Grupo simétrico, Definición y propiedades primero, Aplicaciones, Elementos, Clases de conjugación, Los de bajo grado, Propiedades, Relación con el grupo alterna, Generadores y relaciones, Estructura del Subgrupo, Grupo de automorfismos, Homología, Teoría de la representación





En matemáticas, el grupo simétrico Sn en un conjunto finito de n símbolos es el grupo cuyos elementos son todas las permutaciones de los símbolos n, y cuyo grupo de operación es la composición de tales permutaciones, que se tratan como funciones biyectivas del conjunto de símbolos a sí mismo. Puesto que hay n! permutaciones posibles de un conjunto de n símbolos, se deduce que el orden del grupo simétrico Sn es n!.

Aunque los grupos simétricos se pueden definir en los conjuntos infinitos, así, este artículo describe sólo los grupos finitos simétrico: sus aplicaciones, sus elementos, sus clases de conjugación, una presentación finita, sus subgrupos, sus grupos de automorfismos y su teoría de la representación. Para el resto de este artículo, "grupo simétrico" significará un grupo simétrico sobre un conjunto finito.

El grupo simétrico es importante para diversas áreas de las matemáticas como la teoría de Galois, la teoría de invariantes, la teoría de la representación de los grupos de Lie, y combinatoria. De Cayley teorema establece que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico de G.

Definición y propiedades primero

El grupo simétrico en un conjunto finito X es el grupo cuyos elementos son todas las funciones biyectivas de X a X y cuya operación de grupo es el de la composición de la función. Para conjuntos finitos, "permutaciones" y "funciones bijective" se refieren a la misma operación, a saber reordenamiento. El grupo simétrico de grado n es el grupo simétrico en el conjunto X = {1, 2, ..., n}.

El grupo simétrico sobre un conjunto X se denota en varias maneras, incluyendo SX, X, SX y Sym. Si X es el conjunto {1, 2, ..., n}, entonces el grupo simétrico de X también se denota Sn, N, Sn, y Sym.

Grupos simétricos sobre los conjuntos infinitos comportan de manera muy diferente a los grupos simétricos sobre conjuntos finitos, y se discuten en,, y. Este artículo se centra en los grupos simétricos finitos.

El grupo simétrico sobre un conjunto de n elementos tiene orden n! Es abeliano si y sólo si n = 2. Para n = 0 y n = 1 el grupo simétrico es trivial, y en estos casos el grupo alterna es igual al grupo simétrico, en lugar de ser un índice de dos subgrupos. El grupo de Sn es resoluble si y sólo si n = 4. Esta es una parte esencial de la prueba del teorema de Abel-Ruffini, que muestra que para cada n> 4 no son polinomios de grado n que no se pueden resolver por radicales, es decir, las soluciones no se pueden expresar mediante la realización de un número finito de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces en los coeficientes del polinomio.

Aplicaciones

El grupo simétrico en un conjunto de tamaño n es el grupo de Galois del polinomio general de grado n, y juega un papel importante en la teoría de Galois. En la teoría de invariantes, el grupo simétrico actúa sobre las variables de una función multi-variable, y las funciones deja invariante son las llamadas funciones simétricas. En la teoría de la representación de los grupos de Lie, la teoría de la representación del grupo simétrico juega un papel fundamental a través de las ideas de funtores Schur. En la teoría de los grupos de Coxeter, el grupo simétrico es el grupo de Coxeter de tipo AN y se presenta como el grupo de Weyl del grupo lineal general. En combinatoria, los grupos simétricos, sus elementos y sus representaciones constituyen una rica fuente de problemas que involucran jóvenes cuadros, monoides plactic, y el orden Bruhat. Los subgrupos de grupos simétricos son llamados grupos de permutaciones y son ampliamente estudiados por su importancia en la comprensión de las acciones de grupo, los espacios homogéneos, y los grupos de automorfismos de gráficos, tales como el grupo Higman-Sims y el gráfico Higman-Sims.

