Distribución de Maxwell-Boltzmann, Aplicaciones físicas, Distribuciones

En la física, en particular la mecánica estadística, la distribución de Maxwell-Boltzmann describe velocidades de partículas en gases, en donde las partículas se mueven libremente sin interactuar uno con el otro, a excepción de colisiones elásticas muy breves en el que se pueden intercambiar impulso y la energía cinética, pero no cambian su estados respectivos de excitación intramolecular, como una función de la temperatura del sistema, la masa de la partícula, y la velocidad de la partícula. Partícula en este contexto se refiere a los átomos o moléculas gaseosas - no se hace diferencia entre los dos en su desarrollo y resultado.

Se trata de una distribución de probabilidad de la velocidad de una partícula que constituye el gas - la magnitud de su vector de velocidad, lo que significa que para una temperatura dada, la partícula tendrá una velocidad seleccionada al azar de la distribución, pero es más probable que sea dentro de un rango algunos de velocidades que otros.

La distribución de Maxwell-Boltzmann se aplica a los gases ideales cercanas al equilibrio termodinámico con efectos cuánticos insignificantes ya velocidades no relativistas. Se forma la base de la teoría cinética de los gases, la cual proporciona una explicación simplificada de muchas de las propiedades fundamentales gaseosos, incluyendo la presión y la difusión. Sin embargo - hay una generalización a velocidades relativistas, ver la distribución de Maxwell-Jttner continuación.

La distribución es el nombre de James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann.

Aplicaciones físicas

Por lo general, la distribución de Maxwell-Boltzmann se refiere a velocidades moleculares, pero también se aplica a la distribución de las cantidades de movimiento y la energía de las moléculas.

Para cantidades vectoriales 3-dimensionales, los componentes se tratan independiente y normalmente distribuido con media igual a 0 y la desviación estándar de una. Si Xi se distribuyen como, a continuación,

se distribuye como una distribución de Maxwell-Boltzmann con el parámetro a. Aparte de el parámetro de escala a, la distribución es idéntica a la distribución de chi con 3 grados de libertad.

Distribuciones

La derivación original de Maxwell asume todas las tres direcciones se comportarían de la misma manera, pero una derivación más tarde por Boltzmann dejó caer esta suposición utilizando la teoría cinética. La distribución de Maxwell-Boltzmann puede ahora más fácilmente se deriva de la distribución de Boltzmann para las energías:

donde:

  • i es el microestado.
  • Ei es el nivel de energía de microestado i.
  • T es la temperatura de equilibrio del sistema.
  • gi es el factor de degeneración, o el número de microestados degenerados que tienen el mismo nivel de energía
  • k es la constante de Boltzmann.
  • Ni es el número de moléculas en el equilibrio de la temperatura T, en un estado i que tiene la energía Ei y degeneración gi.
  • N es el número total de moléculas en el sistema.

Tenga en cuenta que a veces la ecuación anterior se escribe sin el factor gi degeneración. En este caso, el índice i se especifique un estado individual, en lugar de un conjunto de estados gi tener la misma energía Ei. Debido a la velocidad y la velocidad están relacionadas con la energía, la ecuación se puede usar para derivar relaciones entre la temperatura y las velocidades de las moléculas en un gas. El denominador de esta ecuación se conoce como la función de partición canónica.

Distribución para el vector del momento

La siguiente es una derivación muy diferentes a partir de la derivación se describe por James Clerk Maxwell y más adelante se describe con menor número de hipótesis de Ludwig Boltzmann. En su lugar, se encuentra cerca de enfoque después de Boltzmann de 1877.

Para el caso de un "gas ideal" que consiste en átomos que no interactúan en el estado fundamental, toda la energía se encuentra en la forma de energía cinética, y gi es constante para todo i. La relación entre la energía cinética y la dinámica de las partículas masivas es

donde p2 es el cuadrado del vector de movimiento p =. Por tanto, podemos reescribir la ecuación como:

donde Z es la función de partición, correspondiente al denominador en la ecuación. Aquí m es la masa molecular del gas, T es la temperatura termodinámica y k es la constante de Boltzmann. Esta distribución de Ni/N es proporcional a la densidad de probabilidad función fp para encontrar una molécula con estos valores de componentes del momento, por lo que:

La normalización constante c, se puede determinar mediante el reconocimiento de que la probabilidad de una molécula que tiene algo de impulso debe ser 1 - Por lo tanto, la integral de la ecuación sobre toda px, py, pz y deben ser 1.

Se puede demostrar que:

Sustituyendo la ecuación en la ecuación da:

La distribución se ve que es el producto de tres variables distribuidas normalmente independientes, y, con varianza. Además, se puede observar que la magnitud de impulso se distribuye como una distribución de Maxwell-Boltzmann, con. La distribución de Maxwell-Boltzmann para el impulso se puede obtener más fundamentalmente mediante el H-teorema en equilibrio dentro del marco de la teoría cinética.

