Norma, Definición, Notación, Ejemplos, Propiedades, Clasificación de seminormas: conjuntos absorbentes Absolutamente convexas





En álgebra lineal, análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una norma es una función que asigna una longitud estrictamente positivo o el tamaño para cada vector en un espacio vectorial, que no sea el vector cero. Un seminorma, por otra parte, se permite asignar longitud cero para algunos vectores distintos de cero.

Un ejemplo simple es el espacio euclidiano 2-dimensional equipado con la norma euclidiana R2. Los elementos de este espacio vectorial son por lo general dibujan como flechas en un sistema de coordenadas cartesiano 2-dimensional de partida en el origen. La norma euclidiana asigna a cada vector de la longitud de la flecha. Debido a esto, la norma euclidiana se conoce a menudo como la magnitud.

Un espacio vectorial con una norma se llama espacio vectorial normado. Del mismo modo, un espacio vectorial con una seminorma se llama un espacio vectorial seminormed.

Definición

Dado un espacio vectorial V sobre un subcampo C de los números complejos, una norma en V es una función f: V? R con las siguientes propiedades:

Para todo a? F y todo u, v? V,

  • p = | a | p,.
  • p = p + p.
  • Si p = 0, entonces v es el vector cero.
  • Por el primer axioma, la homogeneidad positiva, tenemos que p = 0 y p = p, de modo que por la desigualdad triangular

     p = 0.

    A seminorma es una norma con la tercera propiedad eliminado.

    Cada espacio vectorial V con seminorma p induce un espacio normado V/W, llamado el espacio cociente, donde W es el subespacio de V que consta de todos los vectores v en V con p = 0. La norma inducida en V/W está claramente bien definido y viene dado por:

     p = p.

    Dos normas p y q en un espacio vectorial V son equivalentes si existen dos constantes reales c y C, con c> 0 tal que

     para cada vector v en V, se tiene que: cq = C p = q.

    Un espacio vectorial topológico se llama normable si la topología del espacio puede ser inducida por una norma.

    Notación

    Si una norma t: V? R se da en un espacio vectorial V entonces la norma de un vector v? V se denota generalmente introduciéndola dentro de las líneas verticales dobles:? V? : = P. Esta notación se utiliza también a veces si p es sólo una seminorma.

    Para la longitud de un vector en el espacio euclidiano, la notación | v | con líneas verticales individuales es también generalizada.

    En Unicode, el punto de código del carácter "doble línea vertical"? es U +2016 - La doble línea vertical no debe confundirse con el "paralelo" símbolo, Unicode U +2225. Esto por lo general no es un problema debido a que el primero se utiliza en la moda paréntesis-como, mientras que el último se utiliza como un operador infijo. La línea vertical single | se llama "línea vertical" en Unicode y su punto de código es U +007 C.

    Ejemplos

    • Todas las normas son seminormas.
    • El seminorma trivial, con p = 0 para todo x en V.
    • El valor absoluto es una norma en los números reales.
    • Toda forma f lineal en un espacio vectorial define un seminorma por x? | F |.

    Norma euclidiana

    En un n-dimensional espacio euclídeo Rn, la noción intuitiva de la longitud del vector x = es capturado por la fórmula

    Esto le da a la distancia normal desde el origen hasta el punto x, una consecuencia del teorema de Pitágoras. La norma euclidiana es, con mucho, la norma más utilizada en Rn, pero hay otras normas en este espacio de vectores como se muestra a continuación. Sin embargo todas estas normas son equivalentes en el sentido de que todas las definen la misma topología.

    En una Cn n-dimensional espacio complejo de la norma más común es

    En ambos casos también podemos expresar la norma como la raíz cuadrada del producto escalar del vector y de sí mismo:

    donde x se representa como un vector columna, y x * denota la transpuesta conjugada.

    Esta fórmula es válida para cualquier espacio con producto interno, incluidos los espacios euclídeos y complejo. Para los espacios euclidianos, el producto interno es equivalente al producto de punto. Por lo tanto, en este caso concreto, la fórmula puede ser también escrito con la siguiente notación:

    La norma euclidiana también se llama la longitud euclidiana, la distancia L2, L2 distancia, norma L2, L2 o norma; ver el espacio Lp.

