Espacio dual, Algebraica espacio dual, Continuo espacio dual





En matemáticas, cualquier espacio vectorial, V, tiene un correspondiente espacio vectorial de doble que consta de todos los funcionales lineales en los espacios vectoriales de doble V. definidos en los espacios vectoriales de dimensión finita puede ser utilizado para la definición de los tensores. Cuando se aplica a los espacios vectoriales de funciones, espacios duales se utilizan para definir y estudiar conceptos como medidas, distribuciones y espacios de Hilbert. Por consiguiente, el espacio dual es un concepto importante en el estudio de análisis funcional.

Hay dos tipos de espacios duales: la algebraica espacio dual, y el espacio dual continuo. El espacio de doble algebraica se define para todos los espacios vectoriales. Cuando se define para un espacio vectorial topológico hay un subespacio de este espacio dual, correspondiente a funcionales lineales continuas, lo que constituye un espacio de doble continua.

Algebraica espacio dual

Dado cualquier espacio vectorial V sobre un campo F, el espacio dual V * se define como el conjunto de todos los mapas lineal f: V? F. El espacio dual V * en sí se convierte en un espacio vectorial sobre F cuando está equipado con la siguiente adición y multiplicación escalar:

para todos los f,? ? V *, x? V, y un? F. Elementos de la algebraica espacio dual V * a veces se llaman covectores o uno-formas.

La pareja formada por una f funcional en el espacio dual V * y un elemento x de V es a veces indicado por un soporte: f = f o = f, x . El emparejamiento define un degenerado aplicación bilineal: V * V? F.

Caso de dimensión finita

Si V es de dimensión finita, entonces V * tiene la misma dimensión que V. Dada una base {e1, ..., en} en V, es posible construir una base específica en V *, llamada la base doble. Esta base dual es un conjunto {e1, ..., en} de funcionales lineales en V, que se define por la relación

para cualquier elección de coeficientes ci? F. En particular, dejando a su vez cada uno de esos coeficientes de ser igual a uno y los otros coeficientes cero, da el sistema de ecuaciones

donde dij es el símbolo delta Kronecker. Por ejemplo, si V es R2, y su base elegida para ser {e1 =, e2 =}, entonces e1 y e2 son de una forma tal que e1 = 1, e1 = 0, e2 = 0 y e2 = 1. .

En particular, si interpretamos Rn como el espacio de columnas de números reales n, su espacio dual normalmente se escribe como el espacio de filas de números reales n. Tal una fila actúa sobre Rn como funcional lineal por multiplicación de la matriz ordinaria.

Si V consiste en el espacio de los vectores geométricos en el plano, entonces las curvas de nivel de un elemento de V * forman una familia de líneas paralelas en V. Por lo tanto un elemento de V * puede ser intuitivamente pensado como una familia particular de líneas paralelas que cubre el plano. Para calcular el valor de una funcional en un vector dado, uno sólo necesita determinar cuál de las líneas se encuentra en el vector. O, de manera informal, una "cuenta" el número de líneas cruza el vector. Más en general, si V es un espacio vectorial de cualquier dimensión, a continuación, establece el nivel de un funcional lineal en V * son paralelas hiperplanos en V, y la acción de un funcional lineal en un vector se pueden visualizar en términos de estos hiperplanos.

Caso de dimensión infinita

Si V no es de dimensión finita, pero tiene un ea base indexada por un conjunto infinito A, entonces la misma construcción que en el caso de dimensión finita produce linealmente independientes ea elementos del espacio dual, pero no se formará una base.

Consideremos, por ejemplo, el espacio R8, cuyos elementos son las secuencias de números reales, que sólo tienen un número finito de entradas no nulas, que tiene una base indexada por los números naturales N: para i? N, ei es la secuencia que es cero salvo el término i-ésima, que es uno. El espacio dual de R8 es RN, el espacio de todas las secuencias de números reales: una secuencia de este tipo se aplica a un elemento de R8 para dar el número de nxn, que es una suma finita porque sólo hay un número finito de xn distinto de cero?. La dimensión de R8 es contable infinito, mientras que la RN no tiene una base contable.

