Función logística, Ecuación diferencial logística, En ecología: modelos de crecimiento poblacional, En estadística y aprendizaje automático, En la medicina: el modelado del crecimiento de los tumores, En la química: modelos de reacción, En física: distribución de Fermi, En la lingüística: cambio de idioma, En economía: la difusión de las innovaciones, Función logística Doble

Una función logística o curva logística es una función sigmoide común, por su nombre en 1844 o 1845 por Pierre François Verhulst que estudió en relación con el crecimiento demográfico. Una curva logística generalizada puede modelar el comportamiento "en forma de S" de crecimiento de alguna población de P. La fase inicial de crecimiento es aproximadamente exponencial; entonces, como empieza la saturación, el crecimiento se ralentiza, y en la madurez, se detiene el crecimiento.

Una función logística simple puede ser definido por la fórmula

dónde podría considerarse que la variable P para denotar una población, donde e es el número de Euler y la variable t puede ser considerado como el tiempo. Para los valores de t en el intervalo de números reales -8-8, se obtiene la curva S se muestra. En la práctica, debido a la naturaleza de la función exponencial y, que es suficiente para calcular t de más de una pequeña gama de los números reales, tales como.

La función logística tiene aplicaciones en una amplia gama de campos, incluyendo las redes neuronales artificiales, la biología, la biomatemática, la demografía, la economía, la química, la psicología matemática, probabilidad, la sociología, la ciencia política, y las estadísticas. Tiene una derivada calculada fácilmente:

También tiene la propiedad de que

Por lo tanto, la función es impar.

Ecuación diferencial logística

La función logística es la solución de la ecuación diferencial no lineal de primer orden sencillo

con la condición de contorno P = 1/2 - Esta ecuación es la versión continua del mapa logístico.

El comportamiento cualitativo se entiende fácilmente en términos de la línea de fase: la derivada es 0 a P = 0 o 1 y el derivado es positivo para P entre 0 y 1, y negativo para P por encima de 1 o menor que 0. Esto produce un equilibrio inestable a 0, y un equilibrio estable en 1, y por lo tanto para cualquier valor de P mayor que 0 y menor que 1, P crece a 1.

Uno puede encontrar fácilmente la solución a ser

La elección de la constante de integración ec = 1 da la otra forma bien conocida de la definición de la curva logística

Más cuantitativamente, como puede verse a partir de la solución analítica, la curva logística muestra un crecimiento exponencial temprana para t negativos, lo que ralentiza el crecimiento lineal de pendiente 1/4 cerca de t = 0, a continuación, se acerca y = 1 con una brecha que decae exponencialmente.

La función logística es la inversa de la función logit natural y por lo que puede ser utilizado para convertir el logaritmo de las probabilidades en una probabilidad; la conversión de la relación de probabilidad logarítmica de dos alternativas también toma la forma de una curva logística.

La función sigmoidea logística se relaciona con la tangente hiperbólica, Ap por

En ecología: modelos de crecimiento poblacional

Una aplicación típica de la ecuación logística es un modelo común de crecimiento de la población, debido inicialmente a Pierre-François Verhulst en 1838, donde la tasa de reproducción es proporcional a la población actual y la cantidad de recursos disponibles, todos en igualdad de condiciones. La ecuación de Verhulst se publicó después de Verhulst había leído Thomas Malthus "Ensayo sobre el principio de la población. Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento auto-limitante de una población biológica. La ecuación también a veces se llama la ecuación de Verhulst-Pearl después de su redescubrimiento en 1920 - Alfred J. Lotka deriva la ecuación de nuevo en 1925, que calificó la ley de crecimiento de la población.

Dejar que P representa el tamaño de la población y t representa el tiempo, este modelo se formaliza mediante la ecuación diferencial:

donde la constante r define la tasa de crecimiento y K es la capacidad de carga.