    El conjunto de vectores en Rn 1 cuya norma euclidiana es un una n-esfera dada formas constantes positivas.

     Norma euclidiana de un número complejo

    La norma euclidiana de un número complejo es el valor absoluto de la misma, si el plano complejo se identifica con el plano euclidiano R2. Esta identificación del número complejo x + iy como un vector en el plano euclidiano, hace que la cantidad de la norma euclidiana asociado con el número complejo.

    Norma de taxi o Manhattan norma

    El nombre se refiere a la distancia de un taxi tiene que conducir en una rejilla rectangular calle para llegar desde el origen hasta el punto x.

    El conjunto de vectores cuya 1-es una norma dada formas constantes de la superficie de un politopo transversal de dimensión equivalente a la de la norma menos 1 - La norma de taxi también se llama la norma L1. La distancia derivada de esta norma se denomina la distancia Manhattan o la distancia L1.

    El 1-norma es simplemente la suma de los valores absolutos de las columnas.

    Por el contrario,

    no es una norma, ya que puede dar resultados negativos.

    Lp-norma

    Sea p = 1 sea un número real.

    Tenga en cuenta que para p = 1 se obtiene la norma de taxi, para p = 2 se obtiene la norma euclidiana, y p se aproxima a la p-norma se acerca la norma infinito o máxima norma.

    Esta definición sigue siendo de algún interés para 0

     define una distancia que hace que la Lp en un espacio vectorial topológico métrico completo. Estos espacios son de gran interés en el análisis funcional, teoría de la probabilidad, y análisis de armónicos. Sin embargo, fuera de los casos triviales, este espacio vectorial topológico no es localmente convexo y no tiene formas lineales continuos no nulos. Así, el espacio dual topológico contiene sólo el funcional cero.

    El derivado del p-norma está dada por

    Norma máxima

    El conjunto de vectores cuya norma infinito es una constante dada, c, forma la superficie de un hipercubo con el borde de longitud 2c.

    Zero norma

    En probabilidad y el análisis funcional, la norma cero induce una topología métrico completo para el espacio de las funciones medibles y para el F-espacio de secuencias con F-norma, que se discute por Stefan Rolewicz en espacios lineales métricas.

    En la geometría métrica, la métrica discreta toma el valor uno para distintos puntos y cero de otro modo. Cuando se aplica de coordenadas a gota a los elementos de un espacio vectorial, la distancia discreta define la distancia de Hamming, que es importante en la codificación y la teoría de la información. En el campo de los números reales o complejos, la distancia de la métrica discreta de cero no es homogénea en el punto distinto de cero y, de hecho, la distancia de cero sigue siendo uno como sus enfoques argumento no-cero cero. Sin embargo, la distancia discreta de un número de cero no satisface las otras propiedades de una norma, a saber, la desigualdad del triángulo y definitud positivo. Cuando se aplica componente a gota a vectores, la distancia discreta de cero se comporta como una "norma" no homogénea, que cuenta el número de componentes no cero en su argumento de vector, de nuevo, esto no homogénea "norma" es discontinua.

    En el procesamiento de la señal y estadísticas, David Donoho se refirió a la "norma" cero entre comillas. Siguiendo la notación de Donoho, la "norma" cero de x es simplemente el número de coordenadas distintas de cero de X, o la distancia de Hamming del vector de cero. Cuando esta "norma" se localiza en un conjunto limitado, que es el límite de p-normas como p se aproxima a 0. Por supuesto, la "norma" cero no es un B-norma, ya que no es homogénea positiva. Ni siquiera es un F-norma, ya que es discontinua, solidariamente, con respecto al argumento de escalar en la multiplicación escalar de vectores y con respecto a su argumento de vector. Abusar de la terminología, algunos ingenieros omiten las comillas de Donoho e inapropiadamente llaman el número de nonzeros funcionar la norma L0, también mal uso de la notación para el espacio de las funciones medibles Lebesgue.

    Otras normas

    Otras normas sobre Rn pueden ser construidos mediante la combinación de lo anterior, por ejemplo

    es una norma en R4.

