiones que poseen algún tipo de simetría. Ejemplos importantes son: holonomía de la conexión de Levi-Civita en la geometría de Riemann, holonomía de conexiones en fibrados vectoriales, holonomía de conexiones de Cartan y holonomía de conexiones en paquetes principales. En cada uno de estos casos, la holonomía de la conexión puede ser identificado con un grupo de Lie, el grupo holonomía. El holonomía de una conexión está estrechamente relacionada con la curvatura de la conexión, a través del teorema de Ambrose-Singer.

El estudio de holonomía Riemann ha dado lugar a una serie de acontecimientos importantes. El holonomía fue introducido por Cartan para estudiar y clasificar los espacios simétricos. No fue hasta mucho más tarde que los grupos holonomía se utilizarían para estudiar la geometría de Riemann en un contexto más general. En 1952 Georges de Rham demostró el teorema de descomposición de Rham, un principio de la división de una variedad de Riemann en un producto cartesiano de variedades de Riemann, dividiendo el paquete de la tangente en espacios irreducibles bajo la acción de los grupos holonomía locales. Más tarde, en 1953, M. Berger clasifica las posibles holonomies irreductibles. La descomposición y la clasificación de holonomía Riemann tiene aplicaciones a la física, y en particular a la teoría de cuerdas.

Definiciones

Holonomía de una conexión en un fibrado vectorial

Sea E un fibrado vectorial k rango sobre una variedad diferenciable M y dejar? ser una conexión en E. Dado un bucle regular a trozos? :? M basado en x en M, la conexión define un transporte paralelo mapa P: ¿ex? Ex. Este mapa es tanto lineal e invertible y así define un elemento de GL. El grupo de holonomía? basado en x se define como

El grupo holonomía restringida basada en x es el subgrupo viene de bucles contráctiles?.

Si se conecta M entonces el grupo holonomía depende del punto base x sólo hasta la conjugación en GL. Explícitamente, si? es un camino de x a y en M entonces

La elección de diferentes identificaciones de Ex con Rk también da subgrupos conjugadas. A veces, sobre todo en los debates generales o informal, se puede caer referencia al punto base, en el entendido de que la definición es buena hasta conjugación.

Algunas propiedades importantes del grupo holonomía incluyen:

  • Hol0 es conectado, Lie subgrupo de GL.
  • Hol0 es el componente de la identidad de Hol.
  • Hay una, sobreyectiva p1 homomorfismo de grupo natural? Hol/Hol0, donde p1 es el grupo fundamental de M, que envía la clase de homotopía del cociente P? Hol0.
  • Si M es simplemente conexa entonces Hol = Hol0.
  • ? es plana si y sólo si Hol0 es trivial.

Holonomía de una conexión en un fibrado principal

La definición de holonomía de conexiones en paquetes principales procede en forma paralela. Sea G un grupo de Lie y P a G-fibrado principal sobre una variedad M liso, paracompact. Vamos? ser una conexión en P. Dado un bucle regular a trozos? :? M basa en x en M y un punto P en la fibra sobre x, la conexión define una elevación horizontal única de tal manera que. El punto final de la elevación horizontal, generalmente no será p sino más bien algún otro punto de PG en la fibra sobre x. Definir una relación de equivalencia ~ sobre P diciendo que p ~ q si pueden ser unidos por un camino horizontal regular a trozos en P.

El grupo de holonomía? basado en p se define entonces como

El grupo holonomía restringido basado en p es el Hol0p subgrupo procedente de ascensores horizontales de bucles contráctiles?.

Si M y P se conectan entonces el grupo holonomía depende del punto base p sólo hasta la conjugación en G. explícitamente, si q es cualquier otro punto base elegido para la holonomía, entonces existe una única g? G tal que q ~ p g. Con este valor de g,

En particular,

Por otra parte, si p entonces q ~ Holp = Holq. Como arriba, a veces una referencia gotas para el punto de base del grupo holonomía, con el entendimiento de que la definición es buena hasta conjugación.