En la ecuación, la tasa de crecimiento sin trabas temprana es modelado por el primer término rP. El valor de la tasa r representa el aumento proporcional de la población P en una unidad de tiempo. Más tarde, como la población crece, el segundo término, que multiplica a cabo es-rP2/K, se hace más grande que el primero, ya que algunos miembros de la población P interfieren entre sí, al competir por algún recurso crítico, tales como alimento o espacio de vida. Este efecto antagonista se llama el cuello de botella, y se modela por el valor del parámetro K. La competencia disminuye la tasa de crecimiento combinado, hasta que el valor de P deja de crecer.

Dividiendo ambos lados de la ecuación por K da

Ahora ajuste da la ecuación diferencial

Porque tenemos el caso particular con el que empezamos.

En ecología, la especie se refieren a veces como r-estratega o K-estratega, dependiendo de los procesos selectivos que han dado forma a sus estrategias de vida. La solución de la ecuación es

donde

¿Qué quiere decir que K es el valor límite de P: el valor más alto que la población puede llegar a dar un tiempo infinito. Es importante destacar que la capacidad de carga se alcanza asintóticamente independientemente del valor inicial P> 0, también en caso de que P> K.

Variable en el tiempo la capacidad de carga

Dado que las condiciones ambientales influyen en la capacidad de carga, como consecuencia, puede ser variable en el tiempo: K> 0, lo que lleva a la siguiente modelo matemático:

Un caso particularmente importante es el de la capacidad de carga que varía de forma periódica con periodo T:

Se puede demostrar que, en tal caso, independientemente del valor inicial P> 0, P tenderá a una única solución periódica P *, cuyo período es T.

Un valor típico de T es de un año: en tal caso, K se reflejan las variaciones periódicas de las condiciones climáticas.

Otra generalización es interesante tener en cuenta que la capacidad de carga K es una función de la población en un momento anterior, la captura de un retraso en la población manera modifica su medio ambiente. Esto conduce a una ecuación logística de retardo, que tiene un comportamiento muy rica, con biestabilidad en algún rango de parámetros, así como una descomposición monotónica a, el crecimiento exponencial suave cero, crecimiento ilimitado puntuado, el crecimiento puntuado o alternancia a un nivel estacionario, el enfoque oscilatoria a un nivel estacionario, oscilaciones sostenibles, singularidades de tiempo finito, así como la muerte de tiempo finito.

En estadística y aprendizaje automático

La regresión logística

Las funciones logísticas se utilizan en varios papeles en las estadísticas. En primer lugar, son la función de distribución acumulativa de la familia de distribuciones de logística. En segundo lugar que se utilizan en la regresión logística para modelar cómo la probabilidad p de un evento puede ser afectada por una o más variables explicativas: un ejemplo sería tener el modelo

donde x es la variable explicativa y a y b son los parámetros del modelo para el montaje.

Una aplicación importante de la función logística es en el modelo de Rasch, utilizado en la teoría de respuesta al ítem. En particular, el modelo de Rasch forma una base para la estimación de máxima verosimilitud de las ubicaciones de los objetos o personas en un continuo, sobre la base de las colecciones de datos categóricos, por ejemplo, las capacidades de las personas en un continuo basado en las respuestas que han sido clasificados como correcta y correctos.

La regresión logística y otros modelos log-lineales también se utilizan comúnmente en el aprendizaje automático.

Las redes neuronales

Las funciones logísticas se utilizan a menudo en las redes neuronales para introducir no linealidad en el modelo y/o para sujetar a señales dentro de un rango especificado. Un elemento de red neuronal populares calcula una combinación lineal de sus señales de entrada, y se aplica una función logística acotada para el resultado, este modelo puede ser visto como un "suavizado" variante de la neurona umbral clásica.

Una opción común para las funciones de "aplastamiento", que se utilizan para recortar para grandes magnitudes para mantener la respuesta de la red neuronal delimitada activación o es

que es una función logística. Estas relaciones resultan en implementaciones simplificadas de las redes neuronales artificiales con las neuronas artificiales. Los médicos advierten que las funciones sigmoidal que son anti-simétrica respecto al origen llevan a una convergencia más rápida que las redes de formación con backpropagation.

