La ecuación del calor, Declaración de la ecuación, Descripción general, El problema físico y la ecuación, Resolver la ecuación del calor mediante series de Fourier, La conducción de calor en los medios anisótropos no homogéneos, Soluciones fundamentales, Propiedad del valor medio de la ecuación del calor, La ecuación de calor estacionario, Aplicaciones

La ecuación del calor es una ecuación diferencial parcial parabólica que describe la distribución de calor en una región determinada en el tiempo.

Declaración de la ecuación

Para una u función de tres variables espaciales y la variable tiempo t, la ecuación del calor es

Más en general en cualquier sistema de coordenadas:

donde a es una constante positiva, y? o? 2 denota el operador de Laplace. En el problema físico de variación de la temperatura, u es la temperatura y a es la difusividad térmica. Para el tratamiento matemático es suficiente considerar el caso a = 1.

La ecuación del calor es de fundamental importancia en diversos campos de la ciencia. En matemáticas, es la ecuación diferencial parcial parabólica prototípico. En teoría de la probabilidad, la ecuación del calor está conectado con el estudio del movimiento browniano a través de la ecuación de Fokker-Planck. En matemática financiera que se utiliza para resolver la ecuación diferencial Negro-Scholes parcial. La ecuación de difusión, una versión más general de la ecuación del calor, se plantea en relación con el estudio de la difusión química y otros procesos relacionados.

Descripción general

Supongamos que uno tiene una función u que describe la temperatura en un lugar determinado. Esta función va a cambiar con el tiempo ya que los diferenciales de calor a través del espacio. La ecuación del calor se utiliza para determinar el cambio en la función u lo largo del tiempo. La imagen de la derecha es animada y describe la forma en que los cambios de calor en el tiempo a lo largo de una barra de metal. Una de las propiedades interesantes de la ecuación del calor es el principio de máxima que dice que el valor máximo de u es ya sea anterior en el tiempo que la región de interés o en el borde de la región de interés. Esto es básicamente diciendo que la temperatura viene o de alguna fuente o desde antes en el tiempo ya que el calor penetra pero no se crea de la nada. Esta es una propiedad de las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y no es difícil demostrar matemáticamente.

Otra propiedad interesante es que incluso si u tiene una discontinuidad en un tiempo inicial t = t0, la temperatura se vuelve suave tan pronto como t> t0. Por ejemplo, si una barra de metal tiene temperatura 0 y otro tiene temperatura de 100 y están pegadas de extremo a extremo, y luego muy rápidamente la temperatura en el punto de conexión se convertirá en el 50 y la gráfica de la temperatura va a funcionar sin problemas entre 0 y 100.

La ecuación del calor se utiliza en la probabilidad y describe paseos aleatorios. También se aplica en las matemáticas financieras por este motivo.

También es importante en la geometría de Riemann y por lo tanto topología: fue adaptado por Richard Hamilton cuando se define el flujo de Ricci que más tarde fue utilizado por Grigori Perelman para resolver la conjetura de Poincaré topológica.

El problema físico y la ecuación

Derivación en una dimensión

La ecuación del calor se deriva de la ley y la conservación de la energía de Fourier. Por la ley de Fourier, la velocidad de flujo de la energía térmica a través de una superficie es proporcional al gradiente de temperatura negativo a través de la superficie,

donde k es la conductividad térmica y u es la temperatura. En una dimensión, el gradiente es un derivado espacial ordinario, y así la ley de Fourier es

donde

.

En la ausencia del trabajo realizado, un cambio en la energía interna por unidad de volumen en el material,? Q, es proporcional al cambio en la temperatura,? U. Es decir,

donde cp es el calor específico y el? es la densidad de masa del material. La elección de la energía cero a la temperatura del cero absoluto, esto puede ser reescrita como

.

El aumento de la energía interna en una pequeña región espacial del material

durante el período de tiempo

está dada por

donde se utilizó el teorema fundamental del cálculo. Si no se trabaja y no hay ni fuentes de calor ni los sumideros, el cambio en la energía interna en el intervalo se contabiliza en su totalidad por el flujo de calor a través de las fronteras. Por la ley de Fourier, esta es

nuevamente por el teorema fundamental del cálculo. Por la conservación de la energía,

Esto es cierto para cualquier rectángulo. Por el lema fundamental del cálculo de variaciones, el integrando debe desaparecer de forma idéntica:

¿Qué se puede reescribir como:

o:

que es la ecuación del calor, donde el coeficiente

se llama la difusividad térmica.