Algunas propiedades importantes del holonomía y grupos holonomía restringidos incluyen:

  • Hol0p es un subgrupo de Lie conexo de G.
  • Hol0p es el componente de identidad de Holp.
  • Hay una, sobreyectiva p1 homomorfismo de grupo natural? Holp/Hol0p.
  • Si M es simplemente conexa entonces Holp = Hol0p.
  • ? es plana si y sólo si Hol0p es trivial.

Paquetes holonomía

Sea M una variedad diferenciable conectado paracompact y P a G-fibrado principal de conexión?, Como antes. Sea p? P un punto del fibrado principal arbitraria. Sea H el conjunto de puntos de P que se pueden unir a la p por una curva horizontal. A continuación, se puede demostrar que H, con la proyección del mapa evidente, es un fibrado principal de M con el grupo de estructura Hol0p. Este fibrado principal se llama el paquete holonomía de la conexión. La conexión? restringe a una conexión en H, ya que sus mapas de transporte paralelas conservan H. Por lo tanto H es un conjunto reducido para la conexión. Por otra parte, ya que no subfibrado de H se conserva en transporte paralelo, que es la mínima dicha reducción.

Al igual que con los grupos holonomía, el paquete holonomía también transforma equivariante en el principal ambiente haz P. En detalle, si q? P es otro punto base elegido para la holonomía, entonces existe una única g? G tal que q ~ p g. Por lo tanto H = H g. Como consecuencia de ello, las conexiones inducidas en paquetes holonomía correspondientes a diferentes opciones de punto de base son compatibles uno con el otro: sus mapas de transporte paralelas serán diferentes por exactamente el mismo elemento g.

Monodromía

El holonomía haz H es un fibrado principal para Holp, y así también admite una acción del grupo holonomía restringido Hol0p. El Holp/Hol0p grupo discreto se llama el grupo monodromía de la conexión, sino que actúa sobre el haz de H/Hol0p cociente. Hay un homomorfismo sobreyectiva f: p1? Holp/Hol0p, de manera que f actúa sobre H/Hol0p. Esta acción del grupo fundamental es una representación monodromía del grupo fundamental.

Holonomía Local e infinitesimal

Si p: P? M es un fibrado principal, y? es una conexión en P, entonces el holonomía de? puede limitarse a la fibra sobre un abierto de M. En efecto, si U es un subconjunto abierto conexo de M, entonces? limita a dar una conexión en el paquete de p-1U sobre U. La holonomía de este paquete se denota por Holp) para cada p con p? U.

Si U? V son dos conjuntos abiertos que contienen p, entonces hay una inclusión evidente

El grupo holonomía local en un punto P se define por

para cualquier familia de conjuntos abiertos conectados anidados con Uk.

El grupo holonomía local tiene las siguientes propiedades:

  • Se trata de un subgrupo de Lie conexo del grupo holonomía restringido Holp0.
  • Cada punto p tiene una vecindad V tal que Holp * = Holp0. En particular, el grupo holonomía local depende sólo del punto de p, y no a la elección de la secuencia Uk utilizado para definirlo.
  • El holonomía local es equivariante con respecto a la traslación por elementos del grupo de estructura G, de P, es decir, Hol * pg = AdHol * p para todos los g? G.
  • El grupo holonomía local no se comporta bien como un objeto global. En particular, su dimensión puede dejar de ser constante. Sin embargo, el siguiente teorema se cumple:

    • Si la dimensión del grupo holonomía local es constante, la holonomía local y restringida de acuerdo: Hol * p = Holp0.

    Ambrose-Singer teorema

    El teorema de Ambrose-Singer se refiere la holonomía de una conexión en un fibrado principal de la forma de la curvatura de la conexión. Para hacer plausible esta teorema, consideremos el caso conocido de una conexión afín. La curvatura surge cuando se viaja alrededor de un paralelogramo infinitesimal.

