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En la geometría, coordenadas curvilíneas son un sistema de coordenadas para el espacio euclidiano en el que las líneas de coordenadas pueden ser curvadas. Estas coordenadas se puede derivar de un conjunto de coordenadas cartesianas mediante el uso de una transformación que es localmente invertible en cada punto. Esto significa que se puede convertir un punto dado en un sistema de coordenadas cartesianas a coordenadas curvilíneas y sus espalda. Las coordenadas curvilíneo nombre, acuñado por el matemático francés Lam, deriva del hecho de que las superficies de los sistemas de coordenadas curvilíneas están curvadas.

Ejemplos bien conocidos de sistemas de coordenadas curvilíneas en el espacio euclidiano tridimensional son las coordenadas cartesianas polares, cilíndricas y esféricas. Una superficie de coordenadas cartesianas en este espacio es un plano, por ejemplo z = 0 define el plano xy. En el mismo espacio, la superficie de coordenadas r = 1 en coordenadas polares esférica es la superficie de una esfera unidad, que está curvada. El formalismo de coordenadas curvilíneas proporciona una descripción unificada y general de los sistemas de coordenadas estándar.

Coordenadas curvilíneas a menudo se utilizan para definir la ubicación o la distribución de cantidades físicas que pueden ser, por ejemplo, escalares, vectores o tensores. Las expresiones matemáticas que implican estas cantidades en cálculo vectorial y análisis tensorial se puede transformar de un sistema de coordenadas a otro, de acuerdo con las reglas de transformación para escalares, vectores y tensores. Tales expresiones se convierten en válidas para cualquier sistema de coordenadas curvilíneas.

Dependiendo de la aplicación, un sistema de coordenadas curvilíneo puede ser más sencillo de usar que el sistema de coordenadas cartesianas. Por ejemplo, un problema físico con simetría esférica se define en R3 es por lo general más fáciles de resolver en coordenadas polares esféricas que en coordenadas cartesianas. Ecuaciones con condiciones de contorno que siguen superficies de coordenadas para un sistema de coordenadas curvilíneo particular, pueden ser más fáciles de resolver en ese sistema. Se podría, por ejemplo, describir el movimiento de una partícula en una caja rectangular en coordenadas cartesianas, mientras que uno preferiría coordenadas esféricas para una partícula en una esfera. Coordenadas esféricas son uno de los sistemas de coordenadas curvilíneas más utilizados en campos tales como las ciencias de la Tierra, la cartografía y la física y la ingeniería.

Coordenadas curvilíneas ortogonales en 3d

Coordenadas, bases y vectores

Por ahora, tenga en cuenta el espacio 3D. Un punto P en el espacio 3D se puede definir mediante coordenadas cartesianas, o en otro sistema, como se muestra en la figura. 1 - El segundo es un sistema de coordenadas curvilíneas, y son las coordenadas curvilíneo del punto P.

Las superficies q1 = constante, q2 = constante, q3 = constante se llaman las superficies de coordenadas, y las curvas en el espacio formado por la intersección de dos en dos se llaman las curvas coordenadas. Los ejes de coordenadas son determinados por las tangentes a las curvas de coordenadas en la intersección de tres superficies. No están en las direcciones generales fijos en el espacio, que pasa a ser el caso de las coordenadas cartesianas sencillas.

Una base cuyos vectores cambiar su dirección y/o magnitud de punto a punto se llama base local. Todas las bases asociadas a coordenadas curvilíneas son necesariamente local. Vectores de la base que son las mismas en todos los puntos son bases globales, y pueden estar asociados sólo con sistemas de coordenadas lineales o afín.

Nota: por lo general todos los vectores de la base se denotan por correo, para este artículo e es la base estándar y b es la base curvilínea.

La relación entre las coordenadas viene dada por las transformaciones invertibles:

Cualquier punto puede ser escrito como un vector r de posición en coordenadas cartesianas:

donde x, y, z son las coordenadas del vector de posición con respecto a la base estándar de vectores de ex, ey, ez.

Sin embargo, en un sistema curvilíneo general bien puede no haber ninguna base de vectores naturales mundiales. En cambio, observamos que en el sistema cartesiano, tenemos la propiedad que

Podemos aplicar la misma idea para el sistema curvilíneo para determinar un sistema de vectores de la base en P. Definimos

Estos pueden no tienen unidad de longitud, y también pueden no ser ortogonales. En el caso de que son ortogonales a todos los puntos en los que los derivados son bien definidas, definimos los coeficientes de Lam por

y los vectores curvilíneas base ortonormal de

Es importante señalar que estos vectores de la base pueden muy bien depender de la posición de P, por lo que es necesario que no se supone que son constantes a lo largo de una región.

