Valor temporal del dinero, Cálculos, Fórmula, Derivaciones, Ejemplos, Capitalización continua, Ecuaciones diferenciales


El valor temporal del dinero es el valor del dinero pensando en una determinada cantidad de intereses devengados o la inflación acumulada durante un período de tiempo determinado. El principio último sugiere que una cierta cantidad de dinero hoy en día tiene diferente poder adquisitivo que la misma cantidad de dinero en el futuro. Esta noción existe tanto porque hay una oportunidad de ganar intereses sobre el dinero y porque la inflación impulsará los precios hacia arriba, cambiando así el "valor" del dinero. El valor temporal del dinero es el concepto central de la teoría financiera.

Por ejemplo, $ 100 de dinero de hoy invertidos durante un año y gana 5% de interés tendrá un valor de $ 105 después de un año. Por lo tanto, $ 100 paga ahora o $ 105 pagado exactamente un año a partir de ahora los dos tienen el mismo valor para el receptor que asume la participación del 5%, utilizando el valor temporal del dinero terminología, Inversión de $ 100 por un año a un interés del 5% tiene un valor futuro de $ 105. Esta noción data por lo menos de Martín de Azpilcueta de la Escuela de Salamanca.

El método también permite la valoración de un flujo probable de ingresos en el futuro, de tal manera que los ingresos anuales se descuentan y suman, proporcionando así un "valor presente" de suma global de todo el flujo de ingresos.

Todos los cálculos estándar para el valor temporal del dinero se derivan de la expresión algebraica más básica para el valor presente de una cantidad futura, "descuento" al presente en una cantidad igual al valor temporal del dinero. Por ejemplo, una suma de FV para ser recibido en un año se descuenta para dar una suma de la energía fotovoltaica en la actualidad: PV = FV - RPV = FV /.

Algunos cálculos estándar en función del valor temporal del dinero son:

 Valor actual El valor actual de una suma futura de dinero o corriente de flujos de caja dada una tasa determinada de retorno. Los flujos de efectivo futuros se descuentan a la tasa de descuento, y cuanto mayor sea la tasa de descuento, menor será el valor actual de los flujos de efectivo futuros. La determinación de la tasa de descuento adecuada es la clave para valorar adecuadamente los flujos de efectivo futuros, ya sean ingresos u obligaciones. Valor presente de una anualidad Una anualidad es una serie de pagos iguales o recibos que se producen a intervalos regulares. Arrendamientos y pagos de alquiler son ejemplos. Los pagos o cobros se producen al final de cada período de una anualidad ordinaria, mientras que se producen al comienzo de cada período de una anualidad anticipada. Valor presente de una perpetuidad es una corriente infinita y constante de los flujos de efectivo idénticos. Valor futuro es el valor de un activo o efectivo en una fecha determinada en el futuro que es equivalente en valor a una suma especificada en la actualidad. Valor futuro de una anualidad es el valor futuro de una serie de pagos, suponiendo que los pagos son invertidos a una tasa de interés dada.

Cálculos

Hay varias ecuaciones básicas que representan las igualdades enumerados anteriormente. Las soluciones se pueden encontrar usando las fórmulas, una calculadora financiera o una hoja de cálculo. Las fórmulas que se programan en la mayoría de las calculadoras financieras y varias funciones de hoja de cálculo.

Para cualquiera de las ecuaciones de abajo, la fórmula también puede ser reorganizado para determinar una de las otras incógnitas. En el caso de la fórmula anualidad estándar, sin embargo, no existe una solución algebraica de forma cerrada para la tasa de interés.

Estas ecuaciones se combinan con frecuencia para usos particulares. Por ejemplo, los bonos pueden tener un precio fácilmente usando estas ecuaciones. Un bono cupón típica se compone de dos tipos de pagos: una corriente de los pagos de cupones similares a una anualidad, y la vuelta a tanto alzado del capital al final del vencimiento del bono - es decir, un pago futuro. Las dos fórmulas se pueden combinar para determinar el valor actual del bono.

