Grupo de simetría, Una dimensión, Dos dimensiones, Tres dimensiones, Grupos de simetría en general



En álgebra abstracta, el grupo de simetría de un objeto es el grupo de todos los isometrías en virtud del cual el objeto es invariante con la composición como la operación. Es un subgrupo del grupo de isometría del espacio de que se trate. Si no se indica lo contrario, este artículo considera grupos de simetría en la geometría euclidiana, pero el concepto también puede ser estudiada en contextos más amplios, véase más adelante.

Los "objetos" pueden ser figuras geométricas, imágenes y patrones, como un patrón de fondo de pantalla. La definición puede hacerse más precisa mediante la especificación de lo que se entiende por imagen o patrón, por ejemplo, una función de la posición con valores de un conjunto de colores. Por la simetría de los objetos físicos, también puede querer tomar en cuenta la composición física. El grupo de isometrías del espacio induce una acción de grupo en los objetos que contiene.

El grupo de simetría a veces también se le llama grupo de simetría completa con el fin de enfatizar que incluye las isometrías orientación de marcha atrás en las que la figura es invariante. El subgrupo de isometrías conserva la orientación que dejan la figura invariante se llama su grupo de simetría adecuada. El grupo de simetría adecuada de un objeto es igual a su grupo de simetría completa si y sólo si el objeto es quiral.

Cualquier grupo de simetría cuyos elementos tienen un punto fijo común, lo que es cierto para todos los grupos de simetría finitos y también para los grupos de simetría de figuras limitadas, se puede representar como un subgrupo del grupo ortogonal O seleccionado el origen de ser un punto fijo. El grupo de simetría adecuada es un subgrupo del grupo especial ortogonal SO entonces, y por lo tanto también llamado grupo de la rotación de la figura.

Grupos de simetría discretos vienen en tres tipos: los grupos de puntos finitos, que incluyen sólo las rotaciones, reflexiones, inversión y rotoinversion - son, de hecho, sólo los subgrupos finitos de O, grupos de celosía infinitas, que incluyen sólo las traducciones, y grupos de espacio infinito que combina elementos de los dos tipos anteriores, y también puede incluir transformaciones adicionales como eje del tornillo y la reflexión de deslizamiento. También hay grupos de simetría continua, que contienen rotaciones arbitrariamente pequeños ángulos o traducciones de arbitrariamente pequeñas distancias. El grupo de todas las simetrías de una esfera S es un ejemplo de esto, y en general tales grupos de simetría continuas se estudió como grupos de Lie. Con una clasificación de los subgrupos del grupo euclidiano corresponde una clasificación de los grupos de simetría.

Dos figuras geométricas son consideradas para ser del mismo tipo de simetría si sus grupos de simetría son subgrupos conjugadas del grupo euclidiana E, donde dos subgrupos H1, H2 de un grupo G son conjugado, si existe g? G tal que H1 = g-1H2g. Por ejemplo:

  • dos figuras 3D tienen simetría de espejo, pero con respecto a los diferentes planos de simetría.
  • dos figuras 3D tienen simetría de rotación de orden 3, pero con respecto a los diferentes ejes.
  • dos patrones 2D tienen simetría de traslación, cada uno en una dirección, los dos vectores de traslación tienen la misma longitud pero una dirección diferente.

Al considerar los grupos isometría, se puede restringir a sí mismo a aquellos en los que para todos los puntos del conjunto de imágenes bajo las isometrías está topológicamente cerrado. Esto excluye, por ejemplo, en el grupo de 1D traducciones de un número racional. A "figura" con este grupo de simetría no es estirable y hasta arbitraria detalle fino homogéneo, sin ser muy homogénea.

Una dimensión

Los grupos de isometría en 1D, donde todos los puntos del conjunto de imágenes bajo las isometrías es topológicamente cerradas son:

  • el grupo alquilo C1 trivial
  • los grupos de dos elementos generados por un reflejo en un punto, sino que son isomorfos con C2
  • los grupos discretos infinitos generados por una traducción, sino que son isomorfos con Z
  • los grupos discretos infinitos generados por una traslación y una reflexión en un punto, sino que son isomorfos con el grupo diedro generalizado de Z, Dih, también denotado por D8.
  • el grupo generado por todas las traducciones; este grupo no puede ser el grupo de simetría de un "patrón": sería homogénea, por lo que también podría reflejarse. Sin embargo, un campo vectorial 1D uniforme tiene este grupo de simetría.
  • el grupo generado por todas las traducciones y las reflexiones de los puntos, que son isomorfos con el grupo diedro generalizado de R, Dih.

Véanse también los grupos de simetría en una dimensión.

Dos dimensiones

Hasta conjugación de los grupos de puntos discretos en el espacio de dimensión 2 son las siguientes clases:

  • cíclico grupos alquilo C1, C2, C3, C4, ... donde Cn se compone de todas las rotaciones alrededor de un punto fijo por múltiplos del ángulo de 360 / n
  • grupos diedros D1, D2, D3, D4, ... donde Dn consta de las rotaciones en Cn, junto con reflexiones en n ejes que pasan por el punto fijo.

C1 es el grupo trivial que contiene sólo la operación de identidad, que se produce cuando la cifra no tiene simetría en absoluto, por ejemplo la letra F. C2 es el grupo de simetría de la letra Z, C3 que de un triskelion, C4 de una esvástica, y C5, C6, etc son los grupos de simetría de figuras semejantes esvástica como con cinco, seis brazos, etc en lugar de cuatro.

