Octaedro, Regular octaedro, Irregular octaedros, Relacionados poliedros, Octaedros en el mundo físico

En geometría, un octaedro es un poliedro de ocho caras. Un octaedro regular es un sólido platónico compuesto por ocho triángulos equiláteros, cuatro de los cuales se unen en cada vértice.

Un octaedro es el caso tridimensional del concepto más general de un politopo cruz.

Regular octaedro

Dimensiones

Si la longitud del borde de un octaedro regular es un, el radio de una esfera es circunscrita

y el radio de una esfera es inscrito

mientras que el midradius, que toca el centro de cada borde, es

Proyecciones ortogonales

El octaedro tiene cuatro proyecciones ortogonales especiales, centradas, sobre una arista, vértice, cara y normal a una cara. El segundo y tercero corresponden a los aviones de Coxeter B2 y A2.

Coordenadas cartesianas

Un octaedro de arista sqrt se puede colocar con su centro en el origen y los vértices de los ejes de coordenadas, las coordenadas cartesianas de los vértices son entonces

 ;;.

En un sistema de coordenadas cartesianas xyz, el octaedro con coordenadas del centro y radio r es el conjunto de todos los puntos tales que los

Área y volumen

El área de la superficie A y el volumen V de un octaedro regular de la longitud del borde de una son:

Así, el volumen es cuatro veces la de un tetraedro regular con la misma longitud de borde, mientras que el área de la superficie es dos veces.

Si un octaedro se ha estirado de modo que obedece a la ecuación:

La fórmula para el área superficial y el volumen ampliar para convertirse en:

Además, el tensor de inercia del octaedro estirada es:

Estas reducir las ecuaciones para el octaedro regular cuando:

Relaciones geométricas

El interior de la doble compuesto de dos tetraedros es un octaedro, y este compuesto, llamado el stella octangula, es su primera y única constelación. De la misma manera, un octaedro regular es el resultado de cortar de un tetraedro regular, cuatro tetraedros regulares de la mitad del tamaño lineal. Los vértices del octaedro se encuentran en los puntos medios de los bordes de la tetraedro, y en este sentido se relaciona con el tetraedro de la misma manera que el cuboctaedro y icosidodecaedro se refieren a los otros sólidos platónicos. También se puede dividir a los bordes de un octaedro en la relación entre el oro significa para definir los vértices de un icosaedro. Esto se hace por primera vectores de colocación a lo largo de los bordes del octaedro de manera que cada cara está delimitada por un ciclo, a continuación, de manera similar de partición de cada borde en la media de oro a lo largo de la dirección de su vector. Hay cinco octaedros que definen cualquier icosaedro dado de esta manera, y juntos definen un compuesto regular.

Octaedros y tetraedros se pueden alternar para formar un vértice, borde, y teselación cara uniforme del espacio, llama la armadura octeto por Buckminster Fuller. Este es el único mosaico guardar la teselación regular de cubos, y es uno de los 28 convexas panales uniformes. Otro es un mosaico de octaedros y cuboctahedra.

El octaedro es único entre los sólidos platónicos en tener un número par de reunión caras en cada vértice. Por consiguiente, es el único miembro del grupo que poseer planos de simetría que no pasan a través de cualquiera de las caras.

Utilizando la nomenclatura estándar para los sólidos de Johnson, un octaedro se llamaría una bipirámide cuadrada. El truncamiento de dos vértices opuestos resultados en una bifrustum cuadrado.

El octaedro es 4-conectadas, lo que significa que se necesita la eliminación de los cuatro vértices de desconectar los vértices restantes. Es uno de sólo cuatro simplicial 4-conectado bien cubierto poliedros, lo que significa que todos los conjuntos independientes máximas de sus vértices tienen el mismo tamaño. Los otros tres poliedros con esta propiedad son la bipirámide pentagonal, el desaire disphenoid y un poliedro irregular con 12 vértices y 20 caras triangulares.

Colorantes uniformes y simetría

Hay 3 coloraciones uniformes del octaedro, nombrados por la cara triangular colores que van alrededor de cada vértice: 1212, 1112, 1111.