Una generalización y extensión de la función logística de múltiples entradas es la función de activación softmax.

En la medicina: el modelado del crecimiento de los tumores

 Ver también: curva de Gompertz # El crecimiento de los tumores

Otra aplicación de la curva logística es en la medicina, donde se utiliza la ecuación diferencial logística para modelar el crecimiento de tumores. Esta aplicación puede ser considerado una extensión del uso mencionado en el marco de la ecología. Designando con X el tamaño del tumor en el momento t, su dinámica se rigen por:

que es del tipo:

donde F es la tasa de proliferación del tumor.

Si la quimioterapia se inicia con un efecto de log-kill, la ecuación puede ser revisado para ser

donde c es la velocidad de la muerte inducida por la terapia. En el caso idealizado de la terapia muy largo, c puede ser modelado como una función periódica o como una función constante, y uno tiene que

es decir, si la tasa de mortalidad inducida por la terapia media es mayor que la tasa de proliferación basal entonces no es la erradicación de la enfermedad. Por supuesto, este es un modelo simplista de tanto el crecimiento y la terapia.

En la química: modelos de reacción

La concentración de los reactivos y productos en reacciones autocatalíticas seguir la función logística.

En física: distribución de Fermi

La función logística determina la distribución estadística de fermiones sobre los estados de energía de un sistema en equilibrio térmico. En particular, es la distribución de las probabilidades de que cada nivel de energía posible está ocupado por un fermión, según las estadísticas de Fermi-Dirac.

En la lingüística: cambio de idioma

En la lingüística, la función logística se puede utilizar para cambiar el idioma modelo: una innovación que está en primera marginal comienza a propagarse más rápidamente con el tiempo, y luego más lentamente a medida que se hace más universalmente adoptado.

En economía: la difusión de las innovaciones

La función logística se puede utilizar para ilustrar el progreso de la difusión de una innovación a través de su ciclo de vida. Históricamente, cuando se introducen nuevos productos hay una cantidad intensa de investigación y desarrollo que conduce a mejoras en la calidad y la reducción de coste. Esto conduce a un período de rápido crecimiento de la industria. Algunos de los ejemplos más famosos son: ferrocarriles, las bombillas incandescentes, la electrificación, el Ford Modelo T, el transporte aéreo y las computadoras. Con el tiempo, la mejora dramática y las oportunidades de reducción de costes se han agotado, el producto o el proceso son de uso generalizado con pocas restantes potenciales nuevos clientes y mercados se saturan.

Análisis de logística se utilizó en los documentos por varios investigadores del Instituto Internacional de Análisis de Sistemas Aplicados. Estos documentos tratan con la difusión de las diversas innovaciones, las infraestructuras y las sustituciones de fuente de energía y el papel del trabajo en la economía, así como con el ciclo económico de largo. Ciclos económicos largos fueron investigados por Robert Ayres. Cesare Marchetti publicado en los ciclos económicos largos y en la difusión de innovaciones. Libro Arnulf Grblers da cuenta detallada de la difusión de las infraestructuras, incluyendo canales, ferrocarriles, carreteras y líneas aéreas, mostrando que su difusión sigue las curvas en forma de logística.

Carlota Pérez utilizó una curva logística para ilustrar el ciclo económico de largo con las siguientes etiquetas: a partir de una era tecnológica como la irrupción, el ascenso como el frenesí, el rápido construir como la sinergia y la realización como la madurez.

Función logística Doble

La logística doble es una función similar a la función logística con numerosas aplicaciones. Su fórmula general es:

donde d es su centro y s es el factor de pendiente. Aquí "sgn" representa la función de signo.

Se basa en la curva de Gauss y gráficamente es similar a dos sigmoids logísticos idénticas unidas entre sí en el punto x = d.

Una de sus aplicaciones es la normalización no lineal de una muestra, ya que tiene la propiedad de eliminación de valores atípicos.