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En geometría, una transformación afín o mapa afín o afinidad es una transformación que conserva las líneas rectas y las relaciones de distancias entre puntos que están en una línea recta. No preserva necesariamente ángulos o longitudes, pero tiene la propiedad de que conjuntos de líneas paralelas seguirá siendo paralelo el uno al otro después de una transformación afín.

Ejemplos de transformaciones afines incluyen la traducción, la contracción geométrica, la expansión, homotecia, reflexión, rotación, mapeo de corte, transformación de semejanza y las similitudes en espiral y las composiciones de las mismas.

Una transformación afín es equivalente a una transformación lineal seguida de una traslación.

Definición matemática

Un mapa afín entre dos espacios afines es un mapa de los puntos que actúa linealmente de los vectores. En símbolos, f determina una transformación lineal f de tal manera que, para cualquier par de puntos:

o

.

Podemos interpretar esta definición en algunas otras maneras, como sigue.

Si se elige un origen, y denota su imagen, a continuación, esto significa que para cualquier vector:

Si se elige también un origen, esto puede ser descompuesto como una transformación afín que envía, a saber,

seguido de la traducción por un vector.

La conclusión es que, intuitivamente, se compone de una traducción y una aplicación lineal.

Definición alternativa

Dados dos espacios afines y, en el mismo campo, una función es un mapa afín si y sólo si, para cada familia de puntos ponderados en tales que

tenemos

En otras palabras, preserva baricentros.

Representación

Como se muestra arriba, un mapa afín es la composición de dos funciones: una traducción y un mapa lineal. Álgebra vectorial Ordinaria utiliza la multiplicación de matrices para representar mapas lineales, y la adición de vectores para representar traducciones. Formalmente, en el caso de dimensión finita, si el mapa lineal se representa como una multiplicación por una matriz A y la traducción como la adición de un vector, un mapa afín que actúa sobre un vector se puede representar como

Matriz aumentada

Uso de una matriz aumentada y un vector ampliado, es posible representar tanto la traducción y el mapa lineal utilizando una sola multiplicación de matrices. La técnica requiere que todos los vectores se aumentan con un "1" en el extremo, y todas las matrices son aumentados con una fila adicional de ceros en la parte inferior, un extra de la columna-la traducción de vector a la derecha, y un "1" en la esquina inferior derecha. Si A es una matriz,

es equivalente a la siguiente

La matriz aumentada mencionado se denomina matriz de transformación afín, o matriz de transformación proyectiva.

Esta representación muestra el conjunto de todas las transformaciones afines inversibles como el producto semidirecto de Kn y GL. Este es un grupo bajo la operación de composición de funciones, llamado el grupo afín.

Ordinario multiplicación de la matriz-vector se asignen siempre el origen hasta el origen, y por lo tanto nunca podría representar una traducción, en el que el origen necesariamente debe estar asignado a algún otro punto. Añadiendo la coordenada adicional de "1" a cada vector, se considera esencialmente el espacio a ser mapeada como un subconjunto de un espacio con una dimensión adicional. En ese espacio, el espacio original ocupa el subconjunto en el que la coordenada adicional es 1 - Por lo tanto el origen del espacio original se puede encontrar en. Una traducción dentro del espacio original por medio de una transformación lineal del espacio de dimensiones superiores es entonces posible. Las coordenadas en el espacio de dimensiones superiores son un ejemplo de coordenadas homogéneas. Si el espacio original de Euclides, el espacio dimensional superior es un verdadero espacio proyectivo.

La ventaja de usar las coordenadas homogéneas es que uno puede combinar cualquier número de transformaciones afines en uno multiplicando las respectivas matrices. Esta propiedad se utiliza ampliamente en los gráficos por ordenador, visión artificial y robótica.

Propiedades

Una transformación afín conserva:

  • La relación entre los puntos de colinealidad, es decir, puntos que se encuentran en la misma línea continuará siendo colineal después de la transformación.
  • Porcentajes de vectores a lo largo de una línea, es decir, para colineal puntos distintos de la relación y es el mismo que el de y.
  • Más generalmente baricentros de colecciones ponderados de puntos.
  • Una transformación afín es invertible si y sólo si A es invertible. En la representación de la matriz, el inverso es:

    Las transformaciones afines inversibles forman el grupo afín, que tiene el grupo lineal general de grado n como subgrupo y es en sí mismo un subgrupo del grupo lineal general de grado n 1.