Grupo de simetría del octaedro es Oh, del orden de 48 años, los tres grupos hyperoctahedral dimensional. Subgrupos de este grupo incluyen D3D, el grupo de simetría de un antiprisma triangular; D4h, el grupo de simetría de una bipirámide cuadrada, y Td, el grupo de simetría del tetraedro rectificado. Estas simetrías se pueden destacar por diferentes coloraciones de las caras.

Dual

El octaedro es el poliedro dual del cubo.

Nets

Tiene once acuerdos de redes.

Irregular octaedros

El siguiente poliedros son equivalentes a la forma combinatoria poliedro regular. Todos tienen seis vértices, ocho caras triangulares y doce aristas que corresponden uno a uno con las características de un octaedro regular.

  • Antiprismas triangulares: Dos caras son equiláteros, se encuentran en planos paralelos, y tienen un eje común de simetría. Los otros seis triángulos son isósceles.
  • Bipirámides tetragonales, en el que al menos uno de los cuadriláteros ecuatoriales se encuentra en un plano. El octaedro regular es un caso especial en el que los tres cuadriláteros son cuadrados planos.
  • Schnhardt poliedro, un poliedro convexo que no puede ser dividida en tetraedros sin introducir nuevos vértices.

Más en general, un octaedro puede ser cualquier poliedro de ocho caras. El octaedro regular tiene 6 vértices y 12 aristas, el mínimo para un octaedro; octaedros no regular puede tener un máximo de 12 vértices y 18 aristas. Otros no regular octaedros incluir lo siguiente:

  • Prisma hexagonal: Dos caras son paralelas hexágonos regulares, seis plazas vinculan correspondientes pares de bordes hexagonales.
  • Pirámide heptagonal: Una cara es un heptágono, y los siete restantes caras son triángulos. No es posible para todas las caras triangulares a ser equilátero.
  • Tetraedro truncado: Las cuatro caras del tetraedro se truncan para convertirse en hexágonos regulares, y hay cuatro triángulo equilátero se enfrenta a donde más se trunca cada tetraedro vértice.
  • Tetragonal trapezoedro: Las ocho caras son congruentes cometas.

Relacionados poliedros

El octaedro es uno de una familia de poliedros uniformes en relación con el cubo.

El octaedro está relacionada topológicamente como una parte de la secuencia de poliedros regulares con Schlfli símbolos {3, n}, continuando en el plano hiperbólico.

Tetratetrahedron

El octaedro regular también puede ser considerado un tetraedro rectificado - y puede ser llamado un tetratetrahedron. Esto se puede demostrar por una cara del modelo de 2 colores. Con esta coloración, el octaedro tiene simetría tetraédrica.

Comparar esta secuencia truncamiento entre un tetraedro y su doble:

Las formas anteriores también pueden realizarse en forma de filetes ortogonales a la diagonal de un tesseract. Si esta diagonal está orientado verticalmente con una altura de 1, a continuación, los primeros cinco rebanadas más arriba se producen en alturas r, 3/8, 1/2, 5/8, y s, en donde r es cualquier número en el intervalo.

El tetratetrahedron se puede ver en una secuencia de poliedros quasiregular y embaldosados:

Antiprisma Trigonal

Como antiprisma trigonal, el octaedro está relacionado con la familia diedro simetría hexagonal.

Bipirámide Square

Tetrahemihexahedron

Las acciones octaedro regular sus bordes y disposición vértice con un poliedro convexo uniforme: el tetrahemihexahedron, con el que comparte cuatro de las caras triangulares.

Truss tetraédrica

Un marco de tetraedros y octaedros repetición fue inventado por Buckminster Fuller en los años 1950, conocida como una estructura espacial, comúnmente considerado como la estructura más fuerte para resistir tensiones en voladizo.

Octaedros en el mundo físico

Octaedros en la naturaleza

  • Cristales naturales de diamante, alumbre o fluorita son comúnmente octaédrica, como el llenado de espacio panal tetraédrica-octaédrica.
  • Las placas de aleación de kamacite en meteoritos Octahedrite están dispuestas en paralelo las ocho caras de un octaedro.
  • Muchos iones metálicos coordinan seis ligandos en una configuración octaédrica octaédrica o distorsionada.
  • Patrones Widmansttten en cristales de níquel-hierro

Octaedros en el arte y la cultura