Un término adicional se puede introducir en la ecuación para dar cuenta de la pérdida de radiación de calor, que depende del exceso de temperatura u = T - Ts en un punto dado en comparación con el entorno. A bajas temperaturas excesivas, la pérdida de radiación es de aproximadamente U, dando una ecuación de transferencia de calor de una sola dimensión de la forma

.

A altas temperaturas excesivas, sin embargo, la ley de Stefan-Boltzmann da una pérdida de calor radiativo-neta proporcional a, y la ecuación anterior es inexacta. Para las grandes temperaturas excesivas, dando una ecuación de transferencia de calor de alta temperatura de la forma

dónde. Aquí, s es de Stefan constante, e es una constante característica del material, p es el perímetro en sección de la barra y A es su área de sección transversal. Sin embargo, el uso de T en lugar de u da una mejor aproximación en este caso.

Problema tridimensional

En los casos especiales de propagación de la onda de calor en un medio isotrópico y homogéneo en un espacio de 3 dimensiones, esta ecuación es

donde:

  • u = u es la temperatura como una función del espacio y el tiempo;
  •  es la velocidad de cambio de temperatura en un punto en el tiempo;
  • uxx, uyy y uzz son las segundas derivadas espaciales de la temperatura en la X, Y, y Z, respectivamente;
  • a = k/es la difusividad térmica, una cantidad específica del material en función de la conductividad térmica k, la densidad de masa?, y la capacidad de calor específico cp.

La ecuación del calor es una consecuencia de la ley de enfriamiento de Fourier.

Si el medio no es todo el espacio, con el fin de resolver la ecuación del calor único también es necesario especificar las condiciones de contorno para u. Para determinar la unicidad de las soluciones en todo el espacio que es necesario asumir una exponencial unido en el crecimiento de las soluciones; este supuesto es consistente con los experimentos observados.

Las soluciones de la ecuación del calor se caracterizan por una suavización gradual de la distribución de temperatura inicial por el flujo de calor del calentador a las zonas más frías de un objeto. En general, los diferentes estados y las condiciones iniciales tienden hacia el mismo equilibrio estable. Como consecuencia de ello, para revertir la solución y concluir algo acerca de los tiempos anteriores o condiciones iniciales de la presente distribución de calor es muy inexacta, excepto en la más corta de períodos de tiempo.

La ecuación del calor es el ejemplo prototípico de una ecuación diferencial parcial parabólica.

Usando el operador de Laplace, la ecuación del calor se puede simplificar, y generalizada a las ecuaciones similares más espacios de número arbitrario de dimensiones, como

donde el operador de Laplace,? o? 2, la divergencia del gradiente, se toma en las variables espaciales.

La ecuación administra la difusión de calor de calor, así como otros procesos difusivos, tales como la difusión de partículas o la propagación del potencial de acción en las células nerviosas. Aunque no son difusión en la naturaleza, algunos problemas de la mecánica cuántica también se rigen por un análogo de la matemática de la ecuación del calor. También se puede utilizar para modelar fenómenos que surgen en las finanzas, como el de los procesos de Ornstein-Uhlenbeck Negro-Scholes o. La ecuación, y varios análogos no lineales, también se ha utilizado en el análisis de imágenes.

La ecuación del calor es, técnicamente, en violación de la relatividad especial, debido a que sus soluciones implican la propagación instantánea de una perturbación. La parte de la perturbación fuera del cono de luz hacia adelante por lo general se puede descuidar con seguridad, pero si es necesario desarrollar una velocidad razonable para la transmisión de calor, un problema hiperbólico se debe considerar en cambio - como una ecuación diferencial parcial que implica un segundo orden derivada en el tiempo. Algunos modelos de la conducción de calor lineal tienen soluciones con finita de transmisión de calor speed.nadeem Ahmad

Generación interna de calor

La función u representa por encima de la temperatura de un cuerpo. Alternativamente, a veces es conveniente para cambiar las unidades y representar u como la densidad de calor de un medio. Dado que la densidad de calor es proporcional a la temperatura en un medio homogéneo, la ecuación del calor está todavía obedecida en las nuevas unidades.

Supongamos que un cuerpo obedece a la ecuación del calor y, además, genera su propio calor por unidad de volumen a una velocidad dada por una función conocida q variable en el espacio y el tiempo. A continuación, el calor por unidad de volumen u satisface una ecuación

Por ejemplo, una luz de lámpara de filamento de tungsteno genera calor, por lo que tendría un valor distinto de cero positivo para q cuando se enciende. Mientras la luz se apaga, el valor de q para el filamento de tungsteno sería cero.