    En detalle, si s:? M es una superficie en M parametrizada por un par de variables x e y, a continuación, un vector V puede ser transportado en torno al límite de s: primero a lo largo de, a continuación, a lo largo, seguido por ir en la dirección negativa y, a continuación, de nuevo al punto de origen. Este es un caso especial de un bucle holonomía: el vector V se actúa sobre el elemento del grupo holonomía correspondiente a la elevación del límite de s. La curvatura entra explícitamente cuando el paralelogramo es reducido a cero, mediante el desplazamiento de los límites de paralelogramos menores a lo largo. Esto corresponde a tomar un derivado de los mapas de transporte paralelas en x = y = 0:

    donde R es el tensor de curvatura. Por lo tanto, en términos generales, la curvatura da la holonomía infinitesimal en un bucle cerrado. Más formalmente, la curvatura es el diferencial de la acción holonomía en la identidad del grupo holonomía. En otras palabras, R es un elemento del álgebra de Lie de Holp.

    En general, considera la holonomía de una conexión en un fibrado principal P? M más de P con el grupo G. estructura denota el álgebra de Lie de G de g, la forma de la curvatura de la conexión a 2 g forma de valor S en P. Los Ambrose-Singer teorema:

    • El álgebra de Lie de Holp se extendió por todos los elementos de g de la forma Oq lo q va sobre todos los puntos que se pueden unir a la p por una curva horizontal, y X e Y son vectores tangentes horizontales en q. Alternativamente, el teorema puede ser reformulada en términos del paquete holonomía:
    • El álgebra de Lie de Holp es el subespacio de g atravesado por elementos de la forma Oq donde q? H y X e Y son vectores horizontales en q.

    Holonomía Riemann

    El holonomía de una variedad de Riemann es el grupo holonomía de la conexión de Levi-Civita en el paquete de la tangente a M. Una variedad de Riemann n-dimensional "genérico" tiene un holonomía O o SO si es orientable. Colectores cuyo holonomía grupos son subgrupos propios de O o SO tienen propiedades especiales.

    Uno de los resultados fundamentales primeros en holonomía Riemann es el teorema de Borel y Lichnerowicz, que afirma que el grupo holonomía es un subgrupo de Lie cerrado de O. En particular, es compacto.

    Holonomía reducible y la descomposición de Rham

    Vamos x? M un punto arbitrario. A continuación, el grupo holonomía Hol actúa sobre el TxM espacio tangente. Esta acción puede ser o bien irreductible como una representación de grupo, o reducible en el sentido de que hay una división de TxM en subespacios ortogonales TxM = T'xM? T? XM, cada uno de los cuales es invariante bajo la acción de Hol. En este último caso, M se dice que es reducible.

    Supongamos que M es una variedad reducibles. Permitir que el punto x que varían, los haces de T'M y T? M formado por la reducción del espacio tangente en cada punto son distribuciones lisas que son integrables en el sentido de Frobenius. Las variedades integrales de estas distribuciones son subvariedades totalmente geodésicas. Así que M es localmente un producto cartesiano M 'M?. El isomorfismo de Rham sigue al seguir este proceso hasta que se consigue una reducción total del espacio tangente:

    • Sea M una variedad riemanniana simplemente conexo y TM = TM? TM? ... ? TM sea la reducción completa del paquete de la tangente bajo la acción del grupo holonomía. Supongamos que TM se compone de vectores invariantes bajo el grupo holonomía. Entonces localmente M es isométrica a un producto

     donde V0 es un conjunto abierto en un espacio euclidiano, y cada Vi es una variedad integral de TM. Además, Hol divide como un producto directo de los grupos holonomía de cada Mi.

    Si, por otra parte, M se asume que es geodésicamente completa, entonces el teorema se cumple a nivel mundial, y cada Mi es un colector geodésicamente completa.

    La clasificación Berger

    En 1955, M. Berger dio una clasificación completa de los posibles grupos holonomía para simplemente conexas, variedades de Riemann, que son irreductibles y no simétrica. Lista de Berger es la siguiente:

     Ahora se sabe que todas estas posibilidades se producen como holonomía grupos de variedades de Riemann. Los dos últimos casos excepcionales fueron los más difíciles de encontrar. Ver colector G2 y el colector de la vuelta.