En general, las coordenadas curvilíneas permiten la generalidad de los vectores de la base no todos mutuamente perpendiculares el uno al otro, y no requiere que sean de unidad de longitud: pueden ser de magnitud y dirección arbitraria. El uso de una base ortogonal hace que las manipulaciones del vector simple que para no ortogonal. Sin embargo, algunas áreas de la física y la ingeniería mecánica, particularmente de fluidos y mecánica de medios continuos, requieren bases no ortogonales para describir deformaciones y de transporte de fluido para tener en cuenta dependencias direccionales complicados de cantidades físicas. Una discusión sobre el caso general aparece más adelante en esta página.

Cálculo vectorial

Desde el cambio diferencial total es r

factores de escala son tan

También pueden ser escritas para cada componente de r:

.

Sin embargo, esta designación se utiliza muy raramente, en gran parte reemplazados por los componentes de la gik tensor métrico.

Bases covariantes y contravariantes

 Artículo principal: Covarianza y contravarianza de vectores y Subir y bajar los índices de

Los vectores de la base, degradados y los factores de escala están relacionados entre sí dentro de un sistema de coordenadas de dos maneras:

  • los vectores de la base son los vectores tangentes unitarios a lo largo de las curvas de coordenadas: que transforman como vectores covariantes o
  • los vectores de la base son los vectores normales unitarios a las superficies de coordenadas: que transforman como vectores contravariantes,? es el operador del.
  • Así que dependiendo del método por el cual se construyen, por un sistema de coordenadas curvilíneo general, hay dos conjuntos de vectores de la base de cada punto: {b1, b2, b3} es la base covariante y {b1, b2, b3} es el base contravariante.

    Un vector v se puede administrar ya sea en términos básicos, es decir,

    Los vectores de la base se refieren a los componentes por

    y

    donde g es el tensor métrico.

    Un vector es covariante o contravariante si, respectivamente, sus componentes son covariantes o contravariantes. A partir de las sumas vectoriales anteriores, se puede observar que los vectores contravariantes se representan con vectores de la base covariantes, y vectores covariantes se representan con vectores de la base contravariantes.

    Una convención clave en la representación de vectores y tensores en términos de componentes indexados y vectores de la base es invariancia en el sentido de que los componentes del vector que se transforman de una manera covariante están emparejados con vectores de la base que se transforman de una manera contravariante.

    Base Covariant

    Considere la curva unidimensional mostrado en la figura. 3 - En el punto P, tomada como un origen, X es una de las coordenadas cartesianas, y Q1 es una de las coordenadas curvilíneo. El vector de la base local es b1 y está construido sobre el eje q1 que es tangente a la línea de coordenadas en el punto P. El q1 eje y por lo tanto la forma b1 vector un ángulo a con el eje x cartesiano y la base cartesiana vector e1 .

    Se puede observar a partir de triángulo que PAB

    donde | E1 |, | B1 | son las magnitudes de los dos vectores de la base, es decir, el escalar intercepta PB y PA. Tenga en cuenta que PA es también la proyección de b1 en el eje x.

    Sin embargo, este método para las transformaciones de vector de la base utilizando los cosenos de dirección es inaplicable a las coordenadas curvilíneas para las siguientes razones:

  • Al aumentar la distancia de P, el ángulo entre los q1 línea curva y el eje cartesianas x se desvía cada vez más de una.
  • En la PB distancia el verdadero ángulo es el que la tangente en el punto C formas con el eje x y el segundo ángulo es claramente diferente de un.
  • Los ángulos que la línea de q1 y que forman eje con el eje x se vuelven más cerca del valor cuanto más cerca se mueve hacia el punto P y se convierten exactamente igual a P.

    Deje que el punto E se encuentra muy cerca de P, tan cerca que la distancia PE es infinitesimalmente pequeña. A continuación, PE medida en el eje q1 casi coincide con PE mide en la línea q1. Al mismo tiempo, la relación PD/PE se vuelve casi exactamente igual a cos a.

    Vamos a lo infinitamente pequeño intercepta PD y PE ser etiquetado, respectivamente, como dx y DQ1. Entonces

    .