Elementos

Los elementos del grupo simétrico sobre un conjunto X son las permutaciones de X.

Multiplicación

La operación de grupo en un grupo simétrico es la composición de funciones, denotado por el símbolo o simplemente por yuxtaposición de las permutaciones. La composición de permutaciones f y g, pronunciado "f después de g", asigna ningún elemento x de X f. En concreto, vamos a:

La aplicación de f después de 1 g mapas primero a 2 y 2 a continuación, a sí mismo y de 2 a 5 y luego a 4, y 3 a 4 y luego a 5, y así sucesivamente. Así componer fyg dan

Un ciclo de longitud L = km, tomada a la k-ésima potencia, se descompondrá en k ciclos de m de longitud: Por ejemplo,

Verificación de los axiomas de grupo

Para comprobar que el grupo simétrico sobre un conjunto X es de hecho un grupo, es necesario verificar los axiomas del grupo de cierre, la asociatividad, la identidad y inversas. 1) La operación de composición de la función está cerrado en el conjunto de permutaciones de los dados conjunto X, 2) composición de la función es siempre asociativa, 3) El biyección trivial que asigna a cada elemento de X para sí mismo sirve como una identidad para el grupo, y 4) Cada biyección tiene una función inversa que deshace su acción, y por lo tanto cada elemento de un grupo simétrico tiene una inversa que es una permutación demasiado.

Transposiciones

Una transposición es una permutación que intercambia dos elementos y mantiene todos los otros fijos, por ejemplo es una transposición. Cada permutación se puede escribir como un producto de transposiciones, por ejemplo, la permutación g desde arriba se puede escribir como g =. Como g se puede escribir como un producto de un número impar de transposiciones, entonces se llama una permutación impar, mientras que f es una permutación.

La representación de una permutación como producto de transposiciones no es único, sin embargo, el número de transposiciones necesarios para representar una permutación dada es siempre par o impar siempre. Hay varias pruebas cortas de la invariancia de esta paridad de una permutación.

El producto de dos permutaciones incluso es aún, el producto de dos permutaciones impares es par, y todos los demás productos son impares. Así podemos definir el signo de una permutación:

Con esta definición,

es un homomorfismo de grupo. El núcleo de este homomorfismo, es decir, el conjunto de todas las permutaciones incluso, que se llama el grupo alterna Una. Es un subgrupo normal de Sn, y para n = 2 tiene n!/2 elementos. El grupo de Sn es el producto semidirecto de An y cualquier subgrupo generado por una sola transposición.

Además, todas las permutaciones se puede escribir como un producto de transposiciones adyacentes, es decir, las transposiciones de la forma. Por ejemplo, la permutación g desde arriba también puede ser escrito como g =. El algoritmo de ordenación ordenamiento de burbuja es una aplicación de este hecho. La representación de una permutación como producto de transposiciones adyacentes también no es única.

Ciclos

Un ciclo de longitud k f es una permutación para la que existe un elemento x en {1, ..., n} tales que x, f, f2, ..., fk = x son los únicos elementos movidos por f; se se requiere que k = 2 ya que con k = 1 el propio elemento x ¿No puede mover bien. La permutación h definida por

es un ciclo de longitud tres, ya que h = 4, h = 3 y h = 1, 2 y 5 dejando intacta. Se denota como un ciclo, pero podría igualmente ser escrita o comenzando en un punto diferente. El fin de un ciclo es igual a su longitud. Ciclos de longitud dos son transposiciones. Dos ciclos son disjuntos si se mueven subconjuntos disjuntos de elementos. Disjunto ciclos viaje, por ejemplo, en S6 tenemos =. Cada elemento de Sn se puede escribir como un producto de ciclos disjuntos; esta representación es única hasta el orden de los factores, y la libertad presente en la representación de cada ciclo individual por la elección de su punto de partida.

Elementos especiales

Ciertos elementos del grupo simétrico de {1, 2, ..., n} son de particular interés.

