Diferencia finita, Diferencias adelante, atrás, y centrales, Relación con derivados, Métodos de diferencias finitas, n-ésima diferencia, Serie de Newton, Cálculo de las diferencias finitas, Reglas para el cálculo de los operadores en diferencias finitas, Las generalizaciones, Diferencia finita en varias variables

A diferencia finita es una expresión matemática de la forma f - f. Si una diferencia finita se divide por b - a, se obtiene un cociente de diferencias. La aproximación de los derivados por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas para la solución numérica de las ecuaciones diferenciales, especialmente problemas de contorno.

Relaciones de recurrencia pueden escribirse como ecuaciones en diferencias mediante la sustitución de la notación de iteración con diferencias finitas.

Diferencias adelante, atrás, y centrales

Tres formas son comúnmente considerados: adelante, atrás, y las diferencias central.

A diferencia de avanzar es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h puede ser variable o constante.

Una diferencia hacia atrás utiliza los valores de la función en x y x - h, en lugar de los valores de x y x h:

 Por último, la diferencia central está dada por

Relación con derivados

La derivada de una función f en un punto x se define por el límite

Si h tiene un valor fijo en lugar de aproximarse a cero, entonces el lado derecho de la ecuación anterior se escribiría

Por lo tanto, la diferencia hacia adelante dividido por h se aproxima a la derivada cuando h es pequeña. El error en esta aproximación se puede derivar de teorema de Taylor. Suponiendo que f es continuamente diferenciable, el error se

La misma fórmula se cumple para la diferencia de versiones anteriores:

Sin embargo, la diferencia central produce una aproximación más precisa. Su error es proporcional al cuadrado de la distancia y f 'y la aplicación de una fórmula de diferencias central para la derivada de f' en x, se obtiene la aproximación diferencia central de la segunda derivada de f:

Segundo orden central

Del mismo modo podemos aplicar otras fórmulas de diferenciación de manera recursiva.

Segunda retransmisión de órdenes

Más en general, la de orden n hacia adelante, las diferencias atrás y centrales se recogen, respectivamente, por:

Tenga en cuenta que la diferencia central, por raro, se han multiplicado por los no enteros. Esto es a menudo un problema porque equivale a cambiar el intervalo de discretización. El problema puede remediarse tomando el promedio de y.

La relación de estas diferencias de orden superior con los respectivos derivados es muy sencillo:

Diferencias de orden superior también se pueden utilizar para construir mejores aproximaciones. Como se mencionó anteriormente, la diferencia de primer orden se aproxima la derivada de primer orden hasta el término de orden h. Sin embargo, la combinación

se aproxima a f 'hasta por un término de orden h2. Esto puede ser demostrado mediante la ampliación de la expresión anterior en la serie de Taylor, o mediante el uso del cálculo de diferencias finitas, se explica a continuación.

Si es necesario, la diferencia finita puede ser centrada alrededor de cualquier punto mediante la mezcla hacia adelante, hacia atrás, y las diferencias central.

Granos de tamaño arbitrario

El uso de un poco de álgebra lineal, se puede construir con bastante facilidad aproximaciones, que muestra un número arbitrario de puntos a la izquierda y un número de puntos a la derecha del punto central, para cualquier orden de derivado. Esto implica la resolución de un sistema lineal de tal manera que la expansión de Taylor de la suma de esos puntos, alrededor del punto central, y se aproxima a la expansión de Taylor de la derivada deseada.

Esto es útil para la diferenciación de una función en una cuadrícula, en donde, a medida que uno se aproxima al borde de la cuadrícula, uno debe probar cada vez menos puntos en un lado.

Los detalles se describen en estas notas.

Propiedades

  • Por todo positivo k y n
  • Leibniz regla:

Métodos de diferencias finitas

Una aplicación importante de las diferencias finitas es en el análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricos, que tienen como objetivo la solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, respectivamente. La idea es reemplazar los derivados que aparecen en la ecuación diferencial por diferencias finitas que les aproximados. Los métodos resultantes se denominan métodos de diferencias finitas.

Las aplicaciones más comunes del método de las diferencias finitas están en ciencia e ingeniería computacional disciplinas, como la ingeniería térmica, mecánica de fluidos, etc

n-ésima diferencia

La diferencia hacia adelante n-ésimo de una función f viene dada por

donde es el coeficiente binomial. Diferencias a plazo aplicados a una secuencia a veces se llama el binomio transformación de la secuencia, y tienen una serie de propiedades combinatorias interesantes.

Delantero diferencias pueden ser evaluados utilizando la integral Nrlund-Rice. La representación integral para este tipo de serie es interesante porque la integral a menudo puede ser evaluada utilizando la expansión asintótica o técnicas de punto de silla, por el contrario, la serie de diferencia hacia adelante puede ser extremadamente difícil de evaluar numéricamente, debido a que los coeficientes binomiales crecen rápidamente para n grande .

Serie de Newton

La serie de Newton consiste en los términos de la ecuación en diferencias Newton hacia adelante, el nombre de Isaac Newton, en esencia, es la fórmula de interpolación de Newton, publicado por primera vez en su Principia Mathematica en 1687, a saber, el análogo discreto de la Taylor expansión continua,

que vale para cualquier función f polinómica y para la mayoría de las funciones analíticas. Aquí, la expresión

es el coeficiente binomial, y

es la "caída factorial" o "inferior factorial", mientras que el producto vacío 0 se define como 1 - En este caso particular, no es una suposición de pasos de la unidad de los cambios en los valores de x, h = 1 de la generalización a continuación.

Tenga en cuenta también la correspondencia formal de este resultado con el teorema de Taylor. Históricamente, este, así como la identidad Chu-Vandermonde,

, Se incluyen en las observaciones que vencieron al sistema del cálculo umbral.

