Sistema de coordenadas cartesianas, Historia, Definiciones, Notaciones y convenciones, El espacio cartesiano, Fórmulas cartesiana del plano, Orientación e imparcialidad, En representación de un vector en la base estándar, Aplicaciones

Un sistema de coordenadas cartesianas es un sistema de coordenadas que especifica cada punto único en un plano por un par de coordenadas numéricas, que son las distancias firmados desde el punto a dos líneas perpendiculares dirigidas fijos, medidos en la misma unidad de longitud. Cada línea de referencia se llama un eje de coordenadas o simplemente eje del sistema, y el punto donde se reúnen es su origen, por lo general en el par ordenado. Las coordenadas también puede ser definida como las posiciones de las proyecciones perpendiculares del punto en los dos ejes, expresados como distancias de firmados desde el origen.

Se puede utilizar el mismo principio para especificar la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional mediante tres coordenadas cartesianas, las distancias firmado a tres planos mutuamente perpendiculares. En general, las n coordenadas cartesianas especifican el punto en un espacio euclidiano n-dimensional de cualquier dimensión n. Estas coordenadas son iguales, a firmar, a distancias desde el punto a n hiperplanos mutuamente perpendiculares.

La invención de coordenadas cartesianas en el siglo 17 por Ren Descartes revolucionó las matemáticas, proporcionando la primera relación sistemática entre la geometría euclidiana y el álgebra. Usando el sistema de coordenadas cartesianas, formas geométricas pueden ser descritas por las ecuaciones cartesianas: ecuaciones algebraicas que involucren las coordenadas de los puntos que se encuentran en la forma. Por ejemplo, un círculo de radio 2 se puede describir como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación x2 y2 = 4.

Coordenadas cartesianas son la base de la geometría analítica, y ofrecen interpretaciones geométricas esclarecedor para muchas otras ramas de las matemáticas, como el álgebra lineal, análisis complejo, geometría diferencial, cálculo multivariable, la teoría de grupos y mucho más. Un ejemplo familiar es el concepto de la gráfica de una función. Coordenadas cartesianas también son herramientas esenciales para la mayoría de las disciplinas aplicadas que tienen que ver con la geometría, como la astronomía, la física, la ingeniería, y muchos más. Son el sistema de coordenadas más común usado en los gráficos por ordenador, el diseño geométrico asistido por ordenador, y otra de procesamiento de datos relacionados con la geometría.

Historia

El adjetivo cartesiana se refiere al matemático y filósofo francés René Descartes.

La idea de este sistema fue desarrollado en 1637 en los escritos de Descartes y de forma independiente por Pierre de Fermat aunque Fermat también trabajó en tres dimensiones, y no publicó el descubrimiento. Ambos autores se utiliza un solo eje en sus tratamientos y tienen una longitud variable medida en referencia a este eje. El concepto de usar un par de ejes se introdujo en el trabajo más tarde por los comentaristas que estaban tratando de aclarar las ideas contenidas en Descartes 'La Gomtrie.

El desarrollo del sistema de coordenadas cartesianas jugaría un papel intrínseco en el desarrollo del cálculo por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz.

Nicole Oresme, un clérigo francés y amigo del delfín del siglo 14, que se utiliza construcciones similares a las coordenadas cartesianas mucho antes de la época de Descartes y Fermat.

Muchos otros sistemas de coordenadas se han desarrollado a partir de Descartes, como las coordenadas polares para el plano y las coordenadas esféricas y cilíndricas en el espacio tridimensional.

Definiciones

Recta numérica

La elección de un sistema de coordenadas cartesianas de una dimensión es el espacio que, para una línea recta-significa elegir un punto O de la línea, una unidad de longitud, y una orientación para la línea. Una orientación escoge cuál de los dos medio-líneas determinadas por O es el positivo, y que es negativo; entonces decimos que la línea "está orientado" de la media negativa hacia la mitad positiva. Entonces cada punto p de la línea se puede especificar la distancia entre O, tomada con un signo o - en función de los cuales la mitad-line contiene p.

Una línea con un sistema cartesiano elegido se llama una recta numérica. Cada número real, ya sea entero, racional o irracional, tiene una ubicación única en la línea. Por el contrario, todos los puntos en la línea puede ser interpretada como un número en un continuo ordenado que incluye los números reales.