    Tenga en cuenta que Sp? SU? U? SO, por lo que cada colector hyperkhler es una variedad de Calabi-Yau, cada variedad de Calabi-Yau es una variedad Köhler, y cada colector Köhler es orientable.

    La extraña lista anterior se explica por la demostración del teorema de Berger de Simons. Una prueba simple y geométrico del teorema de Berger fue dada por Carlos Olmos en 2005 - Una primera muestra que si una variedad de Riemann no es un espacio localmente simétrica y la holonomía reducido actúa irreducible en el espacio tangente, a continuación, actúa transitivamente en la esfera unidad. Los grupos de Lie actúan transitivamente en esferas son conocidos: consisten en la lista anterior, junto con 2 casos adicionales: la vuelta del grupo que actúa en R16, y el grupo T Sp. actúan en R4M. Finalmente uno comprueba que el primero de estos dos casos adicionales sólo se produce como un grupo holonomía para espacios localmente simétricos, y el segundo no se produce en absoluto como un grupo holonomía.

    Clasificación original de Berger también incluía no definida positiva pseudo-riemanniana métrica holonomía no localmente simétrica. La lista constaba de los de la firma, U y SU de la firma, Sp y PAPS de la firma, SO de la firma, SO de la firma, divididos de la firma G2, G2 de la firma, la vuelta de la firma, la vuelta de la firma, la vuelta de la firma y, por último, Vuelta de la firma. La división y la vuelta complejizado son necesariamente localmente simétrica como antes y no deberían haber estado en la lista. Los holonomies complejizado así, G2 y giros se pueden realizar a partir de complejizar reales variedades de Riemann analíticas. El último caso, los colectores con holonomía contenidos en SO, se mostró a ser localmente plana por R. McLean.

    Espacios simétricos de Riemann, que son localmente isométricas de espacios homogéneos G/H tienen isomorfo holonomía local para H. Estos también han sido completamente clasificado.

    Por último, el artículo de Berger enumera los posibles grupos holonomía de colectores, con sólo una conexión afín libre de torsión, lo que se discute a continuación.

    Holonomía Especial y espinores

    Colectores con holonomía especial se caracterizan por la presencia de espinores paralelas, es decir, campos espinoriales con fuga derivada covariante. En particular, los hechos siguientes se cumplen:

    • Hol? T si y sólo si M admite un campo espinorial pura proyectiva covariantly constante.
    • Si M es un colector de giro, a continuación, Hol? SU si y sólo si M admite al menos dos campos espinoriales puros paralelas linealmente independientes. De hecho, un campo espinorial pura paralelo determina una reducción canónica de la estructura de grupo a SU.
    • Si M es un colector de giro de siete dimensiones, entonces M lleva un campo espinorial paralelo no trivial si y sólo si el holonomía está contenida en G2.
    • Si M es un colector de giro de ocho dimensiones, entonces M lleva un campo espinorial paralelo no trivial si y sólo si el holonomía está contenida en la vuelta.

    Los holonomies unitaria unitaria y especiales se estudian a menudo en conexión con la teoría tuistor, así como en el estudio de las estructuras casi complejas.

     Aplicaciones a la teoría de las cuerdas

    Variedades de Riemann con holonomía especiales juegan un papel importante en compactaciones de la teoría de cuerdas. Esto se debe a colectores especiales holonomía admiten espinores covariantly constantes y así preservar una fracción de la supersimetría inicial. Lo más importante son compactificaciones en colectores de Calabi-Yau con SU o holonomía SU. También son importantes las compactaciones de colectores G2.

    Holonomía Afines

    Holonomía grupos afines son los grupos que surgen como holonomies de conexiones afines sin torsión, los que no son de Riemann o grupos holonomía pseudo-riemanniana también se conocen como grupos holonomía no métricas. El teorema de la descomposición Derham no se aplica a grupos holonomía afines, por lo que una clasificación completa está fuera de su alcance. Sin embargo, todavía es natural para clasificar holonomies afines irreducibles.

