Sistema de coordenadas, Recta numérica, Sistema de coordenadas cartesianas, Sistema de coordenadas polares, Sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas, Sistema de coordenadas homogénea, Coordenadas de otros elementos, Las transformaciones entre sistemas de coordenadas, Coordinar las curvas y superficies, Coordinar mapas, Cambio de coordenadas, Transformaciones, Sistemas comúnmente utilizados, Lista de los sistemas de coordenadas ortogonales

En la geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números, o coordenadas, para determinar únicamente la posición de un punto u otro elemento geométrico en un colector tal como el espacio euclidiano. El orden de las coordenadas es importante y que a veces se identifican por su posición en una tupla ordenada ya veces por una letra, como en 'la coordenada x'. Las coordenadas se toman como números reales en las matemáticas elementales, pero pueden ser números o elementos de un sistema más abstracto, como un anillo conmutativo complejos. El uso de un sistema de coordenadas permite que los problemas en la geometría que se traducen en problemas acerca de los números y viceversa; esta es la base de la geometría analítica.

Recta numérica

El ejemplo más simple de un sistema de coordenadas es la identificación de los puntos de una línea con números reales utilizando la recta numérica. En este sistema, un punto arbitrario O se elige en una línea determinada. La coordenada de un punto P se define como la distancia firmado a partir de O a P, donde la distancia con signo es la distancia tomada como positiva o negativa dependiendo de qué lado de la línea P se encuentra. Cada punto se da una coordenada única y cada número real es la coordenada de un punto único.

Sistema de coordenadas cartesianas

El ejemplo prototípico de un sistema de coordenadas es el sistema de coordenadas cartesianas. En el plano, se eligen dos líneas perpendiculares y se toman las coordenadas de un punto que las distancias firmados a las líneas.

En tres dimensiones, se eligen tres planos perpendiculares y las tres coordenadas de un punto son las distancias firmados con cada uno de los planos. Esto puede ser generalizada para crear coordenadas n para cualquier punto en el espacio euclidiano n-dimensional.

Sistema de coordenadas polares

Otro sistema de coordenadas común para el avión es el sistema de coordenadas polar. Un punto es elegido como el polo y un rayo desde este punto se toma como el eje polar. Para un ángulo?, Hay una sola línea a través del polo cuyo ángulo con el eje polar es?. Entonces hay un punto único en esta línea cuya firma distancia desde el origen es r para determinado número r. Para un par dado de coordenadas hay un solo punto, pero cualquier punto está representado por muchos pares de coordenadas. Por ejemplo, y son las coordenadas polares para el mismo punto. El polo está representado por para cualquier valor de?.

Sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas

 Artículos principales: sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas

Hay dos métodos comunes para extender el sistema de coordenadas polares a tres dimensiones. En el sistema de coordenadas cilíndrico, una coordenada z con el mismo significado que en coordenadas cartesianas se añade a la r y? coordenadas polares. Coordenadas esféricas van un paso más allá mediante la conversión del par de coordenadas cilíndricas a coordenadas polares dan una habitación triple

Sistema de coordenadas homogénea

Un punto en el plano puede ser representado en coordenadas homogéneas por un triples donde x/z e y/z son las coordenadas cartesianas del punto. Esto introduce una coordenada "extra", ya que sólo se necesitan dos para especificar un punto en el plano, pero este sistema es útil, ya que representa cualquier punto en el plano proyectivo sin el uso de la infinidad. En general, un sistema de coordenadas homogéneo es aquel en el que sólo las proporciones de las coordenadas son significativas y no los valores reales.

Coordenadas de otros elementos

Sistemas de coordenadas se utilizan a menudo para especificar la posición de un punto, pero también pueden ser utilizados para especificar la posición de las figuras más complejas, tales como líneas, planos, círculos o esferas. Por ejemplo coordenadas Plcker se utilizan para determinar la posición de una línea en el espacio. Cuando hay una necesidad, el tipo de figura que se describe se usa para distinguir el tipo de sistema de coordenadas, por ejemplo, las coordenadas línea de término se utiliza para cualquier sistema de coordenadas que especifica la posición de una línea.

Puede ocurrir que los sistemas de coordenadas para dos conjuntos diferentes de figuras geométricas son equivalentes en términos de su análisis. Un ejemplo de esto es los sistemas de coordenadas homogéneas para puntos y líneas en el plano proyectivo. Los dos sistemas en un caso como éste se dice que es dualista. Sistemas dualistas tienen la propiedad de que los resultados de un sistema se pueden llevar a la otra, ya que estos resultados son sólo diferentes interpretaciones de un mismo resultado analítico, lo que se conoce como el principio de la dualidad.

Las transformaciones entre sistemas de coordenadas

Porque a menudo hay muchos diferentes sistemas de coordenadas posibles para la descripción de las figuras geométricas, es importante entender cómo se relacionan. Estas relaciones se describen por transformaciones de coordenadas que dan fórmulas para las coordenadas en un sistema en términos de las coordenadas en otro sistema. Por ejemplo, en el plano, si las coordenadas cartesianas y coordenadas polares tienen el mismo origen, y el eje polar es el eje x positivo, entonces la transformación de coordenadas polares a partir de coordenadas cartesianas viene dada por x = r cos? y = r sen?.

Coordinar las curvas y superficies

En dos dimensiones, si todos menos uno de coordenadas en un sistema de coordenadas de punto se mantiene constante y la coordenada restante se permite para variar, a continuación, la curva resultante se denomina una curva de coordenadas. Este procedimiento no siempre tiene sentido, por ejemplo, no hay curvas coordenadas en un sistema de coordenadas homogéneas. En el sistema de coordenadas cartesiano de coordenadas las curvas son, de hecho, líneas. En concreto, son las líneas paralelas a uno de los ejes de coordenadas. Para otros sistemas de coordenadas de las curvas coordenadas pueden ser curvas generales. Por ejemplo las curvas de coordenadas en coordenadas polares obtenidos mediante la celebración de constante r son los círculos con centro en el origen. Sistemas de coordenadas de espacio euclidiano que no sea el sistema de coordenadas cartesianas se denominan sistemas de coordenadas curvilíneas.

En el espacio tridimensional, si uno de coordenadas se mantiene constante y el resto de coordenadas se les permite variar, a continuación, la superficie resultante se llama una superficie de coordenadas. Por ejemplo, las superficies de las coordenadas obtenidas mediante la celebración? constante en el sistema de coordenadas esféricas son las esferas con centro en el origen. En el espacio tridimensional de la intersección de dos superficies de coordenadas es una curva de coordenadas. Hiper coordenadas se definen de manera similar en dimensiones superiores.

Coordinar mapas

El concepto de un mapa de coordenadas, o el gráfico es central a la teoría de las variedades. Un mapa de coordenadas es esencialmente un sistema de coordenadas para un subconjunto de un espacio dado con la propiedad de que cada punto tiene exactamente un conjunto de coordenadas. Más precisamente, un mapa de coordenadas es un homeomorfismo de un abierto de un espacio X con un abierto de Rn. A menudo no es posible proporcionar un sistema de coordenadas consistente para todo un espacio. En este caso, una colección de mapas de coordenadas se ponen juntos para formar un atlas que cubre el espacio. Se llama un espacio equipado con este tipo de atlas de un colector y una estructura adicional puede ser definido en un colector de si la estructura es consistente en los mapas de coordenadas se superponen. Por ejemplo, una variedad diferenciable es un colector donde el cambio de coordenadas de un mapa de coordenadas a otro es siempre una función diferenciable.

Cambio de coordenadas

En la geometría y la cinemática, sistemas de coordenadas no sólo se utilizan para describir la posición de los puntos, sino también para describir la posición angular de los ejes, planos, y cuerpos rígidos. En este último caso, se define la orientación de un segundo sistema de coordenadas, fijado al nodo, sobre la base de la primera. Por ejemplo, la orientación de un cuerpo rígido puede ser representado por una matriz de orientación, que incluye, en sus tres columnas, las coordenadas cartesianas de tres puntos. Estos puntos se utilizan para definir la orientación de los ejes del sistema local, sino que son la punta de los tres vectores unitarios alineados con esos ejes.

Transformaciones

Una transformación de coordenadas es una conversión de un sistema a otro, para describir el mismo espacio.

Con cada biyección desde el espacio a sí mismo dos transformaciones de coordenadas se pueden asociar:

  • de tal manera que las nuevas coordenadas de la imagen de cada punto son los mismos que los viejos coordenadas del punto original
  • de tal manera que las viejas coordenadas de la imagen de cada punto son las mismas que las nuevas coordenadas del punto original

Por ejemplo, en 1D, si la asignación es una traducción de la 3 a la derecha, los primero mueve el origen de 0 a 3, de modo que la coordenada de cada punto se convierte en menos 3, mientras que el segundo se mueve el origen 0--3 , de modo que la coordenada de cada punto se convierte en 3 más.

Sistemas comúnmente utilizados

Algunos sistemas de coordenadas son las siguientes:

  • El sistema de coordenadas cartesianas, que, para dos y espacios tridimensionales, utiliza dos números que representan distancias desde el origen en dos direcciones mutuamente perpendiculares.
  • Coordenadas curvilíneas son una generalización de los sistemas de coordenadas en general, el sistema se basa en la intersección de las curvas.
  • Sistema de coordenadas polares representa un punto en el plano por una distancia desde el origen y un ángulo medido desde una línea de referencia que intersecta el origen.
  • Log-polar sistema de coordenadas representa un punto en el plano por el logaritmo de la distancia desde el origen y un ángulo medido desde una línea de referencia que intersecta el origen.
  • Sistema de coordenadas cilíndrico representa un punto en el espacio tridimensional usando dos ejes perpendiculares, la distancia se mide a lo largo de un eje, mientras que el otro eje Formes la línea de referencia para una representación de coordenadas polares de los dos componentes restantes.
  • Sistema de coordenadas esféricas representa un punto en un espacio de tres por la distancia desde el origen y dos ángulos medidos a partir de dos líneas de referencia que se cruzan el origen.
  • Coordenadas Plcker son una forma de representar líneas en el espacio euclidiano 3D usando un seis tupla de números como coordenadas homogéneas.
  • Coordenadas generalizadas se utilizan en el tratamiento de Lagrange de la mecánica.
  • Coordenadas canónicas se utilizan en el tratamiento hamiltoniano de la mecánica.
  • Paralelamente coordina visualizar un punto en el espacio n-dimensional como una polilínea puntos en las líneas verticales n de conexión.
  • Coordina Baricéntrico tal como se utiliza para el gráfico ternario

Hay maneras de describir curvas sin coordenadas, utilizando ecuaciones intrínsecas que utilizan cantidades invariables como la curvatura y la longitud del arco. Estos incluyen:

  • Whewell ecuación relaciona la longitud del arco y el ángulo tangencial.
  • Cesro ecuación relaciona la longitud del arco y la curvatura.

Lista de los sistemas de coordenadas ortogonales

En matemáticas, dos vectores son ortogonales si son perpendiculares. Los siguientes sistemas de coordenadas tienen la propiedad de ser sistemas de coordenadas ortogonales, es decir, las superficies de coordenadas se encuentran en ángulo recto.