Rotación alrededor de un eje fijo, La traducción y la rotación, Cinemática, Dinámica, Expresión vectorial, Ejemplos y aplicaciones



Rotación alrededor de un eje fijo es un caso especial de movimiento de rotación. La hipótesis de eje fijo excluye la posibilidad de un eje en movimiento, y no se puede describir fenómenos tales como bamboleo o de precesión. De acuerdo con el teorema de Euler rotación, rotación simultánea alrededor de más de un eje al mismo tiempo es imposible. Si dos rotaciones se ven obligados a la vez, aparecerá un nuevo eje de rotación.

Este artículo se supone que la rotación también es estable, de manera que ningún par es necesario para mantenerlo en marcha. La cinemática y la dinámica de rotación alrededor de un eje fijo de un cuerpo rígido son matemáticamente mucho más simple que los de la libre rotación de un cuerpo rígido, sino que son completamente análogas a las de movimiento lineal a lo largo de una única dirección fija, que no es cierto para la rotación libre de un cuerpo rígido. Las expresiones para la energía cinética del objeto, y para las fuerzas sobre las partes del objeto, también son más simples para la rotación alrededor de un eje fijo, que para el movimiento de rotación general. Por estas razones, la rotación alrededor de un eje fijo típicamente se enseña en cursos introductorios de física después de los estudiantes han dominado movimiento lineal; la generalidad completo de movimiento de rotación no se enseña generalmente en las clases de introducción a la física.

La traducción y la rotación

Cinemática

Desplazamiento angular

Una partícula se mueve en un círculo de radio. Después de haber pasado una longitud de arco, su posición angular es relativo a su posición original, donde.

En las matemáticas y la física, es habitual el uso de las unidades de radianes naturales en lugar de grados o revoluciones. Las unidades se convierten de la siguiente manera:

Un desplazamiento angular es un cambio en la posición angular:

donde es el desplazamiento angular, es la posición angular inicial es la posición angular final.

Velocidad angular y la velocidad angular

La velocidad angular es el cambio en el desplazamiento angular por unidad de tiempo. El símbolo de velocidad angular es y las unidades son típicamente rad s-1. Velocidad angular es la magnitud de la velocidad angular.

La velocidad angular instantánea está dada por

Utilizando la fórmula para la posición angular y dejar, tenemos también

donde es la velocidad de traslación de la partícula.

La velocidad angular y la frecuencia están relacionadas por

.

Aceleración angular

Un cambio de velocidad angular indica la presencia de una aceleración angular en el cuerpo rígido, típicamente medido en rad s-2. La aceleración angular media en un intervalo de tiempo? T está dada por

La aceleración instantánea una viene dada por

Por lo tanto, la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular, al igual que la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad.

La aceleración de traslación de un punto en el objeto giratorio está dada por

donde r es el radio o distancia desde el eje de rotación. Esta es también la componente tangencial de la aceleración: es tangencial a la dirección de movimiento del punto. Si este componente es 0, el movimiento es el movimiento circular uniforme, y los cambios de velocidad sólo en la dirección.

La aceleración radial está dada por

.

Se dirige hacia el centro del movimiento de rotación, y, a menudo se llama la aceleración centrípeta.

La aceleración angular es causada por el par de torsión, que puede tener un valor positivo o negativo de acuerdo con la convención de frecuencia angular positivo y negativo. La relación del par de torsión y la aceleración angular está dado por el momento de inercia:.

Las ecuaciones de la cinemática

Cuando la aceleración angular es constante, las cinco cantidades de desplazamiento angular, velocidad angular inicial, la velocidad angular final, la aceleración angular, y la hora pueden estar relacionados por cuatro ecuaciones de la cinemática:

Dinámica

Momento de inercia

El momento de inercia de un objeto, simbolizado por I, es una medida de la resistencia del objeto a los cambios a su rotación. El momento de inercia se mide en metros kilogramo. Depende de la masa del objeto: el aumento de la masa de un objeto aumenta el momento de inercia. También depende de la distribución de la masa: la distribución de la masa más lejos del centro de rotación aumenta el momento de inercia por un mayor grado. Para una sola partícula de masa una distancia desde el eje de rotación, el momento de inercia está dado por

Esfuerzo de torsión

Par t es el efecto de torsión de una fuerza F aplicada a un objeto giratorio, que está en la posición r desde su eje de rotación. Matemáticamente,

donde denota el producto vectorial. Un par neto que actúa sobre un objeto producirá una aceleración angular del objeto según

como F = ma en la dinámica lineal.

El trabajo realizado por un par de torsión que actúa sobre un objeto es igual a la magnitud de los tiempos de par el ángulo a través del cual se aplica el par de torsión:

La potencia de un par de torsión es igual al trabajo realizado por el par de torsión por unidad de tiempo, por lo tanto:

Momento Angular

El momento angular L es una medida de la dificultad de llevar a un objeto giratorio para descansar. Lo administra

El momento angular está relacionada con la velocidad angular

como p = mv en la dinámica lineal.

Par y momento angular se relacionan de acuerdo con

como F = dp/dt en la dinámica lineal. En la ausencia de un par externo, el momento angular de un cuerpo permanece constante. La conservación del momento angular se demuestra especialmente en el patinaje artístico: al tirar de los brazos más cerca del cuerpo durante un giro, se reduce el momento de inercia, y por lo que la velocidad angular se incrementa.

Energía cinética

El Krot energía cinética debido a la rotación del cuerpo está dada por

como Ktrans = 1/2mv2 en la dinámica lineal.

Expresión vectorial

El desarrollo anterior es un caso especial de movimiento de rotación general. En el caso general, desplazamiento angular, velocidad angular, aceleración angular y el par motor son considerados como vectores.

Un desplazamiento angular se considera que es un vector, apuntando a lo largo del eje, de magnitud igual a la de. Una regla de la mano derecha se utiliza para encontrar en qué dirección apunta a lo largo del eje, si los dedos de la mano derecha se encrespan apuntar en la forma en que el objeto ha girado, y luego el pulgar de la mano derecha señala en la dirección de la vectorial.

El vector de velocidad angular también apunta a lo largo del eje de rotación en la misma forma que los desplazamientos angulares que causa. Si el disco gira en sentido antihorario, visto desde arriba, sus puntos de vector de velocidad angular hacia arriba. Del mismo modo, el vector aceleración angular puntos a lo largo del eje de rotación en la misma dirección que la velocidad angular sería señalar si la aceleración angular se mantiene durante un largo tiempo.

Los puntos de vector de par a lo largo del eje alrededor del cual el par de torsión tiende a provocar la rotación. Para mantener la rotación alrededor de un eje fijo, el vector total de par de torsión tiene que ser a lo largo del eje, de modo que sólo cambia la magnitud y no la dirección del vector de velocidad angular. En el caso de una bisagra, sólo el componente del vector de par a lo largo del eje tiene efecto sobre la rotación, otras fuerzas y pares de torsión están compensado por la estructura.

Ejemplos y aplicaciones

Velocidad angular constante

El caso más simple de rotación alrededor de un eje fijo que es de velocidad angular constante. Entonces el par de torsión total es cero. Para el ejemplo de la rotación de la Tierra alrededor de su eje, hay muy poca fricción. Para un ventilador, el motor se aplica un par de torsión para compensar la fricción. El ángulo de rotación es una función lineal del tiempo, el cual módulo 360 es una función periódica.

Un ejemplo de esto es el problema de dos cuerpos con órbitas circulares.

Fuerza centrípeta

Esfuerzo de tracción interna proporciona la fuerza centrípeta que mantiene un objeto girando juntos. Un modelo de cuerpo rígido descuida la tensión correspondiente. Si el cuerpo no es rígido esta variedad hará que se cambie de forma. Esto se expresa como la forma cambiante objeto debido a la "fuerza centrífuga".

Cuerpos celestes que giran alrededor de sí a menudo tienen órbitas elípticas. El caso especial de las órbitas circulares es un ejemplo de una rotación alrededor de un eje fijo: este eje es la línea a través del centro de masa perpendicular al plano de movimiento. La fuerza centrípeta es proporcionada por la gravedad, véase también el problema de dos cuerpos. Esto por lo general también se aplica para un cuerpo celeste de hilado, por lo que no necesita ser sólida para mantener juntos, a menos que la velocidad angular es demasiado alta en relación a su densidad. Por ejemplo, un cuerpo celeste hilado de agua debe tener un mínimo de 3 horas y 18 minutos para girar, independientemente del tamaño o el agua se separará. Si la densidad del fluido es mayor el tiempo puede ser menor. Ver periodo orbital.