Dodecaedro rómbico, Propiedades, Dimensiones, Área y volumen, Coordenadas cartesianas, Relacionados poliedros, Panal, Politopos relacionados

En geometría, el rombo dodecaedro es un poliedro convexo con 12 caras rómbicas congruentes. Es un sólido doble de Arquímedes, o un sólido catalán. Su doble es la cuboctaedro.

Propiedades

El dodecaedro rómbico es un zonohedron. Su doble poliédrica es la cuboctaedro. La longitud diagonal de cada cara es exactamente v2 veces la longitud de la diagonal corta, por lo que los ángulos agudos en cada cara medida ARccOS, o aproximadamente 70.53.

Al ser el doble de un poliedro de Arquímedes, el dodecaedro rómbico es cara transitiva, es decir, el grupo de simetría de los hechos sólidos transitivamente en el conjunto de caras. En términos elementales, esto significa que para cualquier par de caras A y B no es una rotación o reflexión del sólido que deja que ocupa la misma región del espacio mientras se mueve la cara de A a B. realistas

El dodecaedro rómbico es uno de los nueve borde transitiva poliedros convexos, los otros son los cinco sólidos platónicos, el cuboctaedro, el icosidodecaedro y el rombo triacontaedro.

El dodecaedro rómbico se puede utilizar para teselar espacio tridimensional. Se pueden apilar para ocupar un espacio muy parecido hexágonos llenar un avión.

Esta teselación puede ser visto como la teselación de Voronoi de la red cúbica centrada en las caras. Algunos minerales como el granate forman un hábito cristalino dodecaedro rómbico. Las abejas usan la geometría de dodecaedros rómbicos de nido de abeja para formar una teselación de cada una de las células, que es un prisma hexagonal con un tope medio un dodecaedro rómbico. El dodecaedro rómbico también aparece en las celdas unitarias de diamante y diamantoides. En estos casos, cuatro vértices están ausentes, pero los enlaces químicos se encuentran en los bordes restantes.

El gráfico de rombo dodecaedro es nonhamiltonian.

Dimensiones

Si la longitud del borde de un dodecaedro rómbico es una, el radio de una esfera es inscrito

el radio de la midsphere es

.

y el radio de la esfera es circunscrita

.

Área y volumen

El área A y el volumen V de la dodecaedro rómbico de la longitud del borde de una son:

Coordenadas cartesianas

Los ocho vértices, donde se encuentran tres caras en sus ángulos obtusos tienen coordenadas cartesianas:

Las coordenadas de los seis vértices donde cuatro caras se reúnen en sus ángulos agudos son las permutaciones de:

Relacionados poliedros

Este poliedro es una parte de una secuencia de rómbica poliedros y embaldosados con simetría grupo de Coxeter. El cubo puede ser visto como un hexaedro rómbica donde los rombos son cuadrados.

Del mismo modo se relaciona con la serie infinita de mosaicos con la cara configuraciones V3.2n.3.2n, el primero en el plano euclidiano, y el resto en el plano hiperbólico.

Stellations

Al igual que muchos poliedros convexos, el dodecaedro rómbico se puede stellated mediante la extensión de las caras o bordes hasta que se reúnen para formar un nuevo poliedro. Varias de estas constelaciones se han descrito por Dorman Lucas

La primera constelación, a menudo llamado simplemente el stellated dodecaedro rómbico, es bien conocida. Se puede ver como un dodecaedro rómbico con cada cara aumentada uniendo una pirámide de base rómbica a la misma, con una altura pirámide de tal manera que los lados se encuentran en los planos de la cara de las caras vecinas:

Lucas describe cuatro constelaciones más: la segunda y la tercera constelaciones, uno formado por la eliminación de la segunda de la tercera, y otra añadiendo el original dodecaedro rómbico volver a la anterior.

Panal

El dodecaedro rómbico puede tesela el espacio por copias de traslación de sí mismo:

Politopos relacionados

El dodecaedro rómbico forma el casco del vértice-primera proyección de un hipercubo de tres dimensiones. Hay exactamente dos formas de descomponer un dodecaedro rómbico en cuatro paralelepípedos congruentes, dando ocho posibles paralelepípedos. Las ocho celdas del tesseract bajo esta proyección cartográfica precisamente a estos ocho paralelepípedos.

El dodecaedro rómbico forma la sección transversal máxima de un 24-célula, y también forma el casco de su vértice-primera proyección paralela en tres dimensiones. El dodecaedro rómbico se puede descomponer en seis bipirámides cuadrados congruentes reunidos en un solo vértice en el centro; estos forman las imágenes de seis pares de células octaédricos de la 24-celulares. El octaedro proyecto restante 12 células sobre las caras del dodecaedro rómbico. La no-regularidad de estas imágenes son debido a la distorsión proyectiva; las facetas de la 24-célula son octaedros regulares en 4-espacio.

Esta descomposición da un método interesante para la construcción del dodecaedro rómbico: cortar un cubo en seis pirámides cuadradas congruentes, y adjuntarlas a las caras de un segundo cubo. Las caras triangulares de cada par de pirámides adyacentes se encuentran en el mismo plano, y por lo tanto se funden en rombos. El 24-célula también puede estar construido de una manera análoga utilizando dos tesseracts.