Distribución de la energía

Con p = la función de distribución de la magnitud del momento 2ME y, obtenemos la distribución de la energía:

Puesto que la energía es proporcional a la suma de los cuadrados de los tres componentes del momento distribuidos normalmente, esta distribución es una distribución gamma; en particular, es una distribución chi-cuadrado con tres grados de libertad.

Por el teorema de equipartición, esta energía se distribuye de manera uniforme entre todos los tres grados de libertad, de modo que la energía por grado de libertad se distribuye como una distribución chi-cuadrado con un grado de libertad:

donde es la energía por cada grado de libertad. En el equilibrio, la distribución será verdad para cualquier número de grados de libertad. Por ejemplo, si las partículas son dipolos masa rígida, se tienen tres grados de libertad de traslación y dos grados de rotación de libertad adicionales. La energía en cada grado de libertad se describe de acuerdo con la distribución chi-cuadrado anterior con un grado de libertad, y la energía total se distribuye de acuerdo a una distribución chi-cuadrado con cinco grados de libertad. Esto tiene implicaciones en la teoría de que el calor específico de un gas.

La distribución de Maxwell-Boltzmann también se puede obtener teniendo en cuenta el gas a ser un tipo de gas cuántica.

Distribución para el vector de velocidad

Reconociendo que la velocidad de densidad de probabilidad fv es proporcional a la función de densidad de probabilidad por impulso

y el uso de p = mv obtenemos

que es la distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann. La probabilidad de encontrar una partícula con velocidad en el elemento infinitesimal de la velocidad v = es

Al igual que el impulso, esta distribución se ve que es el producto de tres variables distribuidas normalmente independientes, y, pero con varianza. También se puede ver que la distribución de velocidad de Maxwell para el vector de velocidad es el producto de las distribuciones para cada una de las tres direcciones:

donde la distribución de una sola dirección es

Cada componente del vector de velocidad tiene una distribución normal con media y desviación estándar, por lo que el vector tiene una distribución normal 3-dimensional, también llamado una distribución "multinormal", con media y desviación estándar.

Distribución de la velocidad

Por lo general, estamos más interesados en las velocidades de las moléculas en lugar de sus velocidades componentes. La distribución de Maxwell-Boltzmann para la velocidad sigue inmediatamente a partir de la distribución del vector de velocidad, por encima de. Tenga en cuenta que la velocidad es

y el incremento de volumen es

donde y son el "curso" y "ángulo de la trayectoria". La integración de la función de densidad de probabilidad normal de la velocidad, por encima de, sobre el ángulo de rumbo y la ruta, con la sustitución de la velocidad para la suma de los cuadrados de las componentes del vector, se obtiene la función de densidad de probabilidad

para la velocidad. Esta ecuación no es más que la distribución de Maxwell con el parámetro de la distribución.

A menudo estamos más interesados en cantidades tales como la velocidad media de las partículas en lugar de la distribución real. La velocidad media, la velocidad más probable, y la raíz cuadrada de la media pueden obtenerse a partir de las propiedades de la distribución de Maxwell.

Distribución de velocidad relativa

La velocidad relativa se define como, ¿dónde está la velocidad más probable. La distribución de velocidades relativas permite la comparación de gases diferentes, independientes de la temperatura y peso molecular.

Las velocidades típicas

Aunque la ecuación anterior da la distribución de la velocidad o, en otras palabras, la fracción de tiempo que la molécula tiene una velocidad en particular, que a menudo son más interesados en cantidades tales como la velocidad media en lugar de toda la distribución.

La velocidad más probable, vp, es la velocidad más probable a ser poseído por cualquier molécula en el sistema y se corresponde con el valor o el modo de f máximo. Para encontrarlo, calculamos df/dv, póngalo en cero y despejamos v:

que los rendimientos:

Donde R es la constante del gas y M = NA m es la masa molar de la sustancia.

Para diatómica de nitrógeno a temperatura ambiente, esto da m/s

La velocidad media es la media aritmética de la distribución de la velocidad

La raíz velocidad media del cuadrado, vrms es la raíz cuadrada de la velocidad al cuadrado promedio:

Las velocidades típicas se relacionan de la siguiente manera:

 

Distribución de velocidades relativistas

A medida que el gas se convierte en los enfoques más calientes y kT o excede MC2, la distribución de probabilidad para en este gas de Maxwell relativista está dada por la distribución de Maxwell-Jttner:

donde y es la función de Bessel modificada de la segunda clase.

Alternativamente, esto puede escribirse en términos del impulso como

dónde. La ecuación de Maxwell-Jttner es covariante, pero no tan manifiestamente, y la temperatura del gas no varía con la velocidad del gas bruto.