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En matemáticas, los números de Stirling se presentan en una variedad de problemas analíticos y combinatoria. Ellos llevan el nombre de James Stirling, quien los introdujo en el siglo 18. Dos conjuntos diferentes de números llevan este nombre: los números de Stirling de primera especie y los números de Stirling de segunda especie.

Notación

Varios notaciones diferentes para los números de Stirling están en uso. Números de Stirling de la primera clase están escritos con un pequeño s, y los del segundo tipo con un gran S. Los números de Stirling de segunda clase nunca son negativas, pero los de la primera clase pueden ser negativos, por lo que hay notaciones de los "números de Stirling sin firmar de la primera clase", que son los números de Stirling sin sus signos, notaciones comunes son:

de los números de Stirling ordinarias de la primera clase,

de los números de Stirling sin firmar de la primera clase, y

de los números de Stirling de segunda especie.

Abramowitz y Stegun utilizan una mayúscula S y un blackletter S, respectivamente, para el primer y segundo tipos de número de Stirling. La notación de corchetes y llaves, en analogía a los coeficientes binomiales, se introdujo en 1935 por Jovan Karamata y promovió más tarde por Donald Knuth. La motivación matemática para este tipo de notación, así como el número de Stirling fórmulas adicional, se puede encontrar en la página para los números de Stirling y funciones generadoras exponenciales.

Números de Stirling de primera especie

Los números de Stirling de la primera clase son los coeficientes en la expansión

donde denota el factorial de caer,

Tenga en cuenta que 0 = 1, ya que es un producto vacío. Combinatorialistas también a veces utilizan la notación para el factorial de caer, y para el aumento factorial.

Los números de Stirling sin firmar de la primera clase,

, Contar el número de permutaciones de n elementos con k ciclos disjuntos.

Números de Stirling de segunda especie

Números de Stirling de segunda especie cuentan el número de formas de partición de un conjunto de n elementos en k subconjuntos no vacíos. Ellos se denotan por o. La suma

es el n-ésimo número de Bell.

Con la caída de los factoriales, podemos caracterizar los números de Stirling de segunda especie por la identidad

Lah números

Los números Lah a veces se llaman números de Stirling de la tercera clase. Véase, por ejemplo.

Relaciones Inversion

Los números de Stirling de los primero y segundo tipo pueden ser considerados como inversos el uno del otro:

y

¿dónde está el delta de Kronecker. Estas dos relaciones pueden ser entendidas como relaciones inversas de matrices. Es decir, vamos s ser la matriz triangular inferior de los números de Stirling de primera clase, por lo que tiene elementos de la matriz

Entonces, la inversa de esta matriz es S, la matriz triangular inferior de los números de Stirling de segunda especie. Simbólicamente, se escribe

donde los elementos de matriz de S son

Tenga en cuenta que aunque s y S son infinitos, por lo que el cálculo de una entrada de producto implica una suma infinita, las multiplicaciones de matrices funcionan porque estas matrices son triangular inferior, por lo que sólo un número finito de términos de la suma son distintos de cero.

Una generalización de la relación inversión da el enlace con los números de Lah

Symmetric fórmulas

Abramowitz y Stegun dan las siguientes fórmulas simétrica que se relacionan con los números de Stirling de la primera y segunda clase.

y