Ergodicidad, Etimología, Definición formal, Cadenas de Markov, Ejemplos en Electrónica, Descomposición Ergodic





En matemáticas, el término ergódico se utiliza para describir un sistema dinámico que, en términos generales, tiene el mismo comportamiento promedio en el tiempo como promedio durante el espacio de todos los estados del sistema. En física el término se utiliza para implicar que un sistema satisface la hipótesis ergódica de la termodinámica.

En las estadísticas, el término describe un proceso aleatorio para que el promedio de tiempo de una secuencia de eventos es la misma que la media de conjunto.

Etimología

El término "ergódico" se deriva de las palabras griegas ? y? d?. Fue elegida por Boltzmann mientras él estaba trabajando en un problema en la mecánica estadística.

Definición formal

Vamos a ser un espacio de probabilidad, y una transformación que preserva medida. Decimos que T es ergódica con respecto a si una de las siguientes definiciones equivalentes es verdadera:

  • para cada, ya sea con o.
  • para cada, ya sea con o.
  • para cada con medida positiva que tenemos.

Flujos medibles

Estas definiciones tienen análogos naturales para el caso de los flujos medibles y, más en general, la preservación de medida-acciones semigrupo. Sea {Tt} un flujo mensurable sobre. Un elemento A de S es invariante bajo mod 0 {Tt} si

para cada t? Conjuntos medibles R. invariante mod 0 bajo un flujo o una forma de acción semigrupo la subálgebra invariante de S, y la correspondiente medida de preservación sistema dinámico es ergódico si el subálgebra invariante es lo trivial s-álgebra que consiste en los conjuntos de medida 0 y su complementos en X.

Cadenas de Markov

En una cadena de Markov, un estado se dice que es ergódico si es recurrente aperiódica y positivo. Si todos los estados en una cadena de Markov son ergódico, a continuación, la cadena se dice que es ergódico. Una cadena de Markov es ergódica si es posible pasar de cualquier estado a cualquier otro estado.

Ejemplos en Electrónica

Ergodicidad es donde ensemble promedio es igual al tiempo promedio. Cada resistencia tiene ruido térmico asociado con él y que depende de la temperatura. Tome resistencias 'n' y la trama de la tensión a través de las resistencias durante un largo período. Para cada resistencia tendrá una forma de onda. Calcular el valor medio de que la forma de onda. Esto le da a la media hora. También debe tener en cuenta que tienen forma de onda 'N' ya que tenemos resistencias 'N'. Estas parcelas "n" se conocen como conjuntos. Ahora tome un instante particular de tiempo en todas las parcelas de encontrar y el valor promedio de la tensión. Eso te da la media de conjunto. Si tanto la media de conjunto y el tiempo promedio son los mismos, entonces es ergódica.

Descomposición Ergodic

Conceptualmente, ergodicity de un sistema dinámico es una cierta propiedad irreductibilidad, similar a las nociones de representación irreducible en el álgebra y la aritmética de los números primos. Una transformación medida-preservar general o de flujo en un espacio de Lebesgue admite una descomposición canónica en sus componentes ergódicas, cada uno de los cuales es ergódico.