Formulación matemática de la mecánica cuántica, Historia del formalismo, Estructura matemática de la mecánica cuántica, El problema de la medición, Lista de herramientas matemáticas

Las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica son los formalismos matemáticos que permitan una descripción rigurosa de la mecánica cuántica. Tal se distinguen de formalismos matemáticos de las teorías desarrolladas antes de la década de 1900 por el uso de las estructuras matemáticas abstractas, como los espacios de Hilbert de dimensión infinita y operadores en estos espacios. Muchas de estas estructuras se han extraído de análisis funcional, un área de investigación dentro de las matemáticas puras que fue influenciado en parte por las necesidades de la mecánica cuántica. En resumen, los valores de observables físicos como la energía y el impulso ya no eran considerados como valores de funciones en el espacio de fase, sino como valores propios, más precisamente: como valores espectrales de los operadores lineales en el espacio de Hilbert.

Estas formulaciones de la mecánica cuántica se siguen utilizando hoy en día. En el corazón de la descripción son las ideas de estado cuántico y observables cuánticos, que son radicalmente diferentes de los utilizados en los modelos anteriores de la realidad física. Mientras que la matemática permite calcular de muchas cantidades que se pueden medir experimentalmente, existe un límite teórico definido a los valores que se pueden medir simultáneamente. Esta limitación fue aclarada por primera vez por Heisenberg a través de un experimento mental, y es representado matemáticamente en el nuevo formalismo por la no conmutatividad de observables cuánticos.

Antes de la aparición de la mecánica cuántica como una teoría separada, las matemáticas utilizadas en la física consistían principalmente en el análisis matemático formal, comenzando con el cálculo, y, el aumento en complejidad hasta geometría diferencial y ecuaciones diferenciales parciales. Teoría de la probabilidad se utilizó en la mecánica estadística. Intuición geométrica claramente jugó un papel importante en los dos primeros y, en consecuencia, las teorías de la relatividad fueron completamente formulado en términos de conceptos geométricos. La fenomenología de la física cuántica surgió más o menos entre 1895 y 1915, y durante los 10 a 15 años antes de la aparición de los físicos cuánticos teoría seguía pensando en la teoría cuántica dentro de los límites de lo que ahora se llama la física clásica, y en particular dentro de la misma matemática estructuras. El ejemplo más sofisticado de esta es la regla de cuantificación Sommerfeld-Wilson-Ishiwara, que fue formulada por completo en el espacio de fase clásica.

Historia del formalismo

La "teoría cuántica antigua" y la necesidad de nuevas matemáticas

En la década de 1890, Planck fue capaz de derivar el espectro de cuerpo negro que posteriormente se utiliza para evitar la catástrofe ultravioleta clásica haciendo la suposición de que poco ortodoxo, en la interacción de la radiación con la materia, la energía sólo podría ser intercambiado en unidades discretas que llamó cuantos. Planck postula una proporcionalidad directa entre la frecuencia de la radiación y el quantum de energía a esa frecuencia. La constante de proporcionalidad, h, que ahora se llama la constante de Planck en su honor.

En 1905, Einstein explicó algunas características del efecto fotoeléctrico suponiendo que la energía cuántica de Planck son partículas reales, que más tarde fueron dobladas fotones.

Todos estos acontecimientos fueron fenomenológica y voló en la cara de la física teórica de la época. Bohr y Sommerfeld pasó a modificar la mecánica clásica en un intento de deducir el modelo de Bohr de los primeros principios. Propusieron que, de todas las órbitas clásicas cerradas trazadas por un sistema mecánico en el espacio de fase, sólo las que encierran un área que era un múltiplo de la constante de Planck fueron efectivamente permitido. La versión más sofisticada de este formalismo era la llamada de cuantificación Sommerfeld-Wilson-Ishiwara. Aunque el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno podría ser explicado de esta manera, el espectro del átomo de helio no puede predecirse. El estado matemática de la teoría cuántica sigue siendo incierta durante algún tiempo.