Resolver la ecuación del calor mediante series de Fourier

La siguiente técnica de solución para la ecuación del calor fue propuesta por Joseph Fourier en su tratado thorié analytique de la chaleur, publicado en 1822 - Consideremos la ecuación del calor de una variable espacio. Esto podría ser utilizado para modelar la conducción de calor en una varilla. La ecuación es

donde u = u es una función de dos variables x y t. Aquí

  • x es la variable de espacio, por lo que x?, donde L es la longitud de la varilla.
  • t es la variable de tiempo, por lo que t = 0.

Asumimos la condición inicial

donde se da la función f, y las condiciones de contorno

Tratemos de encontrar una solución que no es cero idénticamente satisfacer las condiciones de frontera, pero con la siguiente propiedad: u es un producto en el que la dependencia de u en x, t se separa, es decir:

Esta técnica se llama solución de separación de variables. Sustituyendo u de nuevo en la ecuación,

Desde el lado de la mano derecha sólo depende de x y el lado izquierdo sólo en T, ambas partes son iguales a un valor constante -?. Por lo tanto:

y

Ahora vamos a demostrar que las soluciones no triviales de los valores de? = 0 no puede ocurrir:

  • Supongamos que? <0. Entonces existen números reales, B, C de tal manera que desde que obtenemos X = X = 0 y por lo tanto B = C = 0 lo que implica u es idénticamente 0.
  • Supongamos que? = 0. Entonces existen números reales B, C tal que X = Bx C. A partir de la ecuación llegamos a la conclusión de la misma manera que en el 1 que u es idénticamente 0.
  • Por lo tanto, debe ser el caso de que? > 0. Entonces existen números reales A, B, C tal que y De conseguir que C = 0 y que por algún entero positivo n,
  • Esto resuelve la ecuación del calor en el caso especial de que la dependencia de u tiene la forma especial.

    En general, la suma de las soluciones a las que satisface las condiciones de contorno y también satisface. Podemos demostrar que la solución a, y viene dada por

    donde

    Generalizando la técnica de solución

    La técnica de solución utilizada anteriormente se puede extender en gran medida a muchos otros tipos de ecuaciones. La idea es que el operador uxx con las condiciones de contorno cero puede ser representado en términos de sus vectores propios. Esto conduce naturalmente a una de las ideas básicas de la teoría espectral de operadores autoadjuntos lineales.

    Considere el operador lineal? U = uxx. La secuencia infinita de funciones

    para n = 1 son vectores propios de?. En efecto

    Por otra parte, cualquier vector propio de f? con las condiciones de contorno f = f = 0 es de la forma es para algún n = 1 - Las funciones es para n = 1 forma una secuencia ortonormal con respecto a un determinado producto interno en el espacio de las funciones de valor real sobre. Esto significa

    Por último, la sucesión {en} n? N se extiende por un subespacio lineal densa de L2. Esto demuestra que en efecto hemos diagonalizada el operador?.

    La conducción de calor en los medios anisótropos no homogéneos

    En general, el estudio de la conducción de calor se basa en varios principios. El flujo de calor es una forma de flujo de energía, y como tal, es significativo para hablar de la tasa de tiempo de flujo de calor en una región del espacio.

    • La tasa de tiempo de flujo de calor en una región V está dada por un cuarto de galón cantidad dependiente del tiempo. Suponemos q tiene una densidad, por lo que
    • El flujo de calor es una función vectorial dependiente del tiempo H caracterizada de la siguiente manera: la tasa de tiempo de calor que fluye a través de un elemento de superficie infinitesimal con dS zona y con la unidad de vector normal n es

     Así, la tasa de flujo de calor en V también está dada por la integral de superficie donde n es el vector normal a la que apunta hacia el exterior en x.

    • La ley de Fourier establece que el flujo de energía de calor tiene la siguiente dependencia lineal en el gradiente de temperatura

     donde A es una matriz de 3 3 real que es simétrica y definida positiva.

    • Por el teorema de Green, la superficie anterior integral para el flujo de calor en V se puede transformar en la integral de volumen
    • La tasa de tiempo de cambio de temperatura en x es proporcional al calor que fluye en un elemento de volumen infinitesimal, donde la constante de proporcionalidad depende de una constante?