Coordenadas cartesianas en dos dimensiones

El sistema de coordenadas cartesianas moderna en dos dimensiones se define por un par ordenado de líneas perpendiculares, una sola unidad de longitud para ambos ejes, y una orientación para cada eje. Las líneas se denominan comúnmente como la x y eje-y donde se toma el eje x a ser horizontal y el eje y es llevado a estar en posición vertical. El punto en el que se encuentran los ejes se toma como el origen de ambas, convirtiendo así a cada eje en una línea de número. Para un punto dado P, se traza una línea que pasa por P perpendicular al eje x para hacerle frente en la línea X y el segundo se traza por P perpendicular al eje y para satisfacerla en Y. Las coordenadas de P son entonces X y Y interpretarse como números x e y en las líneas numéricas correspondientes. Las coordenadas se escriben como un par ordenado.

El punto donde se encuentran los ejes es el origen común de las dos líneas de números y se llama simplemente el origen. A menudo se denomina S y si es así, los ejes se llaman Ox y Oy. Un avión con X e Y-ejes definidos se conoce como el plano cartesiano o plano xy a menudo. El valor de x se llama la coordenada x o eje de abscisas y el valor de y se llama la coordenada y o coordinar.

Las opciones de letras provienen de la convención original, que es el uso de la última parte del alfabeto para indicar valores desconocidos. La primera parte del alfabeto se utiliza para designar a los valores conocidos.

En el plano cartesiano, a veces se hace referencia a un círculo de la unidad o una unidad de hipérbola.

Coordenadas cartesianas en tres dimensiones

La elección de un sistema de coordenadas cartesianas para un espacio tridimensional significa elegir un triplete ordenada de líneas, cualesquiera dos de ellos que es perpendicular; una sola unidad de longitud para todos los tres ejes, y una orientación para cada eje. Al igual que en el caso de dos dimensiones, cada eje se convierte en una línea de números. Las coordenadas de un punto p se obtienen trazando una línea a través de p perpendicular a cada eje de coordenadas, y leyendo los puntos donde estas líneas se encuentran los ejes como tres números de estas líneas de número.

Alternativamente, las coordenadas de un punto P también puede ser tomado como las distancias de P a los tres planos definidos por los tres ejes. Si los ejes se denominan x, y, y z, entonces la coordenada x es la distancia desde el plano definido por los ejes y y z. La distancia debe ser tomada con el signo o -, dependiendo de cuál de las dos semi-espacios separados por ese plano contiene p. El coordenadas y y z pueden ser obtenidos de la misma manera desde el y aviones, respectivamente.

Las generalizaciones

Uno puede generalizar el concepto de coordenadas cartesianas para permitir ejes que no son perpendiculares el uno al otro, y/o diferentes unidades a lo largo de cada eje. En ese caso, cada coordenada se obtiene mediante la proyección del punto sobre un eje a lo largo de una dirección que es paralela al otro eje. En esos sistemas de coordenadas oblicuas los cálculos de distancias y ángulos es más complicado que en los sistemas cartesianos estándar, y muchas fórmulas estándar no tienen.

Notaciones y convenciones

Las coordenadas cartesianas de un punto son generalmente escritos entre paréntesis y separados por comas, como en o. El origen es a menudo etiquetado con la letra mayúscula O. En la geometría analítica, coordenadas desconocidas o genéricos a menudo se denotan por las letras x e y en el plano, y x, y, y z en el espacio tridimensional. w es de uso frecuente para el espacio de cuatro dimensiones, pero la rareza de tal uso se opone a la convención concreta aquí. Esta costumbre proviene de una antigua convención de álgebra, utilizar letras cerca del final del alfabeto para los valores desconocidos y cartas cerca del comienzo de las cantidades dadas.