En 1923 de Broglie propuso que la dualidad onda-partícula aplica no sólo a los fotones, pero a los electrones y todos los otros sistemas físicos.

La situación ha cambiado rápidamente en los años 1925-1930, cuando se trabaja fundamentos matemáticos se encuentran a través de la labor innovadora de Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Pascual Jordania, y el trabajo fundacional de John von Neumann, Hermann Weyl y Paul Dirac, y se hizo posible la unificación de varios enfoques diferentes en términos de un nuevo conjunto de ideas. La interpretación física de la teoría también se aclaró en estos años después de Werner Heisenberg descubrió las relaciones de incertidumbre y Niels Bohr introdujo la idea de la complementariedad.

La "nueva teoría cuántica"

Mecánica matricial de Werner Heisenberg fue el primer intento exitoso de replicar la cuantización observada de los espectros atómicos. Más adelante en el mismo año, Schrödinger creó sus mecánica ondulatoria. El formalismo de Schrödinger se considera más fácil de entender, visualizar y calcular con ya que condujo a las ecuaciones diferenciales, que los físicos ya estaban familiarizados con la solución. Dentro de un año, se demostró que las dos teorías eran equivalentes.

Schrödinger mismo principio no entendían la naturaleza probabilística fundamental de la mecánica cuántica, ya que pensaba que la plaza absoluta de la función de onda de un electrón debe ser interpretado como la densidad de carga de un objeto manchado a lo largo de un volumen de espacio ampliado, posiblemente infinito, . Fue Max Born quien introdujo la interpretación de la plaza absoluta de la función de onda como la distribución de probabilidad de la posición de un objeto puntual. Idea de Born pronto fue tomado por Niels Bohr en Copenhague, que luego se convirtió en el "padre" de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica. Función de onda de Schrödinger puede ser visto como estrechamente relacionado con la ecuación de Hamilton-Jacobi clásico. La correspondencia con la mecánica clásica fue aún más explícito, aunque algo más formal, en la mecánica matricial de Heisenberg. En su proyecto de tesis doctoral, Paul Dirac descubrió que la ecuación para los operadores en la representación de Heisenberg, como se llama ahora, de cerca se traduce en ecuaciones clásicas de la dinámica de ciertas cantidades en el formalismo hamiltoniano de la mecánica clásica, cuando se las expresa a través de soportes de Poisson, un procedimiento que ahora se conoce como cuantización canónica.

Para ser más precisos, ya antes de Schrödinger, el becario postdoctoral joven Werner Heisenberg inventó sus mecánica matricial, que fue la primera mecánica cuántica corregir el avance esencial. Formulación de la mecánica matricial de Heisenberg se basó en álgebras de matrices infinitas, una formulación muy radical a la luz de las matemáticas de la física clásica, a pesar de que comenzó desde el índice de la terminología de los experimentadores de la época, ni siquiera son conscientes de que su "índice de esquemas de" Se matrices, como Born pronto le señalaron. De hecho, en estos primeros años, el álgebra lineal no fue en general muy popular entre los físicos en su forma actual.

Aunque el propio Schrödinger después de un año demostró la equivalencia de la onda mecánica y mecánica matricial de Heisenberg, la reconciliación de los dos enfoques y la abstracción moderna como movimientos en el espacio de Hilbert es generalmente atribuido a Paul Dirac, quien escribió un relato lúcido en su 1930 classic Principios de la Mecánica Cuántica. Él es el tercero, y posiblemente más importante, pilar de ese campo. En su relato citado, introdujo la notación bra-ket, junto con una formulación abstracta en términos del espacio de Hilbert se utiliza en el análisis funcional, sino que demostró que Schrödinger y de enfoques de Heisenberg eran dos representaciones diferentes de la misma teoría, y encontró una una tercera, más general, que representa la dinámica del sistema. Su trabajo ha sido especialmente fructífera en todo tipo de generalizaciones del campo.