    Por lo tanto, los cosenos direccionales pueden ser sustituidos en las transformaciones con las proporciones más exactas entre infinitesimalmente pequeñas intercepta coordenadas. De ello resulta que el componente de B1 en el eje x es

    .

    Si qi = qi y xi = xi son funciones suaves las relaciones de transformación se pueden escribir como y. Es decir, estos coeficientes son derivadas parciales de coordenadas que pertenecen a un sistema con respecto a las coordenadas que pertenecen al otro sistema.

     La construcción de una base covariante en tres dimensiones

    Hacer lo mismo para las coordenadas en las otras 2 dimensiones, b1 pueden expresarse como:

    Ecuaciones similares son válidas para b2 y b3 de manera que la base estándar {e1, e2, e3} se transforma en una base local {b1, b2, b3} mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

    Por un razonamiento similar, se puede obtener la transformación inversa de la base local de forma estándar:

     Jacobiano de la transformación

    Los sistemas anteriores de ecuaciones lineales pueden escribirse en forma matricial como

    .

    Esta matriz de coeficientes del sistema lineal es la matriz jacobiana de la transformación. Estas son las ecuaciones que se pueden utilizar para transformar una base cartesiano en una base curvilínea, y viceversa.

    En tres dimensiones, las formas expandidas de estas matrices son

    En la transformación inversa, las incógnitas son los vectores de la base curvilíneas. Para todos los puntos sólo puede existir un y solamente un conjunto de vectores de la base. Esta condición se cumple si y sólo si el sistema de ecuaciones tiene una solución única, de álgebra lineal, un sistema de ecuación lineal tiene una única solución sólo si el determinante de la matriz del sistema es distinto de cero:

    que muestra la razón de ser de la obligación anterior sobre el determinante jacobiano inverso.

    Generalización de n dimensiones

    El formalismo se extiende a cualquier dimensión finita de la siguiente manera.

    Considere el verdadero espacio euclidiano n-dimensional, es Rn = R R ... R donde R es el conjunto de números reales y denota el producto cartesiano, que es un espacio vectorial.

    Las coordenadas de este espacio puede ser denotado por: x =. Dado que este es un vector, que se puede escribir como:

    donde e1 =, = e2, e3 =, ..., en = es la base estándar de un conjunto de vectores para el espacio Rn, y i = 1, 2, ... n es un componentes etiquetado de índice. Cada vector tiene exactamente uno de los componentes en cada dimensión y son mutuamente ortogonales y normalizado.

    En términos más generales, podemos definir vectores base bi modo que dependen de q =, es decir, cambian de un punto a otro: bi = bi. En cuyo caso, para definir el mismo punto x en términos de esta base alternativa: las coordenadas con respecto a esta base vi también depende necesariamente de x también, que es vi = vi. A continuación, un vector v en este espacio, con respecto a estas coordenadas y vectores de base alternativas, se puede ampliar como una combinación lineal en esta base:

    La suma vectorial que describe v en la nueva base se compone de diferentes vectores, aunque la propia suma sigue siendo el mismo.

    La transformación de coordenadas

    Desde un punto de vista más general y abstracta, un sistema de coordenadas curvilíneo es simplemente un parche de coordenadas en el colector que es diferenciable En difeomorfa para el parche de coordenadas cartesianas en el colector. Tenga en cuenta que dos parches de coordenadas difeomorfa sobre una variedad diferencial no es necesario que se superponen diferenciablemente. Con esta simple definición de un sistema de coordenadas curvilíneas, todos los resultados que siguen a continuación son simplemente aplicaciones de teoremas estándar en la topología diferencial.

    Las funciones de transformación son tales que hay una relación uno a uno entre los puntos en los "viejos" y "nuevos" coordenadas, es decir, las funciones son biyecciones, y cumplir los siguientes requisitos dentro de sus dominios:

  • Son funciones suaves: qi = qi
  • El determinante jacobiano inverso no es cero, lo que significa que la transformación es invertible: xi. de acuerdo con el teorema de la función inversa. La condición de que el determinante jacobiano no es cero refleja el hecho de que tres superficies de diferentes familias se cruzan en uno y sólo un punto y por lo tanto determinar la posición de este punto de una manera única.
  • Vector y el álgebra tensor en coordenadas curvilíneas tridimensionales

     Nota: la convención de Einstein suma de resumir en los índices de repetición se utiliza a continuación.