    En el camino a la clasificación de los grupos holonomía Riemann, Berger desarrolló dos criterios que deben ser satisfechos por el álgebra de Lie del grupo holonomía de una conexión sin torsión afín que no es localmente simétrica: una de ellas, conocida como primer criterio de Berger, es una consecuencia del teorema de Ambrose-Singer, que la curvatura genera el álgebra holonomía; la otra, conocida como segundo criterio de Berger, proviene de la exigencia de que la conexión no debe ser localmente simétrica. Berger presenta una lista de los grupos que actúan irreductiblemente y satisfacer estos dos criterios, lo que puede interpretarse como una lista de posibilidades para holonomies afines irreducibles.

    Lista de Berger más tarde se demostró que era incompleta: ejemplos adicionales se encontraron por R. Bryant y por P. Chi, S. Merkulov, y L. Schwachhfer. Estas se conocen a veces como holonomies exóticos. La búsqueda de ejemplos en última instancia condujo a una clasificación completa de holonomies afines irreducibles por Merkulov y Schwachhfer, con Bryant que muestra que todos los grupos en su lista se presenta como un grupo holonomía afín.

    La clasificación Merkulov-Schwachhfer se ha aclarado considerablemente por una conexión entre los grupos en la lista y ciertos espacios simétricos, es decir, los espacios simétricos hermitianos y los espacios simétricos cuaternión-Köhler. La relación es particularmente claro en el caso de holonomies afines complejas, como lo demuestra Schwachhfer.

    Sea V un espacio vectorial complejo de dimensión finita, sea H? AUT ser un complejo semisimple subgrupo de Lie conexo irreductible y dejar que K? H un subgrupo compacto máximo.

  • Si hay un espacio simétrico irreductible hermitiana de la forma G /, a continuación, ambos H y C * H son grupos holonomía afines irreducibles no simétricas, donde V la representación tangente de K.
  • Si hay una irreductible cuaternión-Köhler espacio simétrico de la forma G /, entonces H es un no-simétricas grupos holonomía afines irreducibles, como C * H si dim V = 4 - Aquí la representación de la tangente complejizada Sp. K es C2? V y H conserva una forma simpléctica complejo en V.
  • Estas dos familias producen todos los grupos no simétricos irreducibles complejos holonomía afines además de lo siguiente:

    Utilizando la clasificación de los espacios simétricos hermitianos, la primera familia da los siguientes grupos holonomía afines complejas:

    donde ZC es bien trivial, o el grupo C *.

    Usando la clasificación de cuaternión-Köhler espacios simétricos, la segunda familia da los siguientes grupos holonomía simplécticos complejas:

    A partir de estas listas, un análogo del resultado de Simón que los grupos holonomía riemannianas actúan transitivamente en esferas se puede observar: las representaciones holonomía complejos son espacios vectoriales prehomogeneous. Una prueba conceptual de este hecho no se conoce.

    La clasificación de los irreductibles holonomies afines reales se puede obtener a partir de un cuidadoso análisis, utilizando las listas anteriores y el hecho de que el Real holonomies afines Complejizar a los complejos.

    Etimología

    Hay una palabra similar, "holomorfa", que fue presentado por dos de los estudiantes de Cauchy, Briot y Bouquet, y deriva del griego que significa "todo", y f? que significa "forma" o "apariencia". La etimología de acciones "holonomía" La primera parte de "holomorfa". Sobre la segunda parte:

     "Es muy difícil encontrar la etimología de holonómica en la web me encontré con lo siguiente:. 'Creo que fue utilizado por primera vez por Poinsot en su análisis del movimiento de un cuerpo rígido En esta teoría, un sistema se llama". Holonómica "si, en cierto sentido, se puede recuperar la información global de la información local, por lo que el significado de" toda la ley "es muy apropiado. El balanceo de una bola en una mesa no es holonómica, porque uno rodar por caminos diferentes a la mismo punto se puso en distintas orientaciones. Sin embargo, es tal vez un poco demasiado simplista decir que "holonomía" significa "toda la ley." La raíz "nom" tiene muchos significados entrelazados en griego, y tal vez con más frecuencia se refiere a " contando ". Proviene de la misma raíz indoeuropea que nuestra palabra" número ". '"-S.Golwala,

    ¿Ven y-nomía.