Estos nombres convencionales se utilizan a menudo en otros campos, como la física y la ingeniería. Sin embargo, otras letras se pueden usar también. Por ejemplo, en un gráfico que muestra cómo una presión varía con el tiempo, las coordenadas gráfico puede ser denotado T y P. Cada eje está por lo general el nombre de la coordenada que se mide a lo largo de ella, de modo que se dice el eje x, el eje y , el eje t, etc

Otra convención común para coordinar nombres es usar subíndices, como en x1, x2, ... xn para el n coordenadas en un espacio n-dimensional, especialmente cuando n es mayor que 3, o variable. Algunos autores prefieren la numeración x0, x1, ... xn-1. Estas notaciones son especialmente ventajosas en programación: mediante el almacenamiento de las coordenadas de un punto en forma de matriz, en lugar de un registro, se pueden utilizar los comandos o parámetros procedimiento iterativo en lugar de repetir los mismos comandos para cada coordenada.

En ilustraciones matemáticos de sistemas cartesianos de dos dimensiones, la primera coordenada se mide a lo largo de un eje horizontal, orientada de izquierda a derecha. La segunda coordenada se mide a continuación a lo largo de un eje vertical, por lo general orientado de abajo a arriba.

Sin embargo, en gráficos por ordenador y procesamiento de imagen con frecuencia se utiliza un sistema de coordenadas con el eje y apuntando hacia abajo. Esta convención desarrollado en la década de 1960 a partir de la forma en que las imágenes se almacenan inicialmente en tampones de visualización.

Para los sistemas tridimensionales, es una convención para representar el plano xy en horizontal, con el eje z agregado para representar la altura. Por otra parte, hay una convención de orientar "x" que mira hacia el espectador, sesgada hacia la derecha o la izquierda. Si un diagrama muestra el eje xy el eje horizontal y vertical, respectivamente, el eje z se debe mostrar que apunta "de la página" hacia el espectador o la cámara. En un diagrama de tales 2D de un sistema de coordenadas 3D, el eje z aparecería como una línea o rayo apuntando hacia abajo y hacia la izquierda o hacia abajo y hacia la derecha, dependiendo de la presunta espectador o perspectiva de la cámara. En cualquier diagrama o la pantalla, la orientación de los tres ejes, en su conjunto, es arbitraria. Sin embargo, la orientación de los ejes respecto al otro siempre debe cumplir con la regla de la mano derecha, a menos que se especifique lo contrario. Todas las leyes de la física y las matemáticas asumen este diestro, que garantiza la coherencia. Para los diagramas 3D, los nombres "abscisa" y "ordenada" rara vez se utilizan para x e y, respectivamente. Cuando lo son, la coordenada z se denomina a veces aplicada.

El eje de abscisas palabras, coordinar y applicate a veces se utiliza para referirse a los ejes de coordenadas en lugar de los valores.

Cuadrantes y octantes

Los ejes de un sistema cartesiano bidimensional dividen el plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes infinitas, cada una delimitada por dos semi-ejes. A menudo se numeran del 1 al 4 y denotados por números romanos: I, II, III, y IV. Cuando los ejes se dibujan según la costumbre matemática, la numeración va en contra de las agujas del reloj a partir del cuadrante superior derecho.

Del mismo modo, un sistema cartesiano tridimensional define una división del espacio en ocho regiones o octantes, de acuerdo con los signos de las coordenadas de los puntos. La convención que se usa para nombrar a un octante específica es hacer una lista de sus síntomas, por ejemplo, o. La generalización de n dimensiones del cuadrante y octante es la ortante, y se aplica el mismo sistema de nombres.

El espacio cartesiano

Un plano euclidiano con un sistema cartesiano elegido se llama un plano cartesiano. Desde coordenadas cartesianas son únicos y no ambigua, los puntos de un plano cartesiano pueden ser identificados con todos los posibles pares de números reales, es decir con el producto cartesiano, donde es el conjunto de todos los reales. De la misma manera se define un espacio cartesiano de cualquier dimensión n, cuyos puntos pueden ser identificados con las tuplas de n números reales, es decir, con.

Fórmulas cartesiana del plano

Distancia entre dos puntos

La distancia euclidiana entre dos puntos del plano con coordenadas cartesianas y es

Esta es la versión cartesiana del teorema de Pitágoras. En el espacio de tres dimensiones, la distancia entre los puntos y es

que puede obtenerse por dos aplicaciones consecutivas del teorema de Pitágoras.