La primera formulación matemática completa de este enfoque, conocido como el Neumann axiomas Dirac-von, se acredita generalmente a 1932 libro Fundamentos Matemáticos de John von Neumann de la mecánica cuántica, aunque Hermann Weyl ya se había referido a los espacios de Hilbert en el 1927 el papel clásico y libro. Se desarrolló en paralelo con un nuevo enfoque a la teoría espectral matemática basada en operadores lineales en lugar de las formas cuadráticas que eran enfoque de David Hilbert en la generación anterior. Aunque las teorías de la mecánica cuántica siguen evolucionando hasta nuestros días, hay un marco básico para la formulación matemática de la mecánica cuántica, que subyace en la mayoría de los enfoques y se remonta a la obra matemática de John von Neumann. En otras palabras, las discusiones sobre la interpretación de la teoría, y las extensiones a la misma, ahora se llevan a cabo principalmente sobre la base de supuestos compartidos sobre los fundamentos matemáticos.

Acontecimientos posteriores

La aplicación de la nueva teoría cuántica al electromagnetismo resultó en la teoría cuántica de campos, que se desarrolló a partir de alrededor 1930. La teoría cuántica de campos ha impulsado el desarrollo de formulaciones más sofisticadas de la mecánica cuántica, de los cuales el que se presenta aquí es un caso especial simple.

  • Camino formulación integral
  • El espacio de fase de formulación de la mecánica cuántica, Weyl cuantificación y cuantificación geométrica
  • la teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo
  • , la teoría cuántica de campos algebraicos y constructivo axiomática
  • C * álgebra formalismo
  • Modelo estadístico Generalizado de Quantum Mechanics

En otro frente, von Neumann originalmente envió medida cuántica con su famoso postulado sobre el colapso de la función de onda, levantando una serie de problemas filosóficos. Durante los 70 años transcurridos, el problema de la medición se convirtió en un área de investigación activa en sí y dio lugar a algunas nuevas formulaciones de la mecánica cuántica.

  • / Muchos mundos estatal relativa interpretación de la mecánica cuántica
  • Decoherencia
  • Historias formulación coherente de la mecánica cuántica
  • Formulación lógica cuántica de la mecánica cuántica

Un tema relacionado es la relación con la mecánica clásica. Cualquier nueva teoría física se supone reducir a viejas teorías exitosas en alguna aproximación. En la mecánica cuántica, esto se traduce en la necesidad de estudiar el llamado límite clásico de la mecánica cuántica. También, como Bohr subrayó, las capacidades cognitivas humanas y el lenguaje están inextricablemente ligados a la esfera clásica, y descripciones tan clásicos son intuitivamente más accesibles que los cuánticos. En particular, la cuantización, a saber, la construcción de una teoría cuántica cuyo límite clásico es una teoría clásica dada y conocida, se convierte en un área importante de la física cuántica en sí mismo.

Por último, algunos de los autores de la teoría cuántica no estaban contentos con lo que ellos pensaban eran las implicaciones filosóficas de la mecánica cuántica. En particular, Einstein adoptó la posición de que la mecánica cuántica debe ser incompleta, lo que motivó la investigación en las llamadas teorías de variables ocultas. La cuestión de variables ocultas se ha convertido en parte un problema experimental con la ayuda de la óptica cuántica.

  • de Broglie-Bohm-Bell formulación onda piloto de la mecánica cuántica
  • Las desigualdades de Bell
  • Kochen-Specker teorema

Estructura matemática de la mecánica cuántica

Un sistema físico se describe generalmente por tres ingredientes básicos: los estados, observables, y la dinámica o, más en general, un grupo de simetrías físicas. Una descripción clásica se puede dar de una manera bastante directa de un modelo de espacio de las fases de la mecánica: los estados son puntos en un espacio de fase simpléctica, observables son funciones reales en ella, evolución en el tiempo viene dado por un grupo de un parámetro de transformaciones simplécticos del espacio de fases, y simetrías físicas se realizan por transformaciones simplécticos. Una descripción cuántica consiste en un espacio de Hilbert de estados, observables son operadores independientes adjuntos en el espacio de estados, evolución en el tiempo viene dado por un grupo de un parámetro de transformaciones unitarias en el espacio de Hilbert de estados y simetrías físicas se realizan mediante transformaciones unitarias .