Una nota importante es que la tasa de interés i es la tasa de interés durante el período mencionado. Para obtener una renta vitalicia que hace un pago por año, voy a ser la tasa de interés anual. Para un ingreso o corriente de pagos con un plan de pago diferente, la tasa de interés debe ser convertido en el tipo de interés periódico correspondiente. Por ejemplo, una tasa mensual de una hipoteca con pagos mensuales requiere que la tasa de interés se divide entre 12. Véase el interés compuesto para obtener detalles sobre la conversión entre diferentes tipos de intereses periódicos.

La tasa de retorno en los cálculos puede ser resuelto por la variable o una variable predefinida que mide la tasa de descuento, el interés, la inflación, la tasa de rendimiento, costo de capital, costo de la deuda o cualquier número de otros conceptos análogos. La elección de la tasa apropiada es fundamental para el ejercicio, y el uso de una tasa de descuento correctos hará que los resultados de sentido.

Para cálculos con anualidades, debe decidir si los pagos se realizan al final de cada período, o al comienzo de cada período. Si está utilizando una calculadora financiera o una hoja de cálculo, por lo general, puede configurarlo para cualquier cálculo. Las siguientes fórmulas son para una anualidad ordinaria. Si desea que la respuesta para el valor actual de una anualidad anticipada simplemente multiplique el valor actual de una anualidad ordinaria.

Fórmula

Valor presente de una suma futura

La fórmula del valor es la fórmula básica para el valor temporal del dinero, cada una de las otras fórmulas se deriva de esta fórmula. Por ejemplo, la fórmula de anualidad es la suma de una serie de cálculos de valor presente.

La fórmula del valor actual tiene cuatro variables, cada uno de los cuales se pueden resolver para:

  • PV es el valor en el tiempo = 0
  • FV es el valor en el tiempo = n
  • i es la tasa de descuento, o la tasa de interés a la cual el importe se agrava cada período
  • n es el número de períodos
  • El valor actual acumulado de flujos de efectivo futuros se puede calcular sumando las contribuciones de TVR, el valor del flujo de caja en el tiempo t

    Tenga en cuenta que esta serie se puede resumir para un valor dado de n, o cuando n es 8. Esta es una fórmula muy general, que conduce a varios casos especiales importantes se indican a continuación.

    Valor presente de una anualidad de los plazos de pago n

    En este caso, los valores de flujo de caja se mantienen iguales durante los períodos n. El valor presente de una anualidad fórmula tiene cuatro variables, cada una de las cuales se pueden resolver para:

  • PV es el valor de la renta en el tiempo = 0
  • A es el valor de los pagos individuales en cada período de capitalización
  • i es igual a la tasa de interés que se agrava por cada periodo de tiempo
  • n es el número de períodos de pago.
  • Para obtener el valor actual de una anualidad anticipada, multiplicar la ecuación anterior por.

    Valor presente de una anualidad creciente

    En este caso, cada flujo de efectivo crece en un factor de. Al igual que en la fórmula de una anualidad, el valor presente de una anualidad creciente utiliza las mismas variables con la adición de g como la tasa de crecimiento de la renta vitalicia. Este es un cálculo que rara vez se prevé en las calculadoras financieras.

    Donde i? g:

    Para obtener el valor actual de una renta cada vez mayor debido, multiplicar la ecuación anterior por.

    Donde i = g:

    Valor presente de una perpetuidad

    Cuando n? 8, el PV de una fórmula de perpetuidad se convierte en simple división.

    Valor presente de las anualidades Factor Int

    Inversión = 1000 Int. 6,90% de interés compuesto trimestral Años Tenencia 5

    Valor presente de una perpetuidad creciente

    Cuando el pago de la anualidad perpetua crece a una tasa fija del valor teórico determinado de acuerdo con la siguiente fórmula. En la práctica, hay pocos valores con características precisas, y la aplicación de este método de valoración está sujeta a varios requisitos y modificaciones. Lo más importante, es raro encontrar a una creciente anualidad perpetua con tasas fijas de crecimiento y la verdadera generación de caja a perpetuidad. A pesar de estos requisitos, el enfoque general se puede utilizar en las valoraciones de los bienes raíces, acciones y otros activos.

