Matriz invertible, Propiedades, Los métodos de inversión de la matriz, Derivado de la matriz inversa, Moore-Penrose pseudoinverse, Aplicaciones

En álgebra lineal un n-por-n matriz A se llama invertible si existe un n-por-n matriz B tal que

donde A denota el n-por-n matriz identidad y la multiplicación es multiplicación de matriz utilizado ordinaria. Si este es el caso, entonces la matriz B se determina de forma única por A y se llama la inversa de A, denotado por A-1. Se deduce de la teoría de matrices que si

finitos para matrices cuadradas A y B, a continuación, también

Matrices no cuadradas no tienen una relación inversa. Sin embargo, en algunos casos, una matriz tal puede tener una inversa inversa izquierda o hacia la derecha. Si A es m-por-n, y el rango de A es igual a n, entonces A tiene una inversa por la izquierda: un n-de-m matriz B tal que BA = I. Si A tiene rango m, entonces tiene el derecho inverso: un n-por-m matriz B tal que AB = I.

 Una matriz cuadrada que no es invertible se llama singular o degenerado. Una matriz cuadrada es singular si y sólo si su determinante es 0. Las matrices singulares son raros en el sentido de que si tienes que elegir una matriz cuadrada azar sobre una distribución uniforme continua en sus entradas, es casi seguro que no sea singular.

Aunque el caso más común es el de las matrices en los números reales o complejos, todas estas definiciones se pueden dar para matrices sobre cualquier anillo conmutativo. Sin embargo, en este caso la condición para una matriz cuadrada de ser invertible es que su determinante es invertible en el anillo, que en general es un requisito mucho más estrictas que ser distinto de cero. Las condiciones para la existencia de resp izquierda inversa. derecha inversa son más complicados ya una noción de rango no existe más anillos.

Inversión de la matriz es el proceso de encontrar la matriz B que satisface la ecuación anterior para una determinada matriz invertible A.

Propiedades

El teorema de la matriz invertible

Sea A un cuadrado n por n matriz sobre un cuerpo K. Las siguientes declaraciones son equivalentes:

 A es invertible, es decir, A tiene una inversa o es no singular. A es-fila equivalente a la matriz de identidad n-por-n En. A es la columna-equivalente a la matriz de identidad n-por-n En. A tiene n posiciones de pivote. det A? 0. En general, una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo es invertible si y sólo si su determinante es una unidad en la que el anillo. A tiene rango completo, es decir, rango A = n. La ecuación Ax = 0 tiene solamente la solución trivial x = 0 Null A = {0} La ecuación Ax = b tiene exactamente una solución para cada b en Kn. Las columnas de A son linealmente independientes. Las columnas de A generan Kn Col A = Kn Las columnas de A forman una base de Kn. Los lineales de transformación de mapeo xa Ax es una biyección de Kn de Kn. Hay una matriz N por N B tal que AB = A = BA. La transpuesta AT es una matriz invertible. El número 0 no es un valor propio de A. La matriz A puede expresarse como un producto finito de matrices elementales. La matriz A tiene una inversa por la izquierda o una inversa por la derecha, en cuyo caso existe inversos de los canales izquierdo y derecho y B = C = A-1.

Otras Propiedades

Además, las siguientes propiedades de una matriz invertible A:

  • -1 = A;
  • -1 = K-1A-1 para escalar k distinto de cero;
  • -1 = T;
  • Para cualquier invertibles n-por-n matrices A y B, -1 = B-1A-1. Más en general, si A1, ..., Ak son invertibles n-por-n matrices, a continuación, -1 = Ak-1ak-1-1 A2-1A1-1?;
  • det = det-1.

Una matriz que es su propio inverso, es decir, A = A-1 y A2 = Me, se llama una involución.

Densidad

En el campo de los números reales, el conjunto de singulares n-por-n matrices, considerados como un subconjunto de Rnn, es un conjunto nulo, es decir, tiene Lebesgue medida cero. Esto es cierto porque las matrices singulares son las raíces de la función polinómica en las entradas de la matriz propuesta por el factor determinante. Así, en el lenguaje de la teoría de la medida, casi todas las matrices n-por-n son invertibles.

Además las matrices n-por-n invertibles son un conjunto abierto denso en el espacio topológico de todas las matrices n-por-n. Equivalente, el conjunto de matrices singulares está cerrado y denso en ninguna parte en el espacio de n-por-n matrices.