    Poniendo estas ecuaciones en conjunto da la ecuación general de flujo de calor:

    Observaciones.

    • El coeficiente? es la inversa de calor específico de la sustancia en x densidad de la sustancia en x.
    • En el caso de un medio isótropo, la matriz A es una matriz escalar igual a la conductividad térmica.
    • En el caso anisotrópico, donde la matriz de coeficientes A no es escalar, entonces una fórmula explícita para la solución de la ecuación del calor rara vez puede ser escrito. Aunque, por lo general es posible considerar el problema de Cauchy abstracto asociado y demostrar que es un problema bien planteado y/o de mostrar algunas de las propiedades cualitativas. Esto se hace generalmente por un parámetro de la teoría de semigrupos: por ejemplo, si A es una matriz simétrica, entonces el operador elíptica definida por

     es auto-adjunto y disipador, en consecuencia, por el teorema espectral que genera un semigrupo de un parámetro.

    Soluciones fundamentales

    Una solución fundamental, también llamado un núcleo del calor, es una solución de la ecuación de calor correspondiente a la condición inicial de una fuente de punto inicial de calor en una posición conocida. Éstos se pueden utilizar para encontrar una solución general de la ecuación del calor sobre ciertos dominios; ver, por ejemplo, para un tratamiento introductoria.

    En una de las variables, la función de Green es una solución del problema de valor inicial

    donde d es la función delta de Dirac. La solución a este problema es la solución fundamental

    Se puede obtener la solución general de la ecuación de una variable de calor con condición inicial u = g durante -8

    En varias variables espaciales, la solución fundamental resuelve el problema análogo

    La solución fundamental de n variables es el producto de las soluciones fundamentales en cada variable, es decir,

    La solución general de la ecuación del calor en Rn se obtiene entonces por una convolución, de modo que para resolver el problema de valor inicial con u = g, uno ha

    El problema general en un dominio S en Rn es

    ya sea con los datos de límites de Dirichlet o Neumann. La función de un verde siempre existe, pero a menos que el dominio O puede ser fácilmente descompuesto en problemas de una sola variable, no puede ser posible escribirlo explícitamente. El método de las imágenes proporciona una técnica adicional para la obtención de las funciones de Green para dominios no triviales.

    Algunas soluciones función de Green en 1D

    Una variedad de soluciones funcionales de primaria verdes en una sola dimensión, se registran aquí. En algunos de estos, es el dominio espacial. En otros, es el intervalo semi-infinito, ya sea con Neumann o condiciones de contorno de Dirichlet. Una variación adicional es que algunos de estos resolver la ecuación no homogénea

    donde f es alguna función dado de x y t.

     Ecuación problema de valor inicial homogénea de calor en

    Comentarios. Esta solución es la convolución con respecto a la variable x de la solución fundamental

    y la función g. Por lo tanto, de acuerdo con las propiedades generales de la convolución con respecto a la diferenciación, u = g * F es una solución de la misma ecuación del calor, por

    Por otra parte,

    de modo que, en los hechos generales sobre la aproximación a la identidad, F * g? g como t? 0 en varios sentidos, de acuerdo con la g específico. Por ejemplo, si se supone que g acotada y continua en I entonces F * g converge uniformemente a g como t? 0, lo que significa que u es continua en R [0, 8) con u = g.

     Problema de valor inicial en las condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas

    Comentarios. Esta solución se obtiene a partir de la fórmula anterior como se aplica a los datos de g adecuadamente extenderse a R, con el fin de ser una función impar, es decir, dejando g: =-g para todas las x. De la misma manera, la solución del problema de valor inicial en es una función impar con respecto a la variable x para todos los valores de t, y, en particular, que satisface las condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas u = 0.

     Problema de valor inicial con condiciones de contorno Neumann homogéneas

    Comentarios. Esta solución se obtiene a partir de la primera fórmula de solución tal como se aplica a la g de datos adecuadamente ampliado a R para que sea una función par, es decir, dejando g: = g para todas las x. De la misma manera, la solución del problema de valor inicial en la que R es una función par con respecto a la variable x para todos los valores de t> 0, y, en particular, ser lisa, que satisface las condiciones de contorno Neumann homogéneas ux = 0.