Transformaciones euclidianas

Las transformaciones euclidianas o mociones euclidianas son las asignaciones de puntos del plano euclidiano a sí mismos que conservan las distancias entre los puntos. Hay cuatro tipos de estas asignaciones: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones de deslizamiento.

 Traducción

Traducción de un conjunto de puntos del plano, conservando las distancias y direcciones entre ellos, es equivalente a la adición de un par de números fijos de las coordenadas cartesianas de cada punto en el set. Es decir, si las coordenadas originales de un punto son, después de la traducción que serán

 Rotación

Para girar una figura de la izquierda en torno al origen de un ángulo es equivalente a la sustitución de todos los puntos con coordenadas del punto de coordenadas, donde

Por lo tanto:

 Reflexión

Si son las coordenadas cartesianas de un punto, son las coordenadas de su reflexión a través del segundo eje de coordenadas, como si esa línea fuera un espejo. Del mismo modo, son las coordenadas de su reflexión a través del primer eje de coordenadas. En más generalidad, la reflexión a través de una línea a través del origen que forma un ángulo con el eje x, es equivalente a la sustitución de todos los puntos con coordenadas por el punto de coordenadas, donde

Por lo tanto:

 Glide reflexión

Una reflexión de desplazamiento es la composición de una reflexión a través de una línea seguida de una traducción en la dirección de esa línea. Se puede observar que el orden de estas operaciones no importa.

 Forma de la matriz general de las transformaciones

Estas transformaciones euclidianas de todo el plano se pueden describir de una manera uniforme mediante el uso de matrices. El resultado de la aplicación de una transformación euclidiana a un punto viene dada por la fórmula

donde A es una matriz ortogonal 22 y b = es un par ordenado arbitrario de los números, es decir,

donde

Para ser ortogonales, la matriz A debe tener filas ortogonales con la misma longitud euclidiana de uno, es decir,

y

Esto es equivalente a decir que A veces su transposición debe ser la matriz de identidad. Si estas condiciones no se cumplen, la fórmula describe una transformación afín más general del avión a condición de que el determinante de A no es igual a cero.

La fórmula define una traducción si y sólo si A es la matriz de identidad. La transformación es una rotación alrededor de un cierto punto si y sólo si A es una matriz de rotación, lo que significa que

Se obtiene un reflejo o reflexión con deslizamiento cuando,

Suponiendo que la traducción se transformaciones no utilizados se puede combinar multiplicando simplemente las matrices de transformación asociados.

 Transformación afín

Otra forma de representar transformaciones de coordenadas en coordenadas cartesianas es a través de transformaciones afines. En transformaciones afines se añade una dimensión extra y todos los puntos se les da un valor de 1 para esta dimensión. La ventaja de hacer esto es que las traducciones de punto se pueden especificar en la última columna de la matriz A. De esta manera, todas las transformaciones euclidianas se convierten en transables como multiplicaciones de matriz de puntos. La transformación afín se da por:

Uso de transformaciones afines múltiples diferentes transformaciones euclidianas incluyendo traducción puede ser combinado simplemente multiplicando las matrices correspondientes.

 Escalada

Un ejemplo de una transformación afín que no es un movimiento euclidiana está dada por la escala. Para hacer una figura más grande o más pequeño es equivalente a multiplicar las coordenadas cartesianas de cada punto por el mismo número m positivo. Si son las coordenadas de un punto en la figura original, el punto correspondiente en la figura escala tiene coordenadas

Si m es mayor que 1, la figura se hace más grande, y si m es entre 0 y 1, que se hace más pequeño.

 Cizallamiento

Una transformación corte hará que la parte superior de un lado cuadrados para formar un paralelogramo. Cizallamiento horizontal se define por:

Shearing también se puede aplicar verticalmente:

Orientación e imparcialidad

En dos dimensiones

La fijación o elegir el eje x determina el eje y hasta dirección. A saber, el eje y es necesariamente la perpendicular al eje x a través del punto marcado 0 en el eje x. Pero hay una elección de cuál de las dos líneas y media en la perpendicular a designar como positivos y cuáles como negativos. Cada una de estas dos opciones determina una orientación diferente del plano cartesiano.