Esta observación se generaliza a cualquier espacio vectorial de dimensión infinita V sobre cualquier campo F: a elección de la base {ea: a? A} identifica V con el espacio 0 de las funciones f: A? F tal que fa = f es distinto de cero por sólo un número finito de a? A, donde dicha función f se identifica con el vector

en V.

El espacio dual de V puede a continuación ser identificada con la FA espacio de todas las funciones de la A a F:? Un T funcional lineal en V se determina de forma única por los valores de a = T que se necesita sobre la base de la V, y cualquier función? : A? F =? A) define un T funcional lineal en V por

Una vez más la suma es finita porque fa es distinto de cero por sólo un número finito de a.

Tenga en cuenta que el 0 se pueden identificar con la suma directa de un número infinito de copias de F indexados por A, es decir, no son isomorfismos lineales

Por otro lado FA es, el producto directo de un número infinito de copias de F indexado por A, y por lo que la identificación

es un caso especial de un resultado general en relación sumas directos a los productos directos.

Así, si la base es infinito, entonces el algebraica espacio dual es siempre de dimensión mayor que el espacio original del vector. Esto está en marcado contraste con el caso del espacio dual continuo, se discute a continuación, que pueden ser isomorfo al espacio vectorial original, incluso si este último es de dimensión infinita.

Productos bilineales y espacios duales

Si V es de dimensión finita, entonces V es isomorfo a V *. Pero hay, en general, no isomorfismo natural entre estos dos espacios. Cualquier forma bilineal?,? en V ofrece un mapeo de V en su doble espacio a través de

donde el lado derecho se define como la funcional en V teniendo cada w? V a . En otras palabras, la forma bilineal determina una aplicación lineal

definido por

Si se supone que la forma bilineal a ser no degenerada, entonces este es un isomorfismo sobre un subespacio de V *. Si V es de dimensión finita, entonces este es un isomorfismo en todo lo de V *. Por el contrario, cualquier isomorfismo de V a F un subespacio de V * define una forma bilineal no degenerada único?,? F en V por

Por lo tanto hay una correspondencia uno a uno entre isomorfismos de V para subespacios de V * y no degenerada formas bilineales en V.

Si el espacio vectorial V es el campo complejo, entonces a veces es más natural considerar formas sesquilinear en lugar de formas bilineales. En ese caso, una forma sesquilineal dado?,? determina un isomorfismo de V con el conjugado complejo del espacio dual

El espacio conjugado V * puede ser identificado con el conjunto de todos los aditivos funcionales de valor complejo f:? V? C tal que

La inyección en el doble-doble

Hay un homomorfismo natural? de V en el doble dual V **, definida por f = para todos los v? V, f? V *. Este mapa? siempre es inyectiva, es un isomorfismo si y sólo si V es de dimensión finita. En efecto, el isomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita con su doble dual es un ejemplo arquetípico de un isomorfismo natural. Tenga en cuenta que los espacios de Hilbert de dimensión infinita no es un contraejemplo de esto, ya que son isomorfos a sus duales continuos, no para sus duales algebraicos.

Transposición de una aplicación lineal

Si f: V? W es una aplicación lineal, entonces la adaptación f *: W *? V * se define por

para cada f? W *. El resultado funcional f * de V * se llama la retirada de f lo largo f.

La siguiente identidad se cumple para todo f? W * y V? V:

donde el soporte de la izquierda es el emparejamiento dualidad de V con su doble espacio, y el de la derecha es el emparejamiento dualidad de W con su doble. Esta identidad caracteriza la transpuesta, y es formalmente similar a la definición de la adjunto.

La asignación de f? f * produce un mapa lineal inyectiva entre el espacio de los operadores lineales de V a W y el espacio de los operadores lineales de W * a * V; este homomorfismo es un isomorfismo si y sólo si W es de dimensión finita. Si V = W entonces el espacio de los mapas lineales es en realidad un álgebra bajo composición de mapas, y la asignación es entonces un antihomomorphism de álgebra, lo que significa que * = g * f *. En el lenguaje de la teoría de las categorías, teniendo el doble de espacios vectoriales y la transposición de los mapas lineales por lo tanto, es un funtor contravariante de la categoría de los espacios vectoriales sobre F a sí mismo. Tenga en cuenta que se puede identificar con * f usando la inyección natural en la doble dual.

