Teorema fundamental de la aritmética, Historia, Aplicaciones, Prueba, Las generalizaciones



En teoría de números, el teorema fundamental de la aritmética, también llamado el teorema de factorización única o el teorema única-prime-factorización, establece que todo número entero mayor que 1 es o prime mismo o es el producto de los números primos, y que, a pesar de la orden de los números primos en el segundo caso es arbitraria, los propios primos no lo son. Por ejemplo,

El teorema está diciendo dos cosas: primero, que el 1200 puede ser representado como un producto de números primos, y en segundo lugar, no importa cómo se hace esto, siempre habrá cuatro 2s, un 3, dos 5s, y no otros primos en el producto .

El requisito de que los factores sean primo es necesario: factorizaciones contienen números compuestos pueden no ser único.

Historia

Libro VII, las proposiciones 30 y 32 de los Elementos de Euclides es esencialmente la declaración y demostración del teorema fundamental. El artículo 16 de Gauss Disquisitiones Arithmeticae es una declaración moderna temprana y la prueba empleando la aritmética modular.

Aplicaciones

Representación canónica de un entero positivo

Cada entero positivo n> 1 se puede representar exactamente de una manera como un producto de potencias principales:

donde p1

Esta representación se llama la representación canónica de n, o la forma estándar de n.

 Por ejemplo 999 = 3337, 1000 = 2353, 1001 = 71113

Tenga en cuenta que los factores p0 = 1 se puede insertar sin cambiar el valor de n. De hecho, cualquier número entero positivo se puede representar de manera única como un producto infinito hecho cargo de todos los números primos positivos,

donde un número finito de la NI son números enteros positivos, y el resto son cero. Permitir exponentes negativos proporciona una forma canónica de los números racionales positivos.

Las operaciones aritméticas

Esta representación es conveniente para expresiones como éstas para el producto, mcd y mcm:

Mientras expresiones como estas son de gran importancia teórica de su uso práctico está limitado por nuestra capacidad para factorizar números.

Funciones aritméticas

Muchas de las funciones aritméticas se definen mediante la representación canónica. En particular, los valores de aditivo y multiplicativo funciones están determinadas por sus valores sobre los poderes de los números primos.

Prueba

La prueba utiliza el lema de Euclides: si un primo p divide el producto de dos números naturales ayb, entonces p divide a o p divide a b. El artículo tiene pruebas de la lemma.

Existencia

Por inducción: asuma que es cierto para todos los números menores que n. Si n es primo, no hay nada más que demostrar. De lo contrario, no son números enteros a y b, donde n = ab y 1

Unicidad

Supongamos que s> 1 es el producto de los números primos de dos maneras diferentes:

Debemos demostrar m = n, y que el qj son un reordenamiento del pi.

Por el lema p1 de Euclides debe dividir uno de los qj, volver a etiquetar el qj si es necesario, dicen que p1 divide q1. Pero q1 es primo, por lo que sus únicos divisores son 1 y él mismo - Por lo tanto, p1 = q1, por lo que

Razonamiento de la misma manera, p2 debe ser igual a uno de los restantes qj. Para volver a etiquetar de nuevo si es necesario, diga p2 = q2. Entonces

Esto se puede hacer para todo m de la PI, que muestra que m = n. Si hubiera alguna qj sobra tendríamos

lo cual es imposible, ya que el producto de los números mayores que 1 no puede ser igual a 1 - Por lo tanto, m = n y cada qj es un pi.

Las generalizaciones

La primera generalización del teorema se encuentra en la segunda monografía de Gauss en la reciprocidad biquadratic. En este trabajo se presenta lo que ahora se llama el anillo de los enteros de Gauss, el conjunto de todos los números complejos a bi, donde ayb son números enteros. Ahora se denota por Él mostró que este anillo tiene las cuatro unidades 1 y i, que los números, no unitarios distinto de cero se dividen en dos clases, los números primos y compuestos, y que, los compuestos tienen factorización única como un producto de números primos .

Del mismo modo, en 1844, mientras trabajaba en la reciprocidad cúbica, Eisenstein presentó el anillo, donde se encuentra una raíz cúbica de la unidad. Este es el anillo de los enteros de Eisenstein, y demostrado que tiene las seis unidades y que tiene factorización única.

Sin embargo, también se descubrió que factorización única no siempre se cumple. Un ejemplo está dado por. En este anillo se tiene

Ejemplos como este hicieron que la noción de "prime" a modificar. En ella se puede demostrar que si cualquiera de los factores anteriores se puede representar como un producto, por ejemplo, 2 = ab, entonces uno de A o B debe ser una unidad. Esta es la definición tradicional de "prime". También se puede probar que ninguno de estos factores obedece lema de Euclides, por ejemplo, 2 divide ni tampoco a pesar de que divide su producto 6 - En la teoría algebraica de números 2 se llama irreducible pero no primordial. El uso de estas definiciones se puede demostrar que, en cualquier anillo de un primer debe ser irreducible. Lema clásico de Euclides puede ser reformulada como "en el anillo de los enteros cada irreducible es primo". Esto también es cierto en y pero no en

Los anillos, donde cada irreducible es primo se denominan dominios de factorización única. Como su nombre lo indica, el teorema fundamental de la aritmética es verdad en ellos. Ejemplos importantes son dominios euclídeos y dominios de ideales principales.

En 1843 Kummer introdujo el concepto de número ideal, el cual fue desarrollado por Dedekind en la teoría moderna de los ideales, subconjuntos especiales de los anillos. La multiplicación se define por los ideales y los anillos en los que tienen factorización única se denominan dominios de Dedekind.