    Comentarios. Esta solución es la convolución con respecto a la variable t de

    y la función h. Como F es la solución fundamental de la

    la función? es también una solución de la misma ecuación del calor, y por lo tanto es de u: =? * H, gracias a las propiedades generales de la convolución con respecto a la diferenciación. Por otra parte,

    de manera que, por hechos generales sobre aproximación a la identidad,? * H? h cuando x? 0 en varios sentidos, de acuerdo con la h específica. Por ejemplo, si h se considera que es continuo en I con apoyo en [0, 8), entonces? * H converge uniformemente en compacta a H que x? 0, lo que significa que u es continua en [0, 8) [0, 8) con u = h.

     Ecuación no homogénea problema del calor de las condiciones iniciales homogéneas

    Comentarios. Esta solución es la convolución en R2, que es con respecto tanto a las variables x y t, de la solución fundamental

    y la función f, tanto significaba tal como se define en todo el R2 y idénticamente 0 para todo t? 0. Una verifica que

    que se expresa en el lenguaje de las distribuciones se convierte

    donde la distribución d es la función delta de Dirac, que es la evaluación a 0.

     Problemas en las condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas y las condiciones iniciales

    Comentarios. Esta solución se obtiene a partir de la fórmula anterior como se aplica a los datos F convenientemente ampliado a R [0,8), a fin de ser una función impar de la variable x, es decir, dejando que f: =-f para todo x y t. De la misma manera, la solución del problema es no homogénea en una función impar con respecto a la variable x para todos los valores de t, y, en particular, que satisface las condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas u = 0.

     Problemas en condiciones homogéneas con Neumann de frontera y las condiciones iniciales

    Comentarios. Esta solución se obtiene a partir de la primera fórmula tal como se aplica a los f Los datos adecuadamente extendió a R [0,8), para que sea una función par de la variable x, es decir, dejando que f: = f para todo x y t . De la misma manera, la solución del problema no homogénea en es una función par con respecto a la variable x para todos los valores de t, y, en particular, ser una función suave, que satisface las condiciones de contorno Neumann homogéneas ux = 0.

     Ejemplos

    Puesto que la ecuación del calor es lineal, soluciones de otras combinaciones de condiciones de contorno plazo, no homogénea, y las condiciones iniciales se pueden encontrar mediante la adopción de una combinación lineal apropiada de las soluciones de la función de Green anteriormente.

    Por ejemplo, para resolver

    Sea u = w v donde v w y resolver los problemas

    Del mismo modo, para resolver

    sea u = w v r donde w, v, r y resolver los problemas

    Propiedad del valor medio de la ecuación del calor

    Las soluciones de las ecuaciones de calor

    satisfacer una propiedad de valor medio análogo a las propiedades de valor medio de funciones armónicas, las soluciones de

    ,

    aunque un poco más complicado. Precisamente, si u resuelve

    y

    entonces

    donde E? es una "bola de fuego", que es un conjunto super-nivel de la solución fundamental de la ecuación del calor:

    Tenga en cuenta que

    como? ? 8 por lo que la fórmula anterior es válido para cualquiera en el conjunto de dom? lo suficientemente grande. A la inversa, cualquier función u que satisface la propiedad de valor medio por encima de en un dominio abierto de Rn R es una solución de la ecuación del calor. Esto se puede demostrar por un argumento similar a la análoga para las funciones armónicas.

    La ecuación de calor estacionario

    La ecuación de calor estacionario no es dependiente del tiempo. En otras palabras, se supone existen condiciones tales que:

    Esta condición depende de la constante de tiempo y la cantidad de tiempo transcurrido desde que se han impuesto condiciones de contorno. Por lo tanto, la condición se cumple en situaciones en las que la constante de tiempo de equilibrio es lo suficientemente rápido que la ecuación del calor dependiente del tiempo más compleja se puede aproximar por el caso estacionario. Equivalente, existe la condición estacionaria para todos los casos en los que ha pasado el tiempo suficiente que la u campo térmico ya no evoluciona en el tiempo.

    En el caso estacionario, puede existir un gradiente térmico espacial, pero si lo hace, no cambia en el tiempo. Por tanto, esta ecuación describe el resultado final de todos los problemas térmicos en los que una fuente está activada y ha pasado suficiente tiempo para que todos los gradientes de temperatura permanentes para establecerse en el espacio, después de que estos gradientes espaciales ya no cambian en el tiempo. La otra solución es para todos los gradientes de temperatura espaciales a desaparecer, así, en cuyo caso la temperatura se convierten uniforme en el espacio, también.

    La ecuación es mucho más simple y puede ayudar a entender mejor la física de los materiales sin centrarse en la dinámica del proceso de transporte de calor. Es ampliamente utilizado para problemas de ingeniería simples suponiendo que haya equilibrio de los campos de temperatura y el transporte de calor, con el tiempo.

    Estado estacionario:

    La ecuación de calor estacionario para un volumen que contiene una fuente de calor, es la ecuación de Poisson:

    En la electrostática, esto es equivalente al caso en que el espacio debajo de la consideración contiene una carga eléctrica.

    La ecuación de calor estacionario y sin una fuente de calor dentro del volumen es la ecuación de la electrostática para un volumen de espacio libre que no contiene una carga. Se describe por la ecuación de Laplace:

    donde u es la temperatura, k es la conductividad térmica y la densidad q fuente de calor.

    Aplicaciones

    La difusión de partículas

    Uno puede modelar la difusión de partículas por una ecuación que sea:

    • la concentración volumétrica de las partículas, c denota, en el caso de la difusión colectiva de un gran número de partículas, o
    • la función de densidad de probabilidad asociada a la posición de una sola partícula, denota P.

    En cualquiera de los casos, se utiliza la ecuación del calor

    o

    Tanto C y P son funciones de la posición y la hora. D es el coeficiente de difusión que controla la velocidad del proceso de difusión, y por lo general se expresa en metros al cuadrado sobre el segundo. Si el coeficiente de difusión D no es constante, sino que depende de la concentración c, entonces se obtiene la ecuación de difusión no lineal.

    El movimiento browniano

    La trayectoria aleatoria de una sola partícula sujeta a la ecuación de difusión de partículas es un movimiento browniano. Si se coloca una partícula en R = 0 en el instante t = 0, entonces la función de densidad de probabilidad asociada con el vector de posición de la partícula R será el siguiente:

    que es una distribución normal evoluciona en el tiempo.

    Ecuación de Schrödinger para una partícula libre

    Con una simple división, la ecuación de Schrödinger para una sola partícula de masa m en la ausencia de cualquier campo de fuerza aplicada se puede reescribir de la siguiente manera:

    ,

    donde i es la unidad imaginaria, h es la reducción de la constante de Planck, y? es la función de onda de la partícula.

    Esta ecuación es formalmente similar a la ecuación de difusión de partículas, que se obtiene a través de la siguiente transformación:

    La aplicación de esta transformación de las expresiones de las funciones de Green determinados en el caso de la difusión de partículas produce las funciones de Green de la ecuación de Schrödinger, que a su vez pueden ser utilizados para obtener la función de onda en cualquier momento a través de una integral de la función de onda en t = 0:

    con

    Observación: esta analogía entre la mecánica cuántica y la difusión es puramente formal. Físicamente, la evolución de la función de onda satisface la ecuación de Schrödinger podría tener un origen que no sea de difusión.

    La difusividad térmica en polímeros

    Una aplicación práctica directa de la ecuación del calor, en conjunción con la teoría de Fourier, en coordenadas esféricas, es la medición de la difusividad térmica de polímeros. El método teórico-experimental de doble demostrado por estos autores es aplicable a caucho y diversos otros materiales de interés práctico.

    Otras aplicaciones

    La ecuación del calor surge en el modelado de una serie de fenómenos y se utiliza a menudo en las matemáticas financieras en el modelado de opciones. Ecuación diferencial La famosa opción de modelo de valoración Negro-Scholes se puede transformar en la ecuación del calor que permite soluciones relativamente fáciles de una carrocería familiar de las matemáticas. Muchas de las extensiones de los modelos de opciones simples no tienen soluciones de forma cerrada y por lo tanto debe resolverse numéricamente para obtener un precio opción de modelado. La ecuación que describe la presión de difusión en un medio poroso es idéntica en forma con la ecuación del calor. Problemas de difusión que se ocupan de Dirichlet, Neumann y condiciones de contorno Robin han cerrado las soluciones analíticas de forma. La ecuación del calor también es ampliamente utilizado en el análisis de imágenes y en la máquina de aprendizaje-como la teoría de la conducción detrás de escala-espacio o métodos gráfico Laplaciano. La ecuación del calor puede ser resuelto de manera eficiente numéricamente utilizando el método de Crank-Nicolson de. Este método puede extenderse a muchos de los modelos sin solución de forma cerrada, ver por ejemplo.

    Una forma abstracta de la ecuación del calor en colectores proporciona un acercamiento importante al Teorema del Índice de Atiyah-Singer, y ha dado lugar a mucho más trabajo en ecuaciones de calor en la geometría de Riemann.