Si el mapa lineal f está representado por la matriz A con respecto a dos bases de V y W, entonces f * está representado por la matriz de transposición de AT con respecto a las bases duales de W * y V *, de ahí el nombre. Alternativamente, como f está representado por una acción prolongada en el lado izquierdo en vectores columna, f * es representada por la misma matriz que actúa sobre la derecha en vectores fila. Estos puntos de vista están relacionados por el producto interno canónica en Rn, que identifica el espacio de los vectores de columna con el espacio dual de vectores fila.

Espacios cociente y aniquiladores

Sea S un subconjunto de V. El aniquilador de S en V *, denominado aquí lo tanto, es la colección de funcionales lineales f? V * tal que = 0 para todo s? S. es que, hasta se compone de todos los funcionales lineales f: V? F tal que la restricción a S desaparece: f | S = 0.

El aniquilador de un subconjunto es en sí mismo un espacio vectorial. En concreto, o = V * es todo lo de V *, mientras que Vo = 0 es el subespacio cero. Por otra parte, la asignación de un aniquilador a un subconjunto de V invierte inclusiones, por lo que si S? T? V, a continuación,

Por otra parte, si A y B son dos subconjuntos de V, y luego

y la igualdad posea, siempre V es de dimensión finita. Si Ai es cualquier familia de subconjuntos de V indexados por i que pertenece a algún índice establecido que, a continuación,

En particular, si A y B son subespacios de V, se deduce que

Si V es de dimensión finita, y W es un subespacio vectorial, a continuación,

después de identificar W con su imagen en el segundo espacio dual bajo el isomorfismo doble dualidad VV. ** Por lo tanto, en particular, formando el aniquilador es una conexión de Galois en la retícula de subconjuntos de un espacio vectorial de dimensión finita.

Si W es un subespacio de V, entonces el espacio cociente V/W es un espacio vectorial por derecho propio, y por lo tanto tiene una doble. Por el primer teorema de isomorfismo, un funcional f: V? F factores a través de V/W si y sólo si W está en el núcleo de f. No es por lo tanto un isomorfismo

Como una consecuencia particular, si V es una suma directa de dos subespacios A y B, entonces V * es una suma directa de Ao y Bo.

Continuo espacio dual

Cuando se trata de espacios vectoriales topológicos, una es por lo general sólo interesados en los funcionales lineales continuos desde el espacio en el campo base. Esto da lugar a la noción de "espacio dual continuo", que es un subespacio lineal de la algebraica espacio dual V *, denotado V '. Para cualquier espacio de dimensión finita normado vector o espacio vectorial topológico, tales como n-espacio euclídeo, la doble continua y el doble algebraica coincidir. Esto es sin embargo falsa para cualquier espacio normado de dimensión infinita, como se muestra por el ejemplo de los mapas lineales discontinuos.

El doble continua V "de un espacio vectorial normado V forma un espacio vectorial normado. Una norma | | f | | de un funcional lineal continua en V se define por

Esto convierte el doble continua en un espacio vectorial normado, de hecho en un espacio de Banach tanto tiempo como el campo subyacente es completa, que a menudo se incluye en la definición del espacio vectorial normado. En otras palabras, esta dual de un espacio normado sobre un cuerpo completo es necesariamente completa.

La doble continua se puede utilizar para definir una nueva topología en V, llamada la topología débil.

Ejemplos

Deje 1

es finito. Definir el número q en 1/p 1/q = 1. ? Entonces la doble continua de l p se identifica naturalmente con l q:? Dado un elemento f? ', El elemento correspondiente de l? Q es la secuencia en la que es denota la secuencia cuya n-ésimo término es 1 y todos los demás son iguales a cero. Por el contrario, dado un elemento a =? l? q, correspondiente f funcional lineal continua sobre l? p se define por f = n anbn para todos b =? l? p.

De una manera similar, la doble continua de l? 1 se identifica naturalmente con l? 8. Por otra parte, los duales continuos de los espacios de Banach C y C0 son ambos identificados naturalmente con l? 1.

