Polinomios ortogonales, Definición de caso 1-variable para una medida real, Ejemplos de polinomios ortogonales, Propiedades, Polinomios ortogonales multivariados



En matemáticas, una secuencia de polinomio ortogonal es una familia de polinomios tales que cualquiera de dos polinomios diferentes en la secuencia son ortogonales entre sí en virtud de algún producto interior.

Los polinomios ortogonales más utilizados son los polinomios ortogonales clásicos, que consta de los polinomios de Hermite, los polinomios de Laguerre, los polinomios de Jacobi, junto con los casos especiales de los polinomios Gegenbauer, los polinomios de Chebyshev y los polinomios de Legendre.

El campo de polinomios ortogonales desarrolladas en el siglo 19 a partir de un estudio de las fracciones continuas por PL Chebyshev y fue perseguido por AA Markov y T.J. Stieltjes. Algunos de los matemáticos que han trabajado en polinomios ortogonales incluyen Gbor Szego, Sergei Bernstein, Naum Akhiezer, Arthur Erdlyi, Yakov Geronimus, Wolfgang Hahn, Theodore Seio Chihara, Mourad Ismail, Waleed Al-Salam, y Richard Askey.

Definición de caso 1-variable para una medida real

Dada una función no decreciente de los números reales, podemos definir el Lebesgue-Stieltjes

de una función f. Si esta integral es finita para todos los polinomios f, podemos definir un producto interno en los pares de polinomios f y g por

Esta operación es un producto interior semidefinida positiva en el espacio vectorial de todos los polinomios, y es definida positiva si la función de una tiene un número infinito de puntos de crecimiento. Se induce una noción de ortogonalidad de la manera habitual, es decir, que dos polinomios son ortogonales si su producto interno es cero.

A continuación, la secuencia de n = 08 de polinomios ortogonales se define por las relaciones

En otras palabras, obtenido a partir de la secuencia de monomios 1, x, x2, ... por el proceso de Gram-Schmidt.

Por lo general, se requiere la secuencia para ser ortonormal, a saber,

Sin embargo, a veces se utilizan otras normalizaciones.

Caso absolutamente continua

A veces tenemos que

donde

es una función no negativa con apoyo en algún intervalo en la línea real. Tal W se llama una función de peso. A continuación, el producto interior está dada por

Sin embargo, hay muchos ejemplos de polinomios ortogonales en que la medida da tiene puntos con medida distinta de cero donde la función es una discontinua, por lo que no puede ser dado por una función de peso W que el anterior.

Ejemplos de polinomios ortogonales

Los polinomios ortogonales más comúnmente utilizados son ortogonales para una medida con el apoyo en un intervalo real. Esto incluye:

  • Los polinomios ortogonales clásicos.
  • Los polinomios de Wilson, que generalizan los polinomios de Jacobi. Se incluyen muchos polinomios ortogonales como casos especiales, tales como los polinomios de Meixner-Pollaczek, los polinomios continuos Hahn, los polinomios continuas de doble Hahn, y los polinomios clásicos, descritas por el esquema de Askey
  • Los polinomios Askey-Wilson q introducen un parámetro adicional en los polinomios de Wilson.

Polinomios ortogonales discretos son ortogonales con respecto a alguna medida discreta. A veces, la medida tiene soporte finito, en cuyo caso la familia de polinomios ortogonales es finito, en lugar de una secuencia infinita. Los polinomios Racah son ejemplos de polinomios ortogonales discretas, e incluyen como casos especiales los polinomios de Hahn y polinomios Hahn duales, que a su vez incluyen como casos especiales de los polinomios de Meixner, polinomios Krawtchouk y Charlier polinomios.

Polinomios ortogonales tamizada, como los polinomios tamizados ultraspherical, polinomios de Jacobi, tamizados y polinomios Pollaczek tamiza, se han modificado las relaciones de recurrencia.

Uno puede también considerar polinomios ortogonales para alguna curva en el plano complejo. El caso más importante es cuando la curva es el círculo unidad, dando polinomios ortogonales sobre el círculo unidad, tales como los polinomios de Rogers-Szego.

Hay algunas familias de polinomios ortogonales que son ortogonales en regiones planas como triángulos o discos. Algunas veces se pueden escribir en términos de polinomios de Jacobi. Por ejemplo, polinomios de Zernike son ortogonales en la unidad de disco.

Propiedades

Polinomios ortogonales de una variable definida por una medida no negativa en la recta real tienen las siguientes propiedades.

Relación con momentos

Los polinomios ortogonales Pn pueden expresarse en términos de los momentos

como sigue:

donde cn son constantes arbitrarias.

Relación recurrente

Los polinomios Pn satisfacer una relación recurrente de la forma

Ver el teorema de Favard para un resultado inverso.

Fórmula de Christoffel-Darboux

Zeros

Si da la medida está soportado en un intervalo, todos los ceros de Pn se encuentran pulg Por otra parte, los ceros tienen la siguiente propiedad entrelazado: si m> n, hay un cero de Pm entre dos ceros de Pn.

Polinomios ortogonales multivariados

Los polinomios Macdonald son polinomios ortogonales en varias variables, dependiendo de la elección de un sistema de raíces afín. Incluyen muchas otras familias de polinomios ortogonales multivariables como casos especiales, como los polinomios de Jack, los polinomios Hall-Littlewood, los polinomios Heckman-Opdam y los polinomios Koornwinder. Los polinomios Askey-Wilson son el caso especial de polinomios Macdonald para un determinado sistema de la raíz no reducido de rango 1.