Postulados de la mecánica cuántica

El siguiente resumen de la estructura matemática de la mecánica cuántica, puede ser parcialmente remonta a los Neumann axiomas Dirac-von.

  • Cada sistema físico está asociado con un espacio de Hilbert complejo separable H con producto interno. Rayos en H están asociados con estados del sistema. En otras palabras, los estados físicos pueden ser identificados con clases de equivalencia de vectores de longitud 1 en H, donde los dos vectores representan el mismo estado si difieren sólo por un factor de fase. Separabilidad es una hipótesis matemáticamente conveniente, con la interpretación física que contablemente muchas observaciones son suficientes para determinar unívocamente el estado.
  • El espacio de Hilbert de un sistema compuesto es el espacio de Hilbert producto tensorial de los espacios estatales asociadas a los sistemas componentes. Para un sistema no relativista que consiste en un número finito de partículas distinguibles, los sistemas de componentes son las partículas individuales.
  • Simetrías físicas actúan en el espacio de Hilbert de estados cuánticos unitariamente o antiunitarily debido al teorema de Wigner.
  • Observables físicos se representan por matrices de hermitianos en H.

 El valor esperado de la observable A para el sistema en el estado representado por el vector unitario | ? H es la teoría espectral, podemos asociar una medida de probabilidad para los valores de A, de cualquier estado?. También podemos mostrar que los valores posibles de lo observable A en cualquier estado deben pertenecer al espectro de A. En el caso especial A tiene sólo espectro discreto, los posibles resultados de la medición de A son sus valores propios. Más en general, un estado puede ser representado por un operador de densidad de llamada, que es una clase traza, no negativo operador autoadjunta? normalizado a ser de trazo 1 - El valor esperado de A en el estado? Si es? es el proyector ortogonal sobre el subespacio unidimensional de H atravesado por | , a continuación, los operadores de la densidad son los que están en el cierre de la envolvente convexa de los proyectores ortogonales de una sola dimensión. Por el contrario, los proyectores ortogonales unidimensionales son puntos extremos del conjunto de los operadores de densidad. Los físicos también llaman proyectores ortogonales unidimensionales estados puros y otros operadores densidad estados mixtos.

Uno puede, en principio, la incertidumbre de este formalismo estado Heisenberg y demostrar como un teorema, aunque la secuencia exacta histórico de eventos, en relación con lo que se deriva, y en qué marco, es el objeto de investigaciones históricas fuera del alcance de este artículo.

Por otra parte, a los postulados de la mecánica cuántica también hay que añadir las declaraciones básicas sobre las propiedades de giro y principio de exclusión de Pauli, ver más abajo.

Sectores superselección. La correspondencia entre los estados y los rayos es preciso afinar un poco para tener en cuenta los llamados sectores superselección. Estados en los distintos sectores superselección no pueden influir en los demás, y las fases relativas entre ellas no son observables.

Fotos de la dinámica

  • En la llamada imagen de Schrödinger de la mecánica cuántica, la dinámica se da de la siguiente manera:

El tiempo de evolución de la situación viene dada por una función diferenciable de los números reales R, que representa los instantes de tiempo, en el espacio de Hilbert de estados del sistema. Este mapa se caracteriza por una ecuación diferencial de la siguiente manera: Si | denota el estado del sistema en un tiempo t, la siguiente ecuación de Schrödinger tiene:

donde H es un operador de autoadjunta densamente definido, llamado el sistema hamiltoniano, i es la unidad imaginaria y h es la constante de Planck reducida. Como un observable, H corresponde a la energía total del sistema.