    Este es el modelo de crecimiento de Gordon conocido utilizado para la valoración de existencias.

    Valor futuro de un presente suma

    La fórmula del valor futuro es similar y utiliza las mismas variables.

    Valor futuro de una anualidad

    El valor futuro de una fórmula anualidad tiene cuatro variables, cada uno de los cuales se pueden resolver para:

  • FV es el valor de la renta en el tiempo = n
  • A es el valor de los pagos individuales en cada período de capitalización
  • i es la tasa de interés que se agrava por cada periodo de tiempo
  • n es el número de períodos de pago
  • Para obtener la FV de una anualidad anticipada, multiplicar la ecuación anterior por.

    Valor futuro de una anualidad creciente

    El valor futuro de una fórmula anualidad creciente tiene cinco variables, cada uno de los cuales se pueden resolver para:

    Donde i? g:

    Donde i = g:

  • FV es el valor de la renta en el tiempo = n
  • A es el valor del pago inicial pagado en el tiempo 1
  • i es la tasa de interés que se agrava por cada periodo de tiempo
  • g es la tasa de crecimiento que se agrava para cada periodo de tiempo
  • n es el número de períodos de pago
  • Derivaciones

    Derivación Anualidad

    La fórmula para el valor actual de un flujo regular de los pagos futuros se deriva de la suma de la fórmula para el valor futuro de un pago único futuro, como abajo, donde C es la cantidad del pago y n el período.

    Un pago único C en el tiempo futuro m tiene el siguiente valor futuro al tiempo futuro n:

    Sumando sobre todos los pagos del tiempo 1 al tiempo n, y luego revertir t

    Tenga en cuenta que esta es una serie geométrica, con el valor inicial de ser un = C, el factor multiplicativo es de 1 i, con n términos. La aplicación de la fórmula para la serie geométrica, obtenemos

    El valor actual de la anualidad se obtiene simplemente dividiendo por:

    Otra forma sencilla e intuitiva para derivar el valor futuro de una anualidad es considerar una dotación, cuyo interés se paga como la anualidad, y cuyo principal permanece constante. El director de esta dotación hipotética puede ser computado como aquel cuyo interés es igual a la cantidad de pago de anualidades:

    Tenga en cuenta que el dinero no entra o sale del sistema combinado del capital de dotación pagos de anualidades acumuladas, y por lo tanto el valor futuro de este sistema se puede calcular simplemente a través de la fórmula de valor futuro:

    Inicialmente, antes de cualquier pago, el valor actual del sistema es el principal don. Al final, el valor futuro es el director de la dotación de más el valor futuro de los pagos totales de renta vitalicia. Al conectar esto en la ecuación:

    Derivación Perpetuidad

    Sin que muestra la derivación formal aquí, la fórmula perpetuidad se deriva de la fórmula anualidad. Específicamente, el término:

    puede ser visto a acercarse el valor de 1 cuando n se hace más grande. En el infinito, que es igual a 1, dejando como único plazo restante.

    Ejemplos

    Ejemplo 1: Valor actual

    Cien euros a pagar 1 año a partir de ahora, en que la tasa de retorno esperada es del 5% al año, vale la pena en dinero de hoy:

    Por lo tanto el valor actual de 100 dentro de un año a 5% es 95,24.

    Ejemplo 2: Valor presente de una anualidad - la solución para la cantidad de pago

    Considere la posibilidad de una hipoteca a 10 años, donde el monto de capital P es de $ 200.000 y la tasa de interés anual es del 6%.