La forma habitual de orientar los ejes con el derecho positivo que apunta el eje x y el eje y positivo hacia arriba se considera la orientación positiva o estándar, también llamada la orientación diestro.

Una tecla de acceso utilizada para definir la orientación positivo es la regla de la mano derecha. Colocar una mano un poco cerrada a la derecha en el plano con el pulgar apuntando hacia arriba, el punto desde el eje x para el eje y los dedos, en un sistema de coordenadas orientado positivamente.

La otra manera de orientar los ejes está siguiendo la regla de la mano izquierda, colocando la mano izquierda sobre el plano con el pulgar hacia arriba.

Cuando el pulgar apuntando lejos del origen a lo largo de un eje, la curvatura de los dedos indica una rotación positiva a lo largo de ese eje.

Independientemente de la regla utilizada para orientar los ejes, al girar el sistema de coordenadas preservará la orientación. Cambiar cualquiera de los dos ejes se invertirá la orientación.

En tres dimensiones

Una vez que el x-e y-ejes se concretan, determinan la línea por la que el eje z mienta, pero hay dos posibles direcciones en esta línea. Los dos sistemas de coordenadas posibles que resultan se llaman 'mano derecha' y 'zurdo'. La orientación estándar, donde el plano xy es horizontal y los puntos del eje z hacia arriba se llama la mano derecha o positiva.

El nombre deriva de la regla de la mano derecha. Si el dedo índice de la mano derecha se señaló hacia adelante, el dedo medio doblada hacia dentro en un ángulo recto a ella, y el pulgar colocado en un ángulo recto a ambos, los tres dedos indican las direcciones relativas de la x-, y-, y z-ejes en un sistema de mano derecha. El pulgar indica el eje x, el dedo índice del eje y el dedo medio y el eje z. Por el contrario, si se hace lo mismo con la mano izquierda, un zurdo resultados del sistema.

La Figura 7 representa a la izquierda y un sistema de coordenadas de mano derecha. Debido a que un objeto tridimensional se representa en la pantalla de dos dimensiones, la distorsión y el resultado ambigüedad. El eje que apunta hacia abajo también está destinado a apuntar hacia el observador, mientras que el eje "medio" está destinado a señalar alejándose del observador. El círculo rojo es paralelo al plano xy y horizontal indica la rotación desde el eje x para el eje y. Por lo tanto la flecha roja pasa por delante del eje z.

La Figura 8 es otro intento de que representa a un sistema de coordenadas de mano derecha. Una vez más, hay una ambigüedad causada por la proyección del sistema de coordenadas de tres dimensiones en el plano. Muchos observadores ven la figura 8 como "voltear y salir" entre un cubo convexa y un "rincón" cóncava. Esto corresponde a las dos posibles orientaciones del sistema de coordenadas. Al ver la figura como convexa proporciona un sistema de coordenadas izquierdas. Por lo tanto la forma "correcta" para ver la Figura 8 es imaginar el eje x como apuntando hacia el observador y por lo tanto ver una esquina cóncava.

En representación de un vector en la base estándar

Un punto en el espacio en un sistema de coordenadas cartesianas también puede ser representado por un vector de posición, que puede ser pensado como una flecha que apunta desde el origen del sistema de coordenadas para el punto. Si las coordenadas representan posiciones espaciales, es común para representar el vector desde el origen hasta el punto de interés como. En dos dimensiones, el vector desde el origen hasta el punto de coordenadas cartesianas se puede escribir como:

donde, y son vectores unitarios en la dirección del eje x y el eje y, respectivamente, que se refiere generalmente como la base estándar. Del mismo modo, en tres dimensiones, el vector desde el origen hasta el punto de coordenadas cartesianas se puede escribir como:

donde es el vector unitario en la dirección del eje z.

No hay ninguna interpretación natural de la multiplicación de vectores para obtener otro vector que funciona en todas las dimensiones, sin embargo, hay una manera de utilizar números complejos para proporcionar tal multiplicación. En un plano cartesiano bidimensional, identificar el punto de coordenadas con el número complejo z = x iy. Aquí, i es el número complejo cuyo cuadrado es el verdadero número 1 y se identifica con el punto de coordenadas, por lo que no es el vector unitario en la dirección del eje x. Dado que los números complejos se pueden multiplicar dar otro número complejo, esta identificación proporciona un medio para "multiplicar" vectores. En un espacio de tres dimensiones cartesiano una identificación similar puede hacerse con un subconjunto de los cuaterniones.