    Vector Primaria y el álgebra tensor en coordenadas curvilíneas se utiliza en algunas de las publicaciones científicas más en la mecánica y la física, y pueden ser indispensables para entender el trabajo de los principios y mediados de los años 1900, por ejemplo, el texto verde y Zerna. Algunas relaciones útiles en el álgebra de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas se dan en esta sección. La notación y los contenidos son principalmente de Ogden, Naghdi, Simmonds, verde y Zerna, Basar y Weichert y Ciarlet.

    Tensores en coordenadas curvilíneas

    Un tensor de segundo orden se puede expresar como

    donde denota el producto tensorial. Los componentes Sij se llaman las componentes contravariantes, Si j los componentes mezclados derecha covariantes, j Si los componentes de izquierda covariantes mixtos y SIJ las componentes covariantes del tensor de segundo orden. Los componentes del tensor de segundo orden están relacionados por

    El tensor métrico en coordenadas curvilíneas ortogonales

    En cada punto, se puede construir un pequeño dx elemento de línea, por lo que el cuadrado de la longitud del elemento de línea es el producto escalar dx dx y se llama la métrica del espacio, dado por:

    y la cantidad simétrica

    se llama el tensor fundamental del espacio euclidiano en coordenadas curvilíneas.

    Indices pueden subir y bajar por la métrica:

     Relación con coeficientes Lam

    Definición de los factores de escala hij por

    da una relación entre el tensor métrico y los coeficientes de Lam. Tenga en cuenta también que

    donde hij son los coeficientes de Lam. Para una base ortogonal también tenemos:

     Ejemplo: Las coordenadas polares

    Si tenemos en cuenta las coordenadas polares para R2, tenga en cuenta que

     son las coordenadas curvilíneo, y el determinante jacobiano de la transformación? es r.

    Los vectores de la base son ortogonales br =, b? =. Los vectores de la base normalizados son er =, e? = Y los factores de escala son hr = 1 y h? = R. El tensor fundamental es g11 = 1, r2 = g22, g12 = g21 = 0.

    El tensor alternante

    En una base diestro ortonormal, el tercer orden alterna tensor se define como

    En general, una base curvilínea tensor de la misma puede ser expresado como

    También puede demostrarse que

    Símbolos de Christoffel

     Símbolos de Christoffel de primera especie

    donde la coma denota una derivada parcial. Expresar Gijk en términos de gij observamos que

    Desde

    usarlos para reorganizar las relaciones anteriores da

     Símbolos de Christoffel de segunda especie

    Esto implica que

    Otras relaciones que siguen son

    Operaciones vectoriales

  • Producto de punto: El producto escalar de dos vectores en coordenadas curvilíneo es
  • Cruce producto: El producto vectorial de dos vectores es dada por el lugar donde está el símbolo de permutación y es un vector de la base cartesiana. En coordenadas curvilíneas, la expresión equivalente es donde es el tensor alternante de tercer orden.
  • Vector y cálculo del tensor en coordenadas curvilíneas tridimensionales

     Nota: la convención de Einstein suma de resumir en los índices de repetición se utiliza a continuación.

     Ajustes necesitan ser realizados en el cálculo de las integrales línea, la superficie y el volumen. Por simplicidad, la siguiente restringe a tres dimensiones y coordenadas curvilíneas ortogonales. Sin embargo, los mismos argumentos se aplican para espacios n-dimensionales. Cuando el sistema de coordenadas no es ortogonal, hay algunos términos adicionales en las expresiones.

    Simmonds, en su libro sobre análisis tensorial, cita a Albert Einstein diciendo

    La magia de esta teoría difícilmente dejará de imponerse a cualquiera que realmente ha entendido, sino que representa un verdadero triunfo del método de cálculo diferencial absoluto, fundada por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita.

    Vector y tensor de cálculo en coordenadas generales curvilínea se utiliza en el análisis de tensor de colectores curvilíneas cuatro dimensiones de la relatividad general, en la mecánica de conchas curvas, al examinar las propiedades de invariancia de las ecuaciones de Maxwell, que ha sido de interés en metamateriales y en muchos otros campos .

    Algunas relaciones útiles en el cálculo de los vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas se dan en esta sección. La notación y los contenidos son principalmente de Ogden, Simmonds, verde y Zerna, Basar y Weichert y Ciarlet.