El orden revertir permutación es la dada por:

Este es el elemento maximal único con respecto a la orden Bruhat y el elemento más largo en el grupo simétrico con respecto a la generación de establecer que consiste en las transposiciones adyacentes, 1 = i = n - 1.

Esta es una involución, y se compone de transposiciones

por lo tanto, tiene signo:

que es 4-periódica en el n.

En S2n, la confusión perfecta es la permutación que se divide el conjunto en 2 pilas y los entrelaza. Su signo es también

Tenga en cuenta que el revés de n elementos y perfecta en orden aleatorio 2n elementos tienen el mismo signo, que son importantes para la clasificación de las álgebras de Clifford, que son 8-periódica.

Clases de conjugación

Las clases de conjugación de Sn corresponden a las estructuras de ciclo de permutaciones, es decir, dos elementos de Sn son conjugado en Sn si y sólo si consisten en el mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S5, y son conjugado, y no lo son. Un elemento de conjugación de Sn se puede construir en "dos notación línea" mediante la colocación de las notaciones "ciclo" de las dos permutaciones conjugadas en la parte superior de uno al otro. Continuando con el ejemplo anterior:

que se puede escribir como el producto de los ciclos, a saber:.

Esta permutación se relaciona a continuación, y a través de la conjugación, es decir,

Es claro que una permutación tal no es única.

Los de bajo grado

 Véase también: Teoría de la representación del grupo simétrico casos especiales #

Los grupos simétricos de bajo grado tienen una estructura más simple y excepcional, y con frecuencia deben ser tratados por separado.

 Sym y Sym Los grupos simétricos en el conjunto vacío y el conjunto unitario son triviales, que corresponde a 0! = 1! = 1. En este caso, el grupo alterna está de acuerdo con el grupo simétrico, en lugar de ser un índice subgrupo 2, y el mapa signo es trivial. En el caso de Sym, su único miembro es la función de vacío. Sym Este grupo está compuesto por exactamente dos elementos: la identidad y la permutación intercambio de los dos puntos. Es un grupo cíclico y así abeliano. En la teoría de Galois, esto corresponde al hecho de que la fórmula cuadrática, se obtiene una solución directa para el polinomio cuadrático en general después de la extracción de sólo una única raíz. En la teoría de invariantes, la teoría de la representación del grupo simétrico de dos puntos es bastante simple y se ve como la escritura de una función de dos variables como la suma de sus partes simétricas y anti-simétrica: Configuración de fs = f f, y f = f bis - f, se tiene que 2f = fs fa. Este proceso se conoce como simetrización. Sym Este grupo es isomorfo al grupo diédrico de orden 6, el grupo de reflexión y simetrías de rotación de un triángulo equilátero, ya que estas simetrías permutan los tres vértices del triángulo. Los ciclos de longitud de dos corresponden a la reflexión, y los ciclos de longitud tres son rotaciones. En la teoría de Galois, el mapa signo de Sym para que Sym corresponde a la cuadrática para resolver un polinomio cúbico, como descubierto por Gerolamo Cardano, mientras que el núcleo Alt corresponde a la utilización de la transformada discreta de Fourier de orden 3 en la solución, en la forma resolventes de Lagrange. Sym El S4 grupo es isomorfo al grupo de rotaciones adecuadas sobre caras opuestas, diagonales opuestos y bordes opuestos, 9, 8 y 6 permutaciones, del cubo. Más allá del Alt grupo, Sym tiene cuatro grupos Klein V como un subgrupo normal específica, o incluso transposiciones {},,,, con Sym cociente. En la teoría de Galois, este mapa corresponde a la resolución de cúbico a un polinomio de cuarto grado, que permite que el cuarto grado a resolver por radicales, como establecido por Lodovico Ferrari. El grupo de Klein puede ser entendida en términos de los resolventes Lagrange del cuarto grado. El mapa de Sym Sym para que también produce una representación irreducible 2-dimensional, que es una representación irreducible de un grupo simétrico de grado n de la dimensión por debajo de n-1, que sólo se produce para n = 4. Sym Sym es el primer grupo simétrico no solucionable. Junto con el grupo especial lineal SL y los Sym Alt grupo icosaédricos, Sym es uno de los tres grupos no tienen solución de orden 120 hasta el isomorfismo. Sym es el grupo de Galois de la ecuación de quinto grado en general, y el hecho de que Sym no es un grupo resolubles se traduce en la no existencia de una fórmula general para resolver polinomios de quinto grado por radicales. Hay un mapa inclusión exótico Sym? Sym como un subgrupo transitivo, el mapa inclusión obvia Sym? Sym fija un punto y por lo tanto no es transitiva. Esto proporciona el automorfismo exterior de Sym, se discute más adelante, y corresponde a la sextic resolvente de un quinto grado. Sym Sym, a diferencia de otros grupos simétricos, tiene un automorfismo externo. Usando el lenguaje de la teoría de Galois, esto también se puede entender en términos de resolventes Lagrange. El resolutivo de una ecuación de quinto grado es de grado 6 que corresponde a un mapa de la inclusión exótica Sym? Sym como un subgrupo transitivo corrige un punto y por lo tanto no es transitiva) y, si bien este mapa no hace al solucionable quintic general, se produce el automorfismo externo exótica de Sym-ver automorfismos de los grupos simétricos y alterna para más detalles. Tenga en cuenta que mientras que Alt y Alt tienen un multiplicador de Schur excepcional y que éstas se extienden a las cubiertas de triples y Sym Sym, éstos no corresponden a los multiplicadores Schur excepcionales del grupo simétrico.

Mapas entre grupos simétricos

Aparte de los triviales Sym del mapa? 1? Sym? Sym y el mapa muestra Sym? Sym, los mapas notables entre grupos simétricos, con el fin de dimensión relativa, son:

  • Sym? Sym correspondientes al subgrupo normal excepcional V
  • Sym? Sym correspondientes al automorfismo externo de Sym
  • Sym? Sym como un subgrupo transitivo, con un rendimiento del automorfismo externo de Sym como se mencionó anteriormente.

Propiedades

Grupos simétricos son grupos de Coxeter y grupos de reflexión. Pueden llevarse a cabo como un grupo de reflexión con respecto a Hiperplanos

De Cayley teorema indica que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico de los elementos de G, como un grupo actúa sobre sí mismo fielmente por multiplicación.

Relación con el grupo alterna

Para n = 5, el grupo alterna Una es simple, y el cociente es inducida por el mapa signo: Un? Sn? S2, que se divide, a una transposición de dos elementos. Así Sn es el producto semidirecto An? S2, y no tiene otros subgrupos normales propios, ya que se cruzarían un tanto en la identidad, o en una.

Sn actúa por un subgrupo de la conjugación, y para n? 6, Sn es el grupo de automorfismos llena de An: Aut? Sn. Conjugación incluso por elementos son automorfismos interiores de un automorfismo mientras que el exterior de una de orden 2 corresponde a la conjugación de un elemento extraño. Para n = 6, existe un automorfismo exterior excepcional de un modo Sn no es el grupo de automorfismos completo de una.

A la inversa, para n? 6, Sn no tiene automorfismos exteriores, y para n? 2 que no tiene un centro, por lo que para n? 2, 6 es un grupo completo, como se discutió en el grupo de automorfismos, a continuación.

Para n = 5, Sn es un grupo casi simple, ya que se encuentra entre el grupo simple An y su grupo de automorfismos.

Generadores y relaciones

El grupo simétrico de n-letras, Sn, puede ser descrito como sigue. Tiene generadores: y las relaciones:

Uno piensa en como cambiar la posición st i-th y yo .

Los demás grupos electrógenos populares son el conjunto de transposiciones que intercambian 1 y 2 para i = i = n, y un conjunto que contenga ciclo n y un ciclo de 2 de los elementos adyacentes en el ciclo n.

Estructura del Subgrupo

Un subgrupo de un grupo simétrico se llama un grupo de la permutación.

Subgrupos normales

Los subgrupos normales de los grupos simétricos finitos se entienden bien. Si n = 2, Sn tiene a lo sumo 2 elementos, y por tanto carece de subgrupos adecuados no triviales. El grupo alterna de grado n es siempre un subgrupo normal, un uno adecuado para n = 2 y no trivial para n = 3; para n = 3 es, de hecho, el único subgrupo normal no identidad correcta de Sn, excepto cuando n = 4 donde hay un tal subgrupo normal adicional, que es isomorfo a los cuatro grupo de Klein.

El grupo simétrico sobre un conjunto infinito no tiene un grupo alterno asociado: no todos los elementos pueden ser escritos como producto de transposiciones. Sin embargo, contiene un subgrupo S normal de permutaciones que fijan todos, pero un número finito de elementos, y tales permutaciones pueden ser clasificados como par o impar. Los elementos incluso de S forman el subgrupo alternado A de S, y puesto que A es incluso un subgrupo característico de S, sino que también es un subgrupo normal del grupo simétrico completa del conjunto infinito. Los grupos A y S son los únicos no-identidad subgrupos normales propios del grupo simétrico sobre un conjunto infinito numerable. Para más detalles ver o.

Subgrupos maximales

Los subgrupos máximas de los grupos simétricos finitos se dividen en tres clases: la intransitivos, la imprimitive, y la primitiva. Los subgrupos máximas intransitivos son exactamente las de la forma Sym Sym para 1 = k

Subgrupos de Sylow

Los subgrupos de Sylow de los grupos simétricos son ejemplos importantes de p-grupos. Son más fáciles de describir en casos especiales, en primer lugar:

Los Sylow p-subgrupos del grupo simétrico de grado p son los subgrupos cíclicos generados por p-ciclos. Hay!/=! dichos subgrupos simplemente por generadores contando. Por consiguiente, el normalizador tiene orden p y se conoce como un grupo de Frobenius Fp, y es el grupo lineal general afín, AGL.

Los Sylow p-subgrupos del grupo simétrico de p2 grado son el producto corona de dos grupos cíclicos de orden p. Por ejemplo, cuando p = 3, un Sylow 3-subgrupo de Sym es generada por un = y los elementos de x =, y =, = z, y cada elemento de la Sylow 3-subgrupo tiene la forma aixjykzl para i = 0, j, k, l = 2.

Los Sylow p-subgrupos del grupo simétrico de grado pn a veces se denominan Wp, y el uso de esta notación se tiene que Wp es el producto y la corona de Wp Wp.

En general, los Sylow p-subgrupos del grupo simétrico de grado n son un producto directo de copias ai de Wp, donde 0 = ai = p-1 y n = a0 pa1 ... Pkak.

Por ejemplo, W2 = C2 y W2 = D8, el grupo diédrico de orden 8, y por lo que un Sylow 2-subgrupo del grupo simétrico de grado 7 es generado por {,,,} y es isomorfo a D8 C2.

Estos cálculos se atribuyen a y se describen en más detalle pulg Nota sin embargo, que atribuye el resultado de un trabajo de Cauchy 1844, y menciona que es incluso cubierto en forma de libro de texto en.

 Subgrupos transitivos

Un subgrupo transitivo de Sn es un subgrupo cuya acción en {1, 2, ..., n} es transitiva. Por ejemplo, el grupo de Galois de una extensión de Galois es un subgrupo transitivo de Sn, para algún n.

Grupo de automorfismos

 Para más detalles sobre este tema, consulte automorfismos de los grupos simétricos y alterna.

Porque es un grupo completo: su centro y grupo externo del automorfismo son tanto trivial.

Para n = 2, el grupo de automorfismo es trivial, pero S2 no es trivial: es isomorfo a, que es abeliano, y por lo tanto es el centro de todo el grupo.

Para n = 6, tiene un automorfismo externo de orden 2: y el grupo de automorfismo es un producto semidirecto

De hecho, para cualquier X conjunto de cardinalidad que no sea 6, cada automorfismo del grupo simétrico de X es interior, un resultado debido a la primera de acuerdo con.

Homología

 Ver también: alterna el grupo # homología Grupo

El grupo de homología es bastante regular y se estabiliza, la primera homología es:

 

El primer grupo de homología es la abelianization, y corresponde a la muestra de la correspondencia Sn? S2 que es el abelianization para n = 2; para n <2 el grupo simétrico es trivial. Esta homología se calcula fácilmente como sigue: Sn es generado por involuciones, por lo que los únicos mapas no triviales son a S2 y todas las involuciones conjugado son, por lo tanto, mapa para el mismo elemento en el abelianization. Por lo tanto la única posible mapas Sn? S2? {1} enviar una involución a 1 o -1. También hay que demostrar que el mapa muestra está bien definido, pero suponiendo que esto da la primera homología de Sn.

El segundo homología es:

 

Esto se calcula en, y corresponde a la doble cubierta de la grupo simétrico, 2 Sn.

Tenga en cuenta que la excepcional homología de pocas dimensiones del grupo alterna no cambia la homología del grupo simétrico; los fenómenos de grupo alternando hacen fenómenos grupo simétrico rendimiento - el mapa se extiende a las cubiertas y triples de A6 y A7 se extienden a las cubiertas de triples de S6 y S7 - pero estos no son homológica - el mapa no cambia el abelianization de S4, y las cubiertas triples no corresponden a la homología ya sea.

La homología "estabiliza" en el sentido de la teoría de homotopía estable: no hay un mapa de la inclusión y para k fija, el mapa inducido en la homología es un isomorfismo para n suficientemente alta. Esto es análogo a la homología de las familias Lie grupos estabilización.

La homología del grupo simétrico infinito se calcula en, con el que forma un álgebra de Hopf algebra cohomología.

Teoría de la representación

La teoría de la representación del grupo simétrico es un caso particular de la teoría de la representación de grupos finitos, para el que se puede conseguir una teoría concreta y detallada. Esto tiene una gran área de aplicaciones potenciales, a partir de la teoría de funciones simétrica a los problemas de la mecánica cuántica para un número de partículas idénticas.

El grupo simétrico Sn tiene orden n!. Sus clases de conjugación son etiquetados por particiones de n. Por lo tanto de acuerdo con la teoría de la representación de un grupo finito, el número de representaciones irreducibles no equivalentes, a través de los números complejos, es igual al número de particiones de n. A diferencia de la situación general de los grupos finitos, hay, de hecho, una forma natural de parametrizar representación irreducible por el mismo sistema que parametriza clases de conjugación, es decir, por las particiones de n o diagramas equivalente jóvenes de tamaño n.

Cada uno de tales representación irreducible se puede realizar sobre los números enteros, sino que puede ser construido de forma explícita mediante el cálculo de los symmetrizers jóvenes que actúan en un espacio generado por el cuadros joven de la forma propuesta por el diagrama de Young.

En otros campos de la situación puede llegar a ser mucho más complicada. Si el campo K tiene característica igual a cero o mayor que n entonces por el teorema de Maschke la KSN álgebra de grupo es semisimple. En estos casos las representaciones irreducibles definidos sobre los números enteros dan el conjunto completo de representaciones irreducibles.

Sin embargo, las representaciones irreducibles del grupo simétrico no se conocen en la característica arbitraria. En este contexto, es más habitual el uso de la lengua de los módulos en lugar de representaciones. La representación obtenida a partir de una representación irreducible definida sobre los enteros módulo mediante la reducción de la característica será en general no será irreductible. Los módulos construida de tal manera que se llaman módulos Specht, y cada irreductible surge dentro de algunos de estos módulos. En la actualidad hay un menor número de irreducibles, y a pesar de que se pueden clasificar son muy poco conocidos. Por ejemplo, incluso sus dimensiones no son conocidos en general.

La determinación de los módulos irreducibles del grupo simétrico sobre un campo arbitrario es ampliamente considerado como uno de los problemas abiertos más importantes de la teoría de la representación.