Por el teorema de representación de Riesz, la doble continua de un espacio de Hilbert es de nuevo un espacio de Hilbert que es anti-isomorfo al espacio original. Esto da lugar a la notación del Sujetador-ket utilizado por los físicos en la formulación matemática de la mecánica cuántica.

Transposición de una aplicación lineal continua

Si T: V? W es una aplicación lineal continua entre dos espacios vectoriales topológicos, entonces la transpuesta T ': W'? V 'se define por la misma fórmula que antes:

El resultado funcional T 'está en V'. La asignación de T? T 'produce una correlación lineal entre el espacio de las aplicaciones lineales continuas de V a W y el espacio de las aplicaciones lineales de W' a V '. Cuando T y U son aplicaciones lineales continuas componibles, a continuación,

Cuando V y W están estandarizadas espacios, la norma de la transpuesta en L es igual a la de T en L. Varias propiedades de transposición dependerá del teorema de Hahn-Banach. Por ejemplo, el mapa lineal acotado T tiene gama densa si y sólo si la transpuesta T 'es inyectiva.

Cuando T es una aplicación lineal pacto entre dos espacios de Banach V y W, entonces la transpuesta T 'es compacto. Esto se puede probar usando el teorema Arzel-Ascoli.

Cuando V es un espacio de Hilbert, hay un isomorfismo iV antilineal de V en su doble continua V '. Por cada acotado lineal mapa T en V, la transposición y los operadores adjuntos están unidos por

Cuando T es una aplicación lineal continua entre dos espacios vectoriales topológicos V y W, entonces la transpuesta T 'es continua cuando W' y V 'están equipados con "compatible" topologías: por ejemplo, cuando, para X = V y X = W, tanto duales X 'tienen el firme topología de la convergencia uniforme sobre conjuntos acotados de X, o ambos tienen la topología débil * s de la convergencia puntual en X. La transpuesta T' es continua en a, o de s de s.

Aniquiladores

Supongamos que W es un subespacio lineal cerrado de un espacio normado V, y considerar el aniquilador de W en V ',

A continuación, el doble del cociente V? /? W? puede ser identificado con W?, y el doble de W puede ser identificado con el cociente V '? /? W?. Antes bien, sea P el surjection canónica de V en el cociente V/W; ? Entonces, la transposición P 'es un isomorfismo isométrico de "en V", con rango igual a W?. Si j denota el mapa de inyección de W en V, entonces el núcleo de la transpuesta j 'es el aniquilador de W:

y se sigue del teorema de Hahn-Banach que j 'induce un isomorfismo isométrico V'? /? W? ? W '.

Otras propiedades

Si el dual de un espacio normado V es separable, entonces también lo es el espacio V sí. Lo contrario no es cierto:? Por ejemplo, el espacio de 1 l es separable, pero su doble es l 8 no es?.

Doble doble

En analogía con el caso de la doble doble algebraica, siempre hay un operador lineal continua definida naturalmente? : V? V'' de un espacio normado V en su continua doble dual V'', definido por

Como consecuencia del teorema de Hahn-Banach, este mapa es de hecho una isometría, es decir | |? | | = | | X | | para todo x en V. espacios normados para los que el mapa? es una biyección se llaman reflexiva.

Cuando V es un espacio vectorial topológico, todavía se puede definir? por la misma fórmula, para cada x? V, sin embargo, surgen varias dificultades. En primer lugar, cuando V no es localmente convexa, la doble continua puede ser igual a {0} y el mapa? trivial. Sin embargo, si V es Hausdorff y localmente convexa, el mapa? es inyectiva de V a la algebraica de doble V '* de la doble continua, de nuevo como una consecuencia del teorema de Hahn-Banach.

En segundo lugar, incluso en el ajuste localmente convexa, el espacio de varios vector natural topologías se puede definir en la doble continua V ', de modo que la continua doble de doble V'' no se define de manera única como un conjunto. Decir que? Mapas de V a V'', o en otras palabras, que? es continua en V "para cada x? V, es un requisito mínimo razonable de la topología de la V ', es decir, que la evaluación de las asignaciones

ser continua para la topología elegida en V '. Además, todavía hay una selección de una topología en V'', y la continuidad de? depende de esta elección. En consecuencia, la definición de la reflexividad en este marco es más complicado que en el caso normado.