Para ilustrar cómo se puede utilizar la fórmula de Newton en la práctica, considere los primeros términos de la sucesión de Fibonacci f = 2, 2, 4 ... Uno puede encontrar un polinomio que reproduce estos valores, calculando primero una tabla de diferencia, y a continuación, sustituyendo las diferencias que corresponden a x0 en la fórmula de la siguiente manera,

Para el caso de pasos no uniformes en los valores de x, Newton calcula las diferencias divididas,

la serie de productos,

y el polinomio resultante es el producto escalar,.

En el análisis con los números p-adic, estados teorema de Mahler que la suposición de que f es una función polinómica puede ser debilitada todo el camino a la suposición de que f es meramente continua.

El teorema de Carlson ofrece condiciones necesarias y suficientes para que una serie Newton que ser único, si existe. Sin embargo, no será, en general, existe una serie Newton.

La serie de Newton, junto con la serie Stirling y la serie Selberg, es un caso especial de la serie general de diferencia, todos los cuales se definen en términos de diferencias hacia delante con la escala adecuada.

En una forma comprimida y ligeramente más general y nodos equidistantes la fórmula lee

Cálculo de las diferencias finitas

La diferencia hacia adelante puede ser considerado como un operador de diferencia, que mapea la función f para? H. Este operador equivale a

donde Th es el operador de desplazamiento con el paso h, definido por Th. = f, e I es el operador identidad.

La diferencia finita de órdenes superiores se puede definir de forma recursiva como? HN =? H. Otra definición equivalente es? Hn = n.

El operador de diferencia? H es un operador lineal y satisface una regla especial Leibniz indicó anteriormente,? H = g f. Declaraciones similares son válidas para las diferencias hacia atrás y hacia el centro.

Aplicar formalmente la serie de Taylor con respecto a h, se obtiene la fórmula

donde D denota el operador derivada continua, mapeo f su derivada f '. La expansión es válida cuando ambas partes actúan sobre las funciones analíticas, para h suficientemente pequeño. Por lo tanto, Th = EHD, y formalmente invertir los rendimientos exponenciales

Esta fórmula tiene en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplica a un polinomio.

Incluso para las funciones analíticas, la serie de la derecha no se garantiza la convergencia, ya que puede ser una serie asintótica. Sin embargo, se puede utilizar para obtener aproximaciones más precisas para el derivado. Por ejemplo, retención de los dos primeros términos de la serie produce la aproximación de segundo orden a f se mencionan al final de la sección de diferencias de orden superior.

Las fórmulas análogas para los operadores en diferencias hacia atrás y hacia el centro son

El cálculo de las diferencias finitas se relaciona con el cálculo del umbral combinatoria. Esta correspondencia sistemática es notablemente debido a la identidad de los conmutadores de las cantidades umbral a sus análogos continuo,

Un gran número de relaciones diferenciales formales del cálculo estándar que implican funciones f por lo tanto, mapa sistemáticamente Umbral análogos de diferencias finitas que implican f.

Por ejemplo, el análogo de umbral de un xn monomio es una generalización de la anterior, correspondientes factorial, de modo que

por lo tanto, la fórmula anterior Newton interpolación, y así sucesivamente.

Por ejemplo, el seno umbral es

Al igual que en el límite continuo, la función propia de? H/h también pasa a ser una exponencial,

y por lo tanto de Fourier sumas de funciones continuos se asignan fácilmente al umbral sumas de Fourier fielmente, es decir, con la participación de los mismos coeficientes de Fourier se multiplican estos exponenciales base Umbral. Esto Umbral exponencial tanto equivale a la función generadora exponencial de los símbolos Pochhammer.

Así, por ejemplo, la función delta de Dirac asigna a su correspondiente umbral, la función seno cardinal,

y así sucesivamente. Ecuaciones de diferencia de frecuencia se pueden resolver con técnicas muy similares a los de la solución de ecuaciones diferenciales.

El operador inverso del operador de diferencia hacia adelante, por lo que entonces la integral umbral, es la suma indefinida u operador antidifference.

Reglas para el cálculo de los operadores en diferencias finitas

Análogo a reglas para encontrar la derivada, tenemos:

  • Constante regla: Si c es una constante, entonces
  • Linealidad: si a y b son constantes,

Todas las reglas anteriores se aplican igualmente a cualquier operador de diferencia, incluso con respecto a.

  • Estado del producto:
  • Regla del cociente:

 o

  • Normas de totalización:

Las generalizaciones

  • A diferencia finita generalizada se define generalmente como

donde es su vector de coeficientes. Una diferencia infinita es una generalización más, donde la suma finita anterior se sustituye por una serie infinita. Otra forma de generalización está haciendo coeficientes dependen de punto:, reconociendo de esta manera las diferencias finitas ponderado. También se puede hacer paso depende de punto:. Estas generalizaciones son útiles para la construcción de diferentes módulo de continuidad.

  • Operador Diferencia generaliza a Mbius inversión sobre un conjunto parcialmente ordenado.
  • Como un operador de convolución: A través del formalismo de la álgebra de incidencia, operadores de diferencia y otra inversión de Möbius puede ser representado por convolución con una función en el conjunto parcialmente ordenado, llamada la función de Möbius; para el operador de diferencia, es la secuencia.

Diferencia finita en varias variables

Diferencias finitas pueden ser considerados en más de una variable. Ellos son análogos a los derivados parciales en varias variables.

Algunas aproximaciones parciales derivados son:

Alternativamente, para aplicaciones en las que el cálculo de es el paso más costoso y ambas primera y segunda derivadas debe ser calculado, una fórmula más eficiente para el último caso es:

ya que los únicos valores que se computará que no estén ya necesarios para las cuatro ecuaciones anteriores son y.