    El número de pagos mensuales es

    y la tasa de interés mensual es de

    La fórmula de anualidad para calcular el pago mensual:

    Esto se considera una composición de tipo de interés mensual. Si el interés fuera sólo en el compuesto anual del 6%, el pago mensual sería muy diferente.

    Ejemplo 3: Despejando el tiempo necesario para duplicar el dinero

    Considere la posibilidad de un depósito de US $ 100 colocado en el 10%. ¿Cuántos años son necesarios para el valor del depósito se duplique a $ 200?

    Usando la identidad algrebraic que si:

    entonces

    La fórmula del valor actual se puede reordenar de manera que:

    Este mismo método se puede utilizar para determinar la longitud de tiempo que se necesita para aumentar un depósito para cualquier cantidad determinada, siempre y cuando la tasa de interés se conoce. Para el período de tiempo necesario para duplicar una inversión, la regla del 72 es un atajo útil que da una aproximación razonable del tiempo necesario.

    Ejemplo 4: ¿Qué cambio es necesario para duplicar el dinero?

    Del mismo modo, la fórmula del valor se puede reordenar para determinar lo que se necesita la tasa de rendimiento de acumular una cantidad determinada de una inversión. Por ejemplo, $ 100 se invirtieron $ 200 hoy y rentabilidad que se espera en cinco años, ¿qué tasa de retorno representa esto?

    La fórmula del valor reexpresado en términos de la tasa de interés es:

     véase también el artículo 72 de la

    Ejemplo 5: Calcular el valor de un depósito de ahorros en el futuro.

    Para calcular el valor futuro de una corriente de depósito de ahorros en el futuro requiere dos pasos, o, alternativamente, la combinación de los dos pasos en una fórmula de gran tamaño. En primer lugar, se calcula el valor actual de una corriente de depósitos de $ 1,000 por año durante 20 años de ingresos 7% de interés:

    Esto no suena como mucho, pero recuerda - se trata de dinero futuros descontados a su valor actual, es comprensible inferior. Para calcular el valor futuro:

    Estos pasos se pueden combinar en una sola fórmula:

    Ejemplo 6: Precio/beneficio

    Se menciona a menudo que perpetuities o valores con un vencimiento a largo plazo de forma indefinida, son raras o poco realistas, y en particular los que tienen un pago cada vez mayor. De hecho, muchos tipos de activos tienen características que son similares a perpetuities. Algunos ejemplos podrían incluir bienes raíces orientada al ingreso, las acciones preferidas, e incluso la mayoría de las formas de acciones que cotizan en bolsa. Con frecuencia, la terminología puede ser un poco diferente, pero se basan en los fundamentos del valor temporal del dinero cálculos. La aplicación de esta metodología está sujeta a varias cualificaciones o modificaciones, tales como el modelo de crecimiento Gordon.

    Por ejemplo, las acciones se observan comúnmente como el comercio en una determinada relación P/E. La relación P/E se reconoce fácilmente como una variación de la perpetuidad o fórmulas de crecimiento a perpetuidad - salvo que la relación P/E se suele citar como el inverso de la "tasa" en la fórmula perpetuidad.

    Si sustituimos por el momento: el precio de las acciones por el valor presente, el beneficio por acción de las acciones para la anualidad en efectivo, y la tasa de descuento de las acciones de la tasa de interés, se puede observar que:

    Y, de hecho, la relación P/E es análoga a la inversa de la tasa de interés.

    Por supuesto, las acciones pueden haber aumento de los ingresos. La formulación anterior no permite el crecimiento de los resultados, pero para incorporar el crecimiento, la fórmula puede ser reexpresada como sigue:

    Si se desea determinar la tasa implícita de crecimiento, podemos despejar g:

    Capitalización continua

    Las tarifas se convierten a veces en el continuo compuesto de tipo de interés equivalente debido a que el continuo equivalente es más conveniente. Cada uno de los formul anterior puede ser objeto de modificación en sus equivalentes continuos. Por ejemplo, el valor presente en el momento 0 de un pago futuro en el tiempo t puede reformularse de la siguiente manera, donde e es la base del logaritmo natural y r es la tasa de capitalización continua:

    Esto puede ser generalizado a las tasas de descuento que varían con el tiempo: en lugar de una constante r tipo de descuento, se utiliza una función del tiempo r. En ese caso, el factor de descuento, por lo que el valor presente de un flujo de caja en el tiempo T viene dada por la integral de la velocidad r compuesto continuo:

    De hecho, la razón principal para el uso de mezcla continua es simplificar el análisis de los diferentes tipos de descuento y permitir que se debe usar las herramientas de cálculo. Además, los intereses devengados y capitalizados durante la noche, capitalización continua es una aproximación cercana a la capitalización diaria real. Un análisis más sofisticado incluye el uso de ecuaciones diferenciales, como se detalla a continuación.

    Ejemplos

    Uso de la composición continua produce los siguientes fórmulas para varios instrumentos:

     Anualidad perpetuidad creciente anualidad creciente Anualidad perpetuidad con pagos continuos

    Estas fórmulas asumen que el pago se hace en un primer período de pago de anualidades y termina en el momento t.

    Ecuaciones diferenciales

    Ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales - ecuaciones con derivados y uno las variables son omnipresentes en los tratamientos más avanzados de las matemáticas financieras. Mientras que el valor temporal del dinero puede ser entendido sin necesidad de utilizar el marco de las ecuaciones diferenciales, la sofisticación añadido arroja más luz sobre el valor tiempo, y proporciona una simple introducción antes de considerar las situaciones más complicadas y menos familiar. Esta exposición sigue.

    El cambio fundamental que la perspectiva de la ecuación diferencial trae es que, en lugar de calcular un número, uno calcula una función. Esta función puede entonces ser analizada - ¿Cómo cambia su valor con el tiempo - y en comparación con otras funciones.

    Formalmente, la afirmación de que "el valor disminuye con el tiempo" viene dado por la definición del operador diferencial lineal como:

    Esto indica que los valores disminuyen con el tiempo a la tasa de descuento. Aplicado a una función que se obtiene:

    Para un instrumento cuya corriente de pago se describe por f, el valor V satisface la EDO de primer orden no homogénea - este codifica el hecho de que cuando se produce ningún flujo de caja, el valor de los cambios de instrumento por el valor del flujo de caja.

    La herramienta técnica estándar en el análisis de las odas es el uso de las funciones de Green, de la que otras soluciones se pueden construir. En términos de valor temporal del dinero, la función de Green es el valor de un bono que paga $ 1 en un solo punto en el tiempo u - el valor de cualquier otra corriente de flujos de efectivo se pueden obtener mediante la adopción de combinaciones de este flujo de caja básica. En términos matemáticos, el flujo de efectivo instantáneo se modela como una función delta de Dirac

    La función de Green para el valor en el momento t de un flujo de efectivo $ 1 en el momento u es

    donde H es la función de Heaviside paso - la notación "" es hacer hincapié en que u es un parámetro, mientras que t es una variable. En otras palabras, los flujos de efectivo futuros se descuentan de forma exponencial por la suma de las futuras tasas de descuento, mientras que los flujos de efectivo pasadas valen 0, debido a que ya se han producido. Tenga en cuenta que el valor en el momento de un flujo de caja no está bien definido - hay una discontinuidad en ese momento, y se puede utilizar una convención, o simplemente no define el valor en ese punto.

    En caso de que la tasa de descuento es constante, esto se simplifica a

    donde se "tiempo restante hasta el flujo de caja".

    Así, para una serie de flujos de caja f termina por tiempo T el valor en el tiempo t, viene dada por la combinación de los valores de estos flujos de efectivo individuales:

    Esto formaliza valor temporal del dinero para los valores futuros de los flujos de caja con diferentes tasas de descuento, y es la base de muchas fórmulas de matemáticas financieras, tales como la fórmula Negro-Scholes con diferentes tasas de interés.