Por otra parte, por el teorema de Stone se puede afirmar que hay un grupo unitario de un parámetro de fuerza continua U: H? H tal que

para todos los tiempos s, t. La existencia de un autoadjunta hamiltoniano H tal que

es una consecuencia del teorema de Stone sobre los grupos unitarios de un parámetro. Se supone que H no depende del tiempo y que la perturbación se inicia en t0 = 0, de lo contrario hay que utilizar la serie de Dyson, formalmente escrito como

que es el símbolo de tiempo de pedidos de Dyson.

  • El cuadro de Heisenberg de la mecánica cuántica se centra en observables y en lugar de considerar los estados como variables en el tiempo, que se refiere a los estados como fija y los observables como cambiar. Para pasar de la Schrödinger a la imagen Heisenberg se necesita para definir los estados independientes del tiempo y de los operadores en función del tiempo así:

Se puede comprobar fácilmente que entonces los valores esperados de todos los observables son los mismos en ambas imágenes

y que los operadores de Heisenberg dependientes del tiempo satisfacen

lo que es cierto para los dependientes del tiempo A = A. Observe la expresión conmutador es puramente formal cuando no está acotado uno de los operadores. Se podría indicar una representación de la expresión para hacer sentido de ella.

  • El llamado Dirac imagen o fotografía interacción tiene estados dependientes del tiempo y observables, la evolución con respecto a los diferentes hamiltonianos. Esta imagen es más útil cuando la evolución de los observables puede resolverse exactamente, confinar cualquier complicación a la evolución de los estados. Por esta razón, el hamiltoniano de los observables se llama "Hamiltoniano libre" y el hamiltoniano para los estados se llama "interacción hamiltoniana". En símbolos:

El marco de interacción no siempre existe, sin embargo. En la interacción teorías cuánticas de campos, el teorema de Haag dice que el marco de interacción no existe. Esto se debe a que el hamiltoniano no puede ser dividida en una libre y una parte interactuando dentro de un sector superselección. Por otra parte, aunque en la foto Schrödinger el hamiltoniano no depende del tiempo, por ejemplo, H = H0 V, en el marco de interacción lo hace, al menos, si V no conmuta con H0, desde

.

Así que la Dyson-serie antes mencionada tiene que ser utilizado de todos modos.

El cuadro de Heisenberg es el más cercano a la mecánica hamiltoniana clásica, pero esto ya es algo "grande de ceja", y la imagen de Schrödinger se considera más fácil de visualizar y entender por la mayoría de la gente, a juzgar por las cuentas pedagógicas de la mecánica cuántica. La imagen Dirac es la utilizada en la teoría de perturbaciones, y está especialmente asociada a la teoría cuántica de campos y la física de muchos cuerpos.

Ecuaciones similares se pueden escribir para cualquier grupo unitario de un parámetro de simetrías del sistema físico. Tiempo sería reemplazado por una coordenada adecuada parametrización del grupo unitario y el hamiltoniano se sustituye por la cantidad conservada asociada a la simetría.

Representaciones

La forma original de la ecuación de Schrödinger depende de la elección de una representación particular de relaciones de conmutación canónicas de Heisenberg. El Neumann teorema de Piedra von dicta que todas las representaciones irreducibles de las relaciones de conmutación Heisenberg de dimensión finita son unitariamente equivalentes. Una comprensión sistemática de sus consecuencias ha llevado a la formulación de espacio de fase de la mecánica cuántica, que trabaja en el espacio de fase completa en lugar del espacio de Hilbert, para luego con un vínculo más intuitiva para el límite clásico de la misma. Esta imagen también simplifica las consideraciones de cuantificación, la extensión de la deformación de la clásica a la mecánica cuántica.

El oscilador armónico cuántico es un sistema exactamente solucionables en los que se pueden comparar fácilmente las distintas representaciones. Hay, aparte de la Heisenberg, o Schrödinger, o representaciones espacio-fase, también se encuentra con la representación de Fock y la representación Segal-Bargmann. Los cuatro son unitariamente equivalentes.

