Centro de masa, Historia, Definición de centro de masa, Centro de gravedad, Momentum lineal y angular de, Localizando el centro de masa, Aplicaciones

En física, el centro de masa, de una distribución de la masa en el espacio es el punto único en el que la posición relativa ponderada de las cantidades masivas distribuidas a cero. La distribución de masa se equilibra alrededor del centro de masa y de la media ponderada de la posición de las coordenadas de la masa distribuida define sus coordenadas. Los cálculos de la mecánica se simplifican cuando se formula con respecto al centro de la masa.

En caso de un solo cuerpo rígido, el centro de masa se fija en relación con el cuerpo, y si el cuerpo tiene densidad uniforme, que se encuentra en el centroide. El centro de masa puede estar localizado fuera del cuerpo físico, como suele ser el caso de los objetos huecos o en forma abierta, como una herradura. En el caso de una distribución de órganos independientes, como los planetas del Sistema Solar, el centro de masa no puede corresponder a la posición de cualquier miembro individual del sistema.

El centro de gravedad es un punto de referencia útil para los cálculos de la mecánica que implican masas distribuidas en el espacio, como la cantidad de movimiento lineal y angular de los cuerpos planetarios y la dinámica de cuerpos rígidos. En la mecánica orbital las ecuaciones del movimiento de los planetas se formulan como masas puntuales ubicados en los centros de masa. El del centro de masas es un sistema inercial en el que el centro de masa de un sistema está en reposo en relación con el origen del sistema de coordenadas.

Historia

El concepto de "centro de masas", en la forma del "centro de gravedad" fue introducido por primera vez por los antiguos griegos físico, matemático, y el ingeniero Arquímedes de Siracusa. Trabajó con los supuestos simplificados sobre gravedad que equivalen a un campo uniforme, llegando así a las propiedades matemáticas de lo que hoy llamamos el centro de masa. Arquímedes demostró que el par ejercido sobre una palanca por los pesos que descansan en varios puntos a lo largo de la palanca es lo mismo que lo que sería si todos los pesos fueron trasladados a un solo punto - su centro de masa. En los trabajos sobre los cuerpos flotantes que demostró que la orientación de un objeto flotante es el que hace que su centro de masa un precio tan bajo como sea posible. Desarrolló técnicas matemáticas para encontrar los centros de masa de los objetos de densidad uniforme de varias formas bien definidas.

Más tarde matemáticos que desarrollaron la teoría del centro de masa incluyen Pappus de Alejandría, Guido Ubaldi