    Para cualquier norma y cualquier transformación lineal inyectiva A podemos definir una nueva norma de x, igual a

    En 2D, con un una rotación de 45 y una escala adecuada, esto cambia la norma de taxi en la norma máxima. En 2D, cada A se aplica a la norma de taxi, hasta la inversión y de intercambio de ejes, da una bola unidad diferente: un paralelogramo de una forma particular, el tamaño y la orientación. En 3D es similar pero diferente para el 1-norma y la norma máxima.

    Todas las fórmulas anteriores también producen normas en Cn sin modificaciones.

    Caso de dimensión infinita

    La generalización de las normas anteriores a un número infinito de los componentes conduce a los espacios Lp, con las normas

    , Que puede ser más generalizada.

    Cualquier producto interno induce de forma natural la norma

    Otros ejemplos de espacios vectoriales normados de dimensión infinita se pueden encontrar en el artículo de espacio de Banach.

    Propiedades

    El concepto de unidad de círculo es diferente en diferentes normas: para la 1-norma del círculo unidad en el que R2 es un cuadrado, para el 2-norma es el círculo unidad bien conocido, mientras que para la norma infinito es un cuadrado diferente. Para cualquier p-norma es una superelipse. Vea la ilustración. Tenga en cuenta que debido a la definición de la norma, el círculo unitario es siempre convexa y simétrica en el centro.

    En términos del espacio vectorial, la seminorma define una topología en el espacio, y esta es una topología de Hausdorff precisamente cuando el seminorma puede distinguir entre los vectores distintos, que a su vez es equivalente a la seminorma ser una norma. La topología así definido puede ser entendido ya sea en términos de secuencias o conjuntos abiertos. Una secuencia de vectores se dice que convergen en la norma a si como. Equivalentemente, la topología se compone de todos los conjuntos que se pueden representar como una unión de bolas abiertas.

    Dos normas | | | | ay | | | | en un espacio vectorial V se llaman equivalentes si existen números reales positivos C y D tal que

    para todo x en V. Por ejemplo, en adelante, si p> r> 0, entonces

    En particular,

    Si el espacio vectorial es un real/complejo de dimensión finita, todas las normas son equivalentes. Por otro lado, en el caso de los espacios vectoriales de dimensión infinita, no todas las normas son equivalentes.

    Normas equivalentes definen las mismas nociones de continuidad y de convergencia y para muchos propósitos no necesitan ser distinguidos. Para ser más precisos la estructura uniforme que se define por las normas equivalentes en el espacio vectorial es uniformemente isomorfo.

    Cada-norma es una función sublineares, lo que implica que cada norma es una función convexa. Como resultado de ello, la búsqueda de un óptimo global de una función objetivo basada en la norma a menudo es tratable.

    Dada una familia finita de seminormas pi en un espacio vectorial la suma

    es de nuevo una seminorma.

    Para cualquier norma p en un espacio vectorial V, tenemos que para todo u y v? V:

     p = | p - p |

    Para las normas lp, tenemos la desigualdad de Hlder

    Un caso especial de esto es la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

    Clasificación de seminormas: conjuntos absorbentes Absolutamente convexas

    Todos los seminormas sobre un espacio vectorial V se pueden clasificar en términos de conjuntos absorbentes absolutamente convexas en V. Para cada uno de estos conjuntos, A, corresponde un seminorma pA llamado el calibre de A, que se define como

     pA: = inf {a: a> 0, x? un Un}

    con la propiedad de que

     {X: pA <1}? Un? {X: pA = 1}.

    Por el contrario:

    Cualquier espacio localmente convexo vectorial topológico tiene una base local que consta de conjuntos absolutamente convexos. Un método común para la construcción de una base tal es el uso de una familia de separación de seminormas t: la colección de todas las intersecciones finitas de conjuntos {p <1/n} se convierte el espacio en un espacio localmente convexa vectorial topológico de modo que cada p es continua.

    Tal método se utiliza para diseñar débil y débil * topologías.

    caso de la norma:

     Supongamos ahora que contiene una sola p: ya se está separando, p es una norma, y A = {p <1} es su bola unidad abierta. Entonces A es un barrio totalmente convexa acotada de 0 y p = pA es continua. Lo contrario se debe a Kolmogorov: cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo y acotado a nivel local es normable. Precisamente: Si V es un barrio absolutamente convexa delimitada de 0, el indicador de GV (de modo que V = {GV

    Inicio | Sitemap