El tiempo como un operador

El marco presentado hasta ahora señala a tiempo que el parámetro que todo depende. Es posible formular la mecánica de tal manera que el tiempo se convierte en sí mismo un observable asociado a un operador auto-adjunto. En el nivel clásico, es posible parametrizar arbitrariamente las trayectorias de las partículas en términos de un parámetro s no físico, y en ese caso el tiempo t se convierte en una coordenada generalizada adicional del sistema físico. A nivel cuántico, traducciones en s se generarían por un "Hamilton" H - E, donde E es el operador de energía y H es el "ordinario" de Hamilton. Sin embargo, como s es un parámetro no físico, estados físicos se deben dejar invariante por "s-evolución", por lo que el espacio de estado físico es el núcleo de H - E.

Esto está relacionado con la cuantificación de los sistemas constreñidos y cuantificación de teorías de gauge. También es posible formular una teoría cuántica de "eventos" donde el tiempo se convierte en un observable.

Girar

Además de sus otras propiedades, todas las partículas poseen una cantidad llamada espín, un momento angular intrínseco. A pesar del nombre, las partículas no girar literalmente alrededor de un eje, y la mecánica cuántica de espín no tiene correspondencia en la física clásica. En la representación de posición, una función de onda spinless tiene posición r y el tiempo t como variables continuas,? ? =, Por funciones de onda de espín del spin es una variable discreta adicional: =, Donde s toma los valores?;

Es decir, el estado de una sola partícula de spin S está representada por un componente-espinorial de las funciones de onda de valor complejo.

Dos clases de partículas con un comportamiento muy diferente son los bosones que tienen espín entero, y fermiones que poseen espín semi-entero.

El principio de Pauli

La característica de giro se relaciona con otra propiedad básica referente a los sistemas de N partículas idénticas: principio de exclusión de Pauli, que es una consecuencia del comportamiento siguiente permutación de una función de onda N-partícula, de nuevo en la representación posición uno debe postular que para la transposición de dos de las N partículas siempre se debe tener

es decir, en la transposición de los argumentos de las dos partículas de la función de onda debe reproducir, aparte de prefactor 2S, que es 1 de los bosones, pero para los fermiones. Los electrones son fermiones con S = 1/2; cuantos de luz son bosones con S = 1. En la mecánica cuántica no relativista todas las partículas son bosones o fermiones, en teorías cuánticas relativistas también existen teorías "supersimétricas", donde una partícula es una combinación lineal de un bosonic y una parte fermionic. Sólo dimensión d = 2 se puede construir entidades donde 2S es reemplazado por un número complejo arbitrario con magnitud 1, llamado anyons.

A pesar de giro y el principio de Pauli sólo se pueden derivar de las generalizaciones relativistas de la mecánica cuántica las propiedades mencionadas en los dos últimos párrafos pertenecen a los postulados básicos que ya están en el límite no relativista. Sobre todo, muchas de las propiedades importantes de las ciencias naturales, por ejemplo, del sistema periódico de la química, son consecuencias de las dos propiedades.

El problema de la medición

La imagen dada en los párrafos anteriores es suficiente para la descripción de un sistema completamente aislado. Sin embargo, no tiene en cuenta una de las principales diferencias entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica, es decir, los efectos de la medición. La descripción de von Neumann de medición cuántica de un observable A, cuando el sistema está preparado en un estado puro? es la siguiente:

  • Vamos A tienen resolución espectral

donde EA es la resolución de la identidad asociada a A. A continuación, la probabilidad de que el resultado de medición situada en un intervalo B de R es | EA |? 2. En otras palabras, la probabilidad se obtiene mediante la integración de la función característica de B en contra de la medida aditivo numerable

  • Si el valor medido está contenido en B, a continuación, inmediatamente después de la medición, el sistema estará en el estado de EA?. Si el valor medido no está en B, reemplace B por su complemento para el estado anterior.