D1 es el grupo 2-elemento que contiene la identidad y la operación de una sola reflexión, que se produce cuando la figura tiene sólo un único eje de simetría bilateral, por ejemplo la letra A. D2, que es isomorfa a la Klein de cuatro grupos, es la grupo de simetría de un rectángulo no equilátero, y D3, D4, etc son los grupos de simetría de los polígonos regulares.

Los grupos de simetría reales en cada uno de estos casos tienen dos grados de libertad para el centro de rotación, y en el caso de los grupos diedros, uno más de las posiciones de los espejos.

El resto de los grupos de isometría en 2D con un punto fijo, donde todos los puntos del conjunto de imágenes bajo las isometrías es topológicamente cerradas son:

  • el grupo especial ortogonal SO que consiste en todas las rotaciones alrededor de un punto fijo, sino que también se llama el grupo círculo S1, el grupo multiplicativo de los números complejos de valor absoluto 1 - Es el grupo de simetría adecuada de un círculo y el continuo equivalente de Cn. No existe una cifra que tiene como grupo de simetría completa el grupo de círculo, pero para un campo de vectores que se pueden aplicar.
  • el grupo ortogonal O consistente en todas las rotaciones alrededor de un punto fijo y reflexiones en cualquiera de los ejes a través de ese punto fijo. Este es el grupo de simetría de un círculo. También se llama Dih ya que es el grupo diedro generalizada de S1.

Para las cifras no acotados, los grupos de isometría adicionales se incluyen traducciones, los cerrados son:

  • los grupos 7 friso
  • los 17 grupos del papel pintado
  • para cada uno de los grupos de simetría en 1D, la combinación de todas las simetrías en ese grupo en una dirección, y el grupo de todas las traducciones en la dirección perpendicular
  • ídem también con reflexiones en una línea en la primera dirección

Tres dimensiones

Hasta conjugación del conjunto de grupos de puntos 3D se compone de 7 series infinitas, y 7 unidades separadas. En cristalografía están restringidos a ser compatible con las simetrías de traducción discretas de una red cristalina. Esta restricción cristalográfica de las familias infinitas de grupos de puntos generales los resultados en 32 grupos puntuales cristalográficos.

Los grupos de simetría continua con un punto fijo incluyen los de:

  • simetría cilíndrica sin un plano de simetría perpendicular al eje, esto se aplica por ejemplo a menudo por una botella
  • simetría cilíndrica con un plano de simetría perpendicular al eje
  • simetría esférica

Para los objetos y campos escalares la simetría cilíndrica implica planos verticales de la reflexión. Sin embargo, para los campos de vectores no es así: en coordenadas cilíndricas con respecto a algún eje, tiene simetría cilíndrica con respecto al eje de si, y sólo si, y han esta simetría, es decir, que no depende de f. Además, hay simetría de reflexión si y sólo si.

Por simetría esférica no existe tal distinción, que implica planos de reflexión.

Los grupos de simetría continuos sin un punto fijo incluyen aquellos con un eje de tornillo, tales como una hélice infinita. Ver también los subgrupos del grupo euclidiana.

Grupos de simetría en general

En contextos más amplios, un grupo de simetría puede ser cualquier tipo de grupo de transformación, o el grupo de automorfismo. Una vez que sabemos qué tipo de estructura matemática que nos ocupa, debemos ser capaces de identificar lo que las asignaciones de preservar la estructura. A la inversa, especificando la simetría puede definir la estructura, o al menos aclarar lo que queremos decir con un lenguaje invariante geométrica en la que hablar de ello, lo que es una manera de ver el programa de Erlangen.

Por ejemplo, los grupos de automorfismos de ciertos modelos de geometrías finitas no son "grupos de simetría" en el sentido usual, aunque conservan la simetría. Lo hacen mediante la preservación de las familias de punto establece en lugar de punto establece a sí mismos.

Al igual que anteriormente, el grupo de automorfismos del espacio induce una acción de grupo en los objetos que contiene.

Para una figura geométrica dada en un espacio geométrica dada, considerar la siguiente relación de equivalencia: dos automorfismos de espacio son equivalentes si y sólo si las dos imágenes de la figura son el mismo. A continuación, la clase de equivalencia de la identidad es el grupo de simetría de la figura, y cada clase de equivalencia corresponde a una versión isomorfo de la figura.

Hay una biyección entre cada par de clases de equivalencia: el inverso de un representante de la primera clase de equivalencia, compuesto por un representante de la segunda.

En el caso de un grupo de automorfismos finito de todo el espacio, su orden es el orden del grupo de simetría de la figura multiplicado por el número de versiones isomorfos de la figura.

Ejemplos:

  • Isometrías del plano euclidiano, la figura es un rectángulo: hay infinitas clases de equivalencia, cada uno contiene 4 isometrías.
  • El espacio es un cubo con métrica euclidiana; las cifras incluyen cubos del mismo tamaño que el espacio, con colores o patrones en las caras; los automorfismos del espacio son los 48 isometrías; la figura es un cubo de las cuales una de las caras tiene un color, la figura tiene un grupo de simetría de 8 isometrías, hay 6 clases de equivalencia de 8 isometrías, por 6 versiones isomorfas de la figura.

Comparar el teorema de Lagrange y su prueba.