    Las transformaciones de semejanza forman el subgrupo donde A es un escalar veces una matriz ortogonal. Por ejemplo, si la transformación afín actúa en el avión y si el determinante de A es 1 o -1 a continuación, la transformación es una asignación de equi-areal. Estas transformaciones forman un subgrupo llamado el grupo equi-Una transformación afín que sea equi-afín y una similitud es una isometría del plano tomada con la distancia euclídea.

    Cada uno de estos grupos tiene un subgrupo de las transformaciones que conservan la orientación: aquellos en los que el determinante de A es positivo. En este último caso se trata en 3D del grupo de los movimientos de cuerpos rígidos.

    Si hay un punto fijo, podemos tomar esto como el origen y la transformación afín se reduce a una transformación lineal. Esto puede hacer que sea más fácil de clasificar y entender la transformación. Por ejemplo, describir una transformación como una rotación en un cierto ángulo con respecto a un determinado eje puede dar una idea más clara del comportamiento global de la transformación que describe como una combinación de una traslación y una rotación. Sin embargo, esto depende de la aplicación y contexto.

    Transformación afín del plano

    Las transformaciones afines en dos dimensiones reales son:

    • traducciones puros,
    • de escala en una dirección dada, con respecto a una línea en otra dirección, combinado con la traducción que no es puramente en la dirección de la escala; teniendo "ampliación" en un sentido generalizado que incluye los casos en los que el factor de escala es cero y negativo; la Este último incluye la reflexión, y combinado con la traducción que incluye la reflexión de deslizamiento,
    • rotación combinada con una homotecia y una traducción,
    • mapeo de corte combinada con una homotecia y una traducción, o
    • exprimir asignación combinada con una homotecia y traslación.

    Para visualizar la transformación afín general del plano euclidiano, tome paralelogramos ABCD etiquetados y A'B'C'D '. Sea cual sea la elección de los puntos, hay una transformación afín T del plano que tienen la A a A ', y cada vértice de manera similar. Suponiendo que se excluye el caso degenerado donde ABCD tiene un área de cero, hay una única tal transformación afín T. Dibujo a cabo toda una red de paralelogramos basado en ABCD, la imagen T de cualquier punto P se determina por señalar que T = A ', T aplica al segmento de línea AB es A'B ', T aplica al segmento AC es A'C' y T respeta escalares múltiplos de vectores basados en A. Geométricamente T transforma la red basado en ABCD para que con base en A ' B'C'D '.

    Las transformaciones afines no respetan las longitudes o ángulos; se multiplican área por un factor constante

     área de A'B'C'D '/ área de ABCD.

    A T dado puede ser directa o indirecta, y esto puede ser determinado por su efecto en las zonas firmados.

    Ejemplos de transformaciones afines

    Las transformaciones afines en los números reales

    Funciones f: R? R, f = mx c con m y c constante, son transformaciones afines comunes.

    Transformación afín sobre un cuerpo finito

    La siguiente ecuación expresa una transformación afín en GF:

    Por ejemplo, la transformación afín del elemento {a} = Y6 Y7 y3 y = {11001010} en big endian notación binaria = {CA} en notación hexadecimal big endian, se calcula como sigue:

    Por lo tanto, {a '} = y7 y6 y5 y3 y2 1 = {11101101} = {ED}.

    Transformación afín en geometría plana

    En R2, la transformación se muestra a la derecha se logra usando el mapa dado por:

    La transformación de los tres puntos de las esquinas del triángulo original da tres nuevos puntos que forman el nuevo triángulo. Esta transformación se sesga y traduce el triángulo original.

    De hecho, todos los triángulos están relacionados entre sí por transformaciones afines. Esto también es cierto para todos los paralelogramos, pero no para todos los cuadriláteros.