En la práctica, sin embargo, uno puede encontrar matrices no invertibles. Y en los cálculos numéricos, matrices que son invertible, pero cerca de una matriz no invertible, todavía puede ser problemático, tales matrices se dice que son mal condicionado.

Los métodos de inversión de la matriz

Eliminación de Gauss

Eliminación Gauss-Jordan es un algoritmo que se puede utilizar para determinar si una matriz dada es invertible y para encontrar la inversa. Una alternativa es la descomposición de LU que genera matrices triangulares superiores e inferiores que son más fáciles para invertir.

El método de Newton

Una generalización del método de Newton tal como se utiliza para un algoritmo inverso multiplicativo puede ser conveniente, si es conveniente para encontrar una semilla de partida adecuado:

Victor Pan y John Reif han hecho un trabajo que incluye formas de generar una semilla inicial. De lo contrario, el método puede ser adaptado para utilizar la semilla a partir de un caso trivial de partida mediante el uso de un homotopy a "caminar" en pequeños pasos de que a la matriz sea necesario, "arrastrando" las inversas con ellos:

 dónde y para algunos de terminación N, quizá seguidos por unos pocos iteraciones de la A a resolver la inversa.

El uso de este simplista en matrices de valores reales llevaría la homotopía a través de una matriz degenerada mitad de las veces, por un valor tan complejas matrices se deben utilizar para evitar que, por ejemplo, mediante el uso de un S a partir de semillas que tiene i en la primera entrada, 1 en el resto de la diagonal principal, y 0 en otro lugar. Si la aritmética compleja no está disponible directamente, puede ser emulado por un pequeño coste en la memoria del ordenador mediante la sustitución de cada elemento de la matriz complejo a bi con un verdadero submatrix valorado 22 del formulario.

El método de Newton es particularmente útil cuando se trata de familias de matrices relacionadas que se comportan bastante a la secuencia de fabricación para la homotopía arriba: a veces un buen punto de partida para refinar una aproximación para el nuevo inverso puede ser el inverso ya obtenida de una matriz anterior que casi coincide con la matriz actual, por ejemplo, el par de secuencias de matrices inversas utilizadas en la obtención de raíces cuadradas matriz por Denman-Castores iteración, esto puede necesitar más de un paso de la iteración en cada nueva matriz, si no están lo suficientemente cerca juntos por un solo ser suficiente. El método de Newton también es útil para "retocar" correcciones al algoritmo de Gauss-Jordan que ha sido contaminada por pequeños errores debido a la imperfecta aritmética ordenador.

Eigendecomposition

Si la matriz A puede ser eigendecomposed y si ninguno de sus valores propios son iguales a cero, entonces A es no singular y su inversa viene dada por

Además, debido a? es una matriz diagonal, su inversa es fácil de calcular:

La descomposición de Cholesky

Si la matriz A es definida positiva, entonces su inverso se puede obtener como

en donde L es la descomposición de Cholesky triangular inferior de A.

Solución analítica

Escribiendo la transpuesta de la matriz de cofactores, conocidos como una matriz adjugate, también puede ser una manera eficaz de calcular la inversa de matrices pequeñas, pero este método recursivo es ineficiente para grandes matrices. Para determinar la inversa, se calcula una matriz de cofactores:

donde | A | es el determinante de A, Cij es la matriz de cofactores, y la TC representa la matriz de transposición.

 La inversión de matrices de 22

La ecuación cofactor enumerados anteriormente se obtiene el siguiente resultado de 22 matrices. La inversión de estas matrices se puede hacer fácilmente de la siguiente manera:

Esto es posible porque 1/es el recíproco del determinante de la matriz en cuestión, y la misma estrategia podría ser utilizado para otros tamaños de matriz.

 La inversión de matrices de 33

Una inversión de la matriz 3x3 computacionalmente eficiente está dada por

donde el determinante de A se puede calcular mediante la aplicación de la regla de Sarrus de la siguiente manera:

Si el determinante es distinto de cero, la matriz es invertible, con los elementos de la matriz anterior en el lado derecho dado por

La 33 inversa en general se puede expresar en términos de forma concisa el producto cruzado y triple producto:

Si una matriz es invertible, su inversa viene dada por

Tenga en cuenta que es igual al producto de triples, y-el volumen del paralelepípedo formado por las filas o columnas:

La corrección de la fórmula se puede comprobar mediante el uso transversal y propiedades de triple de productos y por señalar que para los grupos, inversas izquierdo y derecho siempre coinciden. Intuitivamente, a causa de los productos cruzados, cada fila es ortogonal a los que no se corresponden dos columnas. Dividiendo por

hace que los elementos de la diagonal de ser la unidad. Por ejemplo, la primera diagonal es:

Inversión por bloques

Las matrices también se pueden invertir sólo en la secuencia mediante el uso de la siguiente fórmula de inversión analítica:

donde A, B, C y D son matriz de sub-bloques de tamaño arbitrario. Esta estrategia es particularmente ventajoso si A es diagonal y D-CA-1B es una matriz pequeña, ya que son los únicos que requieren inversión de matrices. Esta técnica se ha reinventado varias veces y se debe a Hans Boltz, que lo utilizó para la inversión de matrices geodésicos y Tadeusz Banachiewicz, quien generalizó y demostró su exactitud.

El teorema de nulidad dice que la nulidad de A es igual a la nulidad de la sub-bloque en la parte inferior derecha de la matriz inversa, y que la nulidad de B es igual a la nulidad de la sub-bloque en la parte superior derecha de la matriz inversa.

El procedimiento de la inversión que llevó a cabo las operaciones de la ecuación de bloque de matriz que operaban en C y D primero. En cambio, si A y B son operados en la primera, y con la condición D y A-BD-1C son no singular, el resultado es

Igualando las ecuaciones y conduce a

donde la ecuación es el lema inversión de la matriz, que es equivalente al teorema binomial inverso.

Desde una inversión por bloques de una matriz nn requiere inversión de dos matrices de tamaño medio y 6 multiplicaciones entre dos matrices de tamaño medio, y como algoritmo de multiplicación de la matriz tiene un límite inferior de las operaciones O, puede ser demostrado que un divide y vencerás algoritmo que utiliza inversión por bloques de invertir una matriz se ejecuta con la misma complejidad de tiempo como el algoritmo de multiplicación de la matriz que se utiliza internamente.

Por series Neumann

Si una matriz A tiene la propiedad de que

entonces A es no singular y su inversa se puede expresar por una serie Neumann:

Truncamiento de los resultados de la suma en un inverso "aproximada", que puede ser útil como un preacondicionador.

Más en general, si A es "cerca de" la matriz X invertible en el sentido de que

entonces A es no singular y su inversa es

Si también es el caso de que AX tiene rango 1, este se simplifica a

Derivado de la matriz inversa

Supongamos que la matriz invertible A depende de un parámetro t. A continuación, la derivada de la inversa de A con respecto a t está dada por

Para derivar la expresión anterior para la derivada de la inversa de A, se puede diferenciar la definición de la inversa de la matriz y a continuación, para resolver la inversa de A:

Restando de ambos lados de la arriba y multiplicando a la derecha da por la expresión correcta para la derivada de la inversa:

Del mismo modo, si es un número pequeño, entonces

Moore-Penrose pseudoinverse

Algunas de las propiedades de las matrices inversas son compartidas por pseudoinverses Moore-Penrose, que se puede definir para cualquier matriz m-por-n.

Aplicaciones

Para las aplicaciones más prácticas, no es necesario invertir una matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales, sin embargo, para una solución única, es necesario que la matriz sea invertible involucrados.

Técnicas de descomposición como la descomposición LU son mucho más rápido que la inversión, y varios algoritmos rápidos para las clases especiales de los sistemas lineales también se han desarrollado.

Matrices inversas en simulaciones en tiempo real

Inversión de la matriz juega un papel importante en los gráficos por ordenador, en particular en representación de gráficos 3D y simulaciones 3D. Los ejemplos incluyen la pantalla de rayos fundición mundo, mundo al subespacio a las transformaciones de objetos del mundo, y las simulaciones físicas.

Matrices inversas de comunicación inalámbrica MIMO

Inversión de la matriz también juegan un papel importante en la tecnología MIMO en las comunicaciones inalámbricas. El sistema MIMO consiste de N de transmisión y M antenas de recepción. Señales únicas, que ocupan la misma banda de frecuencia, se envían a través de N antenas de transmisión y se reciben a través de M antenas de recepción. La señal que llega a cada antena de recepción será una combinación lineal de las N señales de transmisión que forman una transmisión NxM matriz H. Es crucial para la matriz H de ser invertible para que el receptor pueda entender la información transmitida.