Aplicaciones

Coordenadas cartesianas son una abstracción que tiene una multitud de posibles aplicaciones en el mundo real. Sin embargo, tres medidas constructivas están involucrados en la superposición de las coordenadas en una solicitud de problema. 1) Las unidades de distancia deben decidirse definir el tamaño espacial representada por los números que se utilizan como coordenadas. 2) Un origen debe ser asignado a un lugar o punto de referencia espacial específica, y 3) la orientación de los ejes se debe definir el uso de señales direccionales disponibles para de los ejes n.

Consideremos como ejemplo la superposición de coordenadas cartesianas 3D más de todos los puntos sobre la Tierra. Qué unidades tiene sentido? Kilómetros son una buena opción, ya que la definición original del kilómetro era geoespacial ... 10.000 kilometros igualando la distancia de la superficie de Ecuador a Polo Norte. Dónde colocar el origen? Con base en la simetría, el centro de gravedad de la Tierra sugiere un punto de referencia natural. Por último, la forma de orientar X, Y y eje Z? El eje de rotación de la Tierra proporciona una dirección natural fuertemente asociado con "arriba vs abajo", por lo que Z positivo puede adoptar la dirección de geocentro al Polo Norte. Se necesita un lugar en el Ecuador para definir el eje X y el Meridiano de Greenwich se destaca por ser una dirección de referencia, por lo que el eje X toma la dirección de geocentro hacia. Tenga en cuenta que con 3 dimensiones, y dos direcciones de los ejes perpendiculares inmovilizadas para X y Z, el eje Y se determina por las dos primeras opciones. Con el fin de obedecer la regla de la mano derecha, el eje debe apuntar hacia fuera del geocentro a. Entonces, ¿qué son las coordenadas geocéntrico del Empire State Building en Nueva York? Utilizando, radio de la Tierra = 40.000 kilometros/2 pi, y transformar a esférica> coordenadas cartesianas, puede estimar las coordenadas geocéntrico del Empire State Building, =. Navegación GPS se basa en tales coordenadas geocéntricas.

En los proyectos de ingeniería, el acuerdo sobre la definición de las coordenadas es un fundamento crucial. No se puede suponer que las coordenadas vienen predefinidos para una nueva aplicación, por lo que el conocimiento de cómo construir un sistema de coordenadas donde no lo hay es esencial para la aplicación del pensamiento ingenioso Ren Descartes.

Mientras que las aplicaciones espaciales emplean unidades idénticas a lo largo de todos los ejes, en aplicaciones comerciales y científicas, cada eje puede tener diferentes unidades de medida asociada a ella. Aunque cuatro y espacios de dimensiones superiores son difíciles de visualizar, el álgebra de coordenadas cartesianas se puede ampliar con relativa facilidad a cuatro o más variables, por lo que ciertos cálculos que implican muchas variables se puede hacer. Por el contrario, a menudo es útil usar la geometría de coordenadas cartesianas en dos o tres dimensiones para visualizar relaciones algebraicas entre dos o tres de muchas variables no espaciales.

La gráfica de una función o relación es el conjunto de todos los puntos que respondan a dicha función o relación. Para una función de una variable, f, el conjunto de todos los puntos donde y = f es la gráfica de la función f. Para una función de dos variables, g, el conjunto de todos los puntos donde z = g es la gráfica de la función g. Un bosquejo de la gráfica de una función o relación tales consistiría en todas las partes sobresalientes de la función o relación que incluiría sus extremos relativos, su concavidad y puntos de inflexión, cualquiera de los puntos de discontinuidad y su comportamiento final. Todos estos términos se definen con más detalle en el cálculo. Estos gráficos son útiles en cálculo de entender la naturaleza y el comportamiento de una función o relación.

Tenga en cuenta que las posiciones sobre una superficie en la navegación uso latitud y longitud en un sistema similar de dos dimensiones. Sin embargo, las coordenadas se escriben en orden inverso, de manera efectiva.