Por ejemplo, supongamos que el espacio de estado es el complejo Cn espacio de Hilbert de dimensión n y A es una matriz hermitiana con valores propios? I, con los vectores propios correspondientes? I. La proyección con valores de medida asociada con A, EA, es entonces

donde B es un conjunto de Borel contiene sólo el único valor propio? i. Si el sistema está en el estado preparado

A continuación, la probabilidad de que una medición de devolver el valor? I se puede calcular mediante la integración de la medida espectral

más de Bi. Esto da trivialmente

La propiedad característica del sistema de medición de von Neumann es que la repetición de la misma medición dará los mismos resultados. Esto también se llama la proyección postulado.

Una formulación más general sustituye a la proyección de valores de medida con una medida positiva operador valorado. Como ejemplo, tome de nuevo el caso de dimensión finita. Aquí habría que sustituir el rango-1 proyecciones

por un conjunto finito de operadores positivos

cuya suma es todavía el operador identidad como antes. Al igual que un conjunto de resultados posibles {? 1 ... ? N} está asociada a una proyección de valor de medida, lo mismo puede decirse de una POVM. Supongamos que el resultado de medición es? I. En lugar de colapso al estado

después de la medición, el sistema estará ahora en el estado

Dado que los operadores * fi fi no tienen que ser las proyecciones ortogonales entre sí, la proyección postulado de von Neumann ya no se sostiene.

La misma formulación se aplica a los estados mixtos generales.

En el enfoque de von Neumann, la transformación del estado debido a la medida es distinta de la que, debido a la evolución en el tiempo de varias maneras. Por ejemplo, la evolución en el tiempo es determinista y unitaria, mientras que la medición no es determinista y no unitario. Sin embargo, ya que ambos tipos de transformación del estado toman un estado cuántico a otro, esta diferencia fue visto por muchos como insatisfactoria. El POVM formalismo de medición vistas como una entre muchas otras operaciones cuánticos, que se describen por los mapas completamente positivos que no aumentan la traza.

En cualquier caso, parece que los problemas mencionados anteriormente sólo pueden resolverse si la evolución en el tiempo incluye no sólo el sistema cuántico, sino también, y esencialmente, el aparato de medición clásica.

La interpretación respecto del estado

Una interpretación alternativa de la medida es la interpretación del estado relativo de Everett, que más tarde se denominó la "interpretación de muchos mundos" de la mecánica cuántica.

Lista de herramientas matemáticas

Parte del folklore del tema se refiere a los métodos de la física matemática de libros de texto de física matemática elaborado por Richard Courant de cursos de la Universidad de Gotinga David Hilbert. La historia se cuenta que los físicos habían descartado el material que no es interesante en las áreas de investigación en curso, hasta el advenimiento de la ecuación de Schrödinger. En ese momento se dio cuenta de que las matemáticas de la nueva mecánica cuántica ya fue presentada en el mismo. También se dice que Heisenberg había consultado Hilbert sobre su mecánica de la matriz, y Hilbert observó que su propia experiencia con matrices de dimensión infinita había derivado de las ecuaciones diferenciales, el asesoramiento que Heisenberg ignorado, perdiendo la oportunidad de unificar la teoría de Weyl y Dirac hizo un Unos años más tarde. Cualquiera que sea la base de las anécdotas, las matemáticas de la teoría era convencional en el momento, mientras que la física fue radicalmente nueva.

Las principales herramientas son:

  • álgebra lineal: números complejos, vectores propios, valores propios
  • análisis funcional: los espacios de Hilbert, operadores lineales, teoría espectral
  • ecuaciones diferenciales: ecuaciones diferenciales parciales, separación de variables, ecuaciones diferenciales ordinarias, teoría de Sturm-Liouville, las funciones propias
  • análisis armónico: transformadas de Fourier

 Ver también: Lista de temas matemáticos en la teoría cuántica