    Sea f = f ser un campo escalar bien definido y V = vector de campo bien definido VA, y? 1,? 2 ... ser parámetros de las coordenadas

    Elementos geométricos

  • Vector tangente: Si x parametriza una curva C en coordenadas cartesianas, a continuación, es un vector tangente a C en coordenadas curvilíneas. Utilizando la definición de los coeficientes de Lam, y que para la métrica gij = 0 cuando i? j, la magnitud es:
  • Elemento plano tangente: Si x parametriza una superficie S en coordenadas cartesianas, a continuación, el siguiente producto vectorial de los vectores tangentes es un vector normal a S con la magnitud del elemento de plano de infinitesimal, en coordenadas curvilíneas. Con el resultado anterior, donde se encuentra el símbolo de permutación. En forma determinante:
  • Integración

    Diferenciación

    Las expresiones para el gradiente, divergencia y Laplaciano se pueden extender directamente al n-dimensiones, sin embargo, la curvatura sólo se define en 3d.

    El campo bi vector es tangente a la curva de coordenadas qi y forma una base natural en cada punto de la curva. Esta base, como se ha discutido al principio de este artículo, también se llama la base curvilínea covariante. También podemos definir una base de reciprocidad, o de forma curvilínea contravariante, bi. Todas las relaciones algebraicas entre los vectores de la base, como se discute en la sección de álgebra tensor, se aplican para la base natural y su recíproco en cada punto x.

    Fuerzas ficticias en coordenadas curvilíneas generales

    Un sistema de coordenadas inercial se define como un sistema de coordenadas espaciales y temporales x1, x2, x3, t en términos de los cuales las ecuaciones de movimiento de una partícula libre de fuerzas externas son simplemente d2xj/dt2 = 0. En este contexto, un sistema de coordenadas puede dejar de ser "inercial" ya sea debido al eje de tiempo no-lineal o ejes espaciales no rectas. En otras palabras, los vectores de la base de las coordenadas puede variar en el tiempo en posiciones fijas, o pueden variar con la posición a horas fijas, o ambos. Cuando ecuaciones de movimiento se expresan en términos de cualquier sistema de coordenadas no inercial, aparecen términos adicionales, llamados símbolos de Christoffel. Estrictamente hablando, estos términos representan componentes de la aceleración absoluta, pero también podemos optar por seguir considerando d2xj/dt2 como la aceleración y el tratamiento de las condiciones adicionales como si fueran fuerzas, en cuyo caso se denominan fuerzas ficticias. El componente de dicha fuerza ficticia normal a la trayectoria de la partícula y en el plano de la curvatura caminos continuación, se llama la fuerza centrífuga.

    Este contexto más general deja clara la correspondencia entre los conceptos de fuerza centrífuga de rotación sistemas de coordenadas y de sistemas de coordenadas curvilíneas estacionarias. Para un ejemplo simple, considere una partícula de masa m que se mueve en un círculo de radio r con velocidad angular w en relación con un sistema de coordenadas polares que giran con velocidad angular W. La ecuación de movimiento radial es mr "= Fr MR2. Así, la la fuerza centrífuga es mr veces el cuadrado de la velocidad de rotación absoluta A = W W de la partícula. Si elegimos un sistema de coordenadas que gira a la velocidad de la partícula, entonces W = A y w = 0, en cuyo caso la fuerza centrífuga es mrA2, mientras que si se elige un sistema de coordenadas estacionario tenemos W = 0 y W = A, en cuyo caso la fuerza centrífuga es de nuevo mrA2. La razón de esta igualdad de resultados es que en ambos casos los vectores de la base en la partícula s ubicación están cambiando en el tiempo de la misma manera. Por lo tanto estos son en realidad dos diferentes maneras de describir exactamente lo mismo, una descripción que se está en términos de coordenadas de rotación y el otro en términos de coordenadas curvilíneas estacionarios, los cuales son no inercial de acuerdo con el significado más abstracto del término.

    Al describir el movimiento en general, las fuerzas reales que actúan sobre una partícula se refieren a menudo a la instantánea osculador círculo tangente a la trayectoria del movimiento, y este círculo en el caso general no se centra en una ubicación fija, y por lo que la descomposición en centrífuga y de Coriolis componentes está en constante cambio. Esto es cierto independientemente de si el movimiento se describe en términos de coordenadas fijos o giratorios.