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En el estudio de la probabilidad, dado al menos dos variables aleatorias X, Y, ..., que están definidos en un espacio de probabilidad, la distribución de probabilidad conjunta para X, Y, ... es una distribución de probabilidad que da la probabilidad de que cada uno de X, Y, ... cae en cualquier rango particular o un conjunto discreto de valores especificados para esa variable. En el caso de sólo dos variables aleatorias, esto se llama una distribución bivariada, pero el concepto se generaliza a cualquier número de variables aleatorias, dando una distribución multivariante.

La distribución de probabilidad conjunta se puede expresar en términos de una función de distribución acumulada conjunta o en términos de una función de densidad de probabilidad conjunta o función de probabilidad conjunta. Estos a su vez se pueden utilizar para encontrar otros dos tipos de distribuciones: la distribución marginal dando las probabilidades para cualquiera de las variables sin referencia a ningún rangos específicos de los valores de las otras variables, y la distribución de probabilidad condicional que dan las probabilidades para cualquier subconjunto de las variables condicionales en valores particulares de las variables restantes.

Ejemplo

Considere el rollo de un dado y dejar que si el número es par y de otra manera. Por otra parte, dejar que si el número es primo y de otra manera. Entonces, la distribución conjunta de y, expresado como una función de masa de probabilidad, es

Distribuciones mencionadas Importantes

Distribuciones de conjuntos con nombre que se presentan con frecuencia en las estadísticas incluyen la distribución normal multivariante, la distribución estable multivariado, la distribución multinomial, la distribución multinomial negativo, la distribución hipergeométrica multivariante, y la distribución elíptica.

Distribución acumulativa

La distribución de probabilidad conjunta para un par de variables aleatorias se puede expresar en términos de su función de distribución acumulativa

Función de densidad o función de masa

Caso discreto

La función de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias discretas es igual a:

En general, la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas es igual a:

Esta identidad se conoce como la regla de la cadena de la probabilidad.

Como se trata de probabilidades, que tenemos en el caso de dos variables

que generaliza para las variables aleatorias discretas a

Caso Continuo

La función de densidad de probabilidad conjunta fX, Y para variables aleatorias continuas es igual a:

donde fY | X y FX | Y dan las distribuciones condicionales de Y dado X = x, y de X dado Y = y, respectivamente, y FX y FY dan las distribuciones marginales de X e Y respectivamente.

Una vez más, ya que estos son distribuciones de probabilidad, uno tiene

Caso mixto

La "densidad conjunta mixta" se puede definir en los pocos casos en los que una variable aleatoria X es continua, sino que el otro Y es variable aleatoria discreta, o viceversa, como:

Un ejemplo de una situación en la que se puede desear encontrar la distribución acumulativa de una variable aleatoria que es continua y la otra variable aleatoria que es discreta surge cuando se desea utilizar una regresión logística para predecir la probabilidad de un resultado Y binaria condicional en el valor de un resultado distribuido continuamente X. Uno debe utilizar la densidad conjunta "mixta" cuando la búsqueda de la distribución acumulativa de este resultado binario porque las variables de entrada fueron inicialmente definidos de tal manera que no se puede asignar colectivamente que sea una función de densidad de probabilidad o una función de masa de probabilidad. Formalmente, fX, Y es la función de densidad de probabilidad de con respecto a la medida producto en los respectivos soportes de X e Y. Cualquiera de estas dos descomposiciones a continuación, se puede utilizar para recuperar la función de distribución acumulativa conjunta:

La definición generaliza a una mezcla de un número arbitrario de variables aleatorias discretas y continuas.

Distribuciones generales multidimensionales

Como se mencionó anteriormente, la función de distribución acumulada de un vector de variables aleatorias se define como

La distribución conjunta de dos variables aleatorias se puede extender a muchas variables aleatorias X1, ... Xn mediante la adición de ellos secuencialmente con la identidad

donde

y

; La densidad de la distribución marginal es

La función de distribución conjunta es

y la función de distribución condicional es en consecuencia

Expectativa lee

Supongamos que h es lo suficientemente lisa y para, a continuación, por la integración iterada por partes,

Distribución conjunta de las variables independientes

Si para las variables aleatorias discretas para todo x e y, o para las variables aleatorias absolutamente continuas para todo x e y, entonces X e Y se dice que son independientes. Esto significa que la adquisición de cualquier información sobre el valor de una o más de las variables aleatorias conduce a una distribución condicional de cualquier otra variable que es idéntica a su distribución incondicional, por lo que ninguna variable proporciona ninguna información acerca de cualquier otra variable.

Distribución conjunta de las variables dependientes condicionalmente

Si un subconjunto de las variables es condicionalmente dependiente dado otro subconjunto de estas variables, entonces la distribución conjunta es igual a. Por lo tanto, se puede representar de manera eficiente por las distribuciones de probabilidad inferior-dimensionales y. Tales relaciones de independencia condicional se pueden representar con una red bayesiana.