Transformación canónica, Notación, Enfoque directo, El teorema de Liouville, Generación de enfoque de la función, Movimiento como una transformación canónica, Descripción matemática moderna, Historia


En mecánica hamiltoniana, una transformación canónica es un cambio de coordenadas canónicas? que conserva la forma de las ecuaciones de Hamilton, a pesar de que podría no conservar el hamiltoniano en sí. Esto a veces se conoce como forma invariante. Transformaciones canónicas son útiles por derecho propio, y también forman la base de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi y el teorema de Liouville.

Desde mecánica lagrangiana se basa en coordenadas generalizadas, las transformaciones de las coordenadas q? Q no afectan a la forma de las ecuaciones de Lagrange y, por tanto, no afecta a la forma de las ecuaciones de Hamilton si al mismo tiempo cambiar la dinámica de un Legendre transformarse en

Por lo tanto, la transformación de coordenadas son un tipo de transformación canónica. Sin embargo, la clase de transformaciones canónicas es mucho más amplio, desde los viejos coordenadas generalizadas, cantidades de movimiento e incluso el tiempo se pueden combinar para formar la nueva coordenadas generalizadas y momentos. Transformaciones canónicas que no incluyen el tiempo de forma explícita se denominan transformaciones canónicas restringidas.

Para mayor claridad, se restringe la presentación para el cálculo y la mecánica clásica. Los lectores familiarizados con las matemáticas más avanzadas, como haces cotangente, derivados exteriores y colectores simplécticos deberían leer el artículo symplectomorphism relacionada. Sin embargo, una breve introducción a la descripción matemática moderna se incluye al final de este artículo.

Notación

Las variables en negrita, como representan una lista de coordenadas generalizadas, por ejemplo,

que es necesario transformar como un vector en rotación. Como de costumbre, un punto sobre una variable o lista significa la derivada en el tiempo, por ejemplo,. El producto notación de puntos entre dos listas del mismo número de coordenadas es una abreviatura de la suma de los productos de los componentes correspondientes, por ejemplo,

El producto escalar asigna las dos listas de coordenadas en una variable que representa un solo valor numérico.

Enfoque directo

La forma funcional de las ecuaciones de Hamilton es

Por definición, las coordenadas transformadas tienen una dinámica análogos

donde K es un nuevo hamiltoniano que debe ser determinado.

En general, una transformación? no conserva la forma de las ecuaciones de Hamilton. Para las transformaciones independientes de tiempo entre y podemos comprobar si la transformación se limita canónica, de la siguiente manera. Desde transformaciones restringidas no tienen dependencia temporal explícita, la derivada en el tiempo de una nueva coordenada generalizada Qm es

que es el soporte de Poisson.

También contamos con la identidad de la Pm impulso conjugado

Si la transformación es canónica, estos dos deben ser iguales, lo que resulta en las ecuaciones

El argumento análogo para la generalizada momentos Pm conduce a otros dos conjuntos de ecuaciones

Estas son las condiciones directas para comprobar si una transformación dada es canónico.

El teorema de Liouville

Las condiciones directas nos permiten demostrar el teorema de Liouville, que establece que el volumen en el espacio de fase se conserva bajo transformaciones canónicas, es decir,

Por cálculo, la última integral debe ser igual a los antiguos tiempos el jacobiano

donde el Jacobiano es el determinante de la matriz de derivadas parciales, que se escribe como

La explotación de la propiedad "división" de Jacobianas rendimientos

La eliminación de las variables repetidas da

La aplicación de las condiciones directas sobre los rendimientos.

Generación de enfoque de la función

Para garantizar una transformación válida entre y, es posible recurrir a un enfoque indirecto función generadora. Ambos conjuntos de variables deben obedecer el principio de Hamilton. Esa es la acción integral sobre la función de Lagrange y, respectivamente, obtenidos por el hamiltoniano mediante transformación de Legendre, ambos deben ser estacionario:

Para satisfacer ambas integrales variacionales, debemos tener

Esta ecuación es válida porque la función de Lagrange no es único, siempre se puede multiplicar por una constante y añadir un derivado tiempo total y el rendimiento de las mismas ecuaciones de movimiento.

En general, el factor de escala se fija igual a uno; transformaciones canónicas para los que se llaman transformaciones canónicas extendidos. se mantuvo, de lo contrario el problema se volvería trivial y habría no mucha libertad para las nuevas variables canónicas sean distintos de los anteriores.

Aquí está una función de generación de una antigua coordenadas canónicas, una nueva coordenada canónica y el tiempo. Por lo tanto, hay cuatro tipos básicos de generación de funciones, dependiendo de la elección de las variables. Como se verá más adelante, la función generadora definirá una transformación de la antigua a nuevas coordenadas canónicas, y esa transformación se garantiza que sea canónica.

Escriba 1 función generadora

1 La función de generación de tipo depende sólo de las antiguas y nuevas coordenadas generalizadas

Para derivar la transformación implícita, ampliamos la ecuación que define arriba

Dado que las coordenadas de los nuevos y viejos son cada uno independientemente, las siguientes ecuaciones deben contar

Estas ecuaciones definen la transformación de la siguiente manera. El primer conjunto de ecuaciones

definir las relaciones entre las nuevas coordenadas generalizadas y las viejas coordenadas canónicas. Idealmente, uno puede invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada uno como una función de las viejas coordenadas canónicas. La sustitución de estas fórmulas para las coordenadas en el segundo conjunto de ecuaciones

rendimientos análogos fórmulas para el nuevo ímpetus generalizados en términos de las viejas coordenadas canónicas. A continuación, invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las viejas coordenadas canónicas como funciones de las nuevas coordenadas canónicas. La sustitución de las fórmulas invertida en la ecuación final

produce una fórmula para como una función de las nuevas coordenadas canónica.

En la práctica, este procedimiento es más fácil de lo que parece, ya que la función generatriz es generalmente simple. Por ejemplo, supongamos

Esto da como resultado el intercambio de las coordenadas generalizadas para las cantidades de movimiento y viceversa

y. Este ejemplo ilustra la forma independiente las coordenadas y momentos están en la formulación hamiltoniana, sino que son las variables equivalentes.

2 Escriba la función generadora

La función generadora de tipo 2 sólo depende de las viejas coordenadas generalizadas y la nueva generalizada cantidades de movimiento

donde los términos representan una transformación de Legendre para cambiar el lado derecho de la ecuación de abajo. Para derivar la transformación implícita, ampliamos la ecuación que define arriba

Desde las viejas coordenadas y nuevos ímpetus son cada uno independientemente, las siguientes ecuaciones deben contar

Estas ecuaciones definen la transformación de la siguiente manera. El primer conjunto de ecuaciones

definir las relaciones entre el nuevo generalizada momentos y las viejas coordenadas canónicas. Idealmente, uno puede invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada uno como una función de las viejas coordenadas canónicas. La sustitución de estas fórmulas para las coordenadas en el segundo conjunto de ecuaciones

rendimientos análogos fórmulas para las nuevas coordenadas generalizadas en términos de las viejas coordenadas canónicas. A continuación, invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las viejas coordenadas canónicas como funciones de las nuevas coordenadas canónicas. La sustitución de las fórmulas invertida en la ecuación final

produce una fórmula para como una función de las nuevas coordenadas canónica.

En la práctica, este procedimiento es más fácil de lo que parece, ya que la función generatriz es generalmente simple. Por ejemplo, supongamos

donde es un conjunto de funciones. Esto resulta en una transformación de punto de las coordenadas generalizadas

3 Escriba la función generadora

3 La función generadora de tipo sólo depende de la edad generalizada momentos y las nuevas coordenadas generalizadas

donde los términos representan una transformación de Legendre para cambiar el lado izquierdo de la ecuación de abajo. Para derivar la transformación implícita, ampliamos la ecuación que define arriba

Dado que las coordenadas de los nuevos y viejos son cada uno independientemente, las siguientes ecuaciones deben contar

Estas ecuaciones definen la transformación de la siguiente manera. El primer conjunto de ecuaciones

definir las relaciones entre las nuevas coordenadas generalizadas y las viejas coordenadas canónicas. Idealmente, uno puede invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada uno como una función de las viejas coordenadas canónicas. La sustitución de estas fórmulas para las coordenadas en el segundo conjunto de ecuaciones

rendimientos análogos fórmulas para el nuevo ímpetus generalizados en términos de las viejas coordenadas canónicas. A continuación, invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las viejas coordenadas canónicas como funciones de las nuevas coordenadas canónicas. La sustitución de las fórmulas invertida en la ecuación final

produce una fórmula para como una función de las nuevas coordenadas canónica.

En la práctica, este procedimiento es más fácil de lo que parece, ya que la función generatriz es generalmente simple.

4 Función Tipo de generación

El 4 función de generación tipo depende sólo de los antiguos y nuevos ímpetus generalizados

donde los términos representan una transformación de Legendre para cambiar ambos lados de la ecuación de abajo. Para derivar la transformación implícita, ampliamos la ecuación que define arriba

Dado que las coordenadas de los nuevos y viejos son cada uno independientemente, las siguientes ecuaciones deben contar

Estas ecuaciones definen la transformación de la siguiente manera. El primer conjunto de ecuaciones

definir las relaciones entre el nuevo generalizada momentos y las viejas coordenadas canónicas. Idealmente, uno puede invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada uno como una función de las viejas coordenadas canónicas. La sustitución de estas fórmulas para las coordenadas en el segundo conjunto de ecuaciones

rendimientos análogos fórmulas para las nuevas coordenadas generalizadas en términos de las viejas coordenadas canónicas. A continuación, invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las viejas coordenadas canónicas como funciones de las nuevas coordenadas canónicas. La sustitución de las fórmulas invertida en la ecuación final

produce una fórmula para como una función de las nuevas coordenadas canónica.

Movimiento como una transformación canónica

Sí Motion es una transformación canónica. Si y, a continuación, el principio de Hamilton se satisface automáticamente

desde una trayectoria válida siempre debe satisfacer el principio de Hamilton, independientemente de los puntos finales.

Descripción matemática moderna

En términos matemáticos, las coordenadas canónicas son ninguna coordenadas en el espacio de fase del sistema que permiten la una forma canónica a ser escrito como

hasta un diferencial total. El cambio de variable entre un conjunto de coordenadas canónicas y la otra es una transformación canónica. El índice de las coordenadas generalizadas se escribe aquí como un exponente, no como un subíndice como hecha anteriormente. El superíndice transmite las propiedades de transformación contravariantes de las coordenadas generalizadas, y no significa que la coordenada está siendo elevado a una potencia. Más detalles se pueden encontrar en el artículo symplectomorphism.

Historia

La primera aplicación importante de la transformación canónica fue en 1846, por Charles Delaunay, en el estudio del sistema Tierra-Luna-Sol. Este trabajo dio lugar a la publicación de un par de grandes volúmenes como Mmoires por la Academia Francesa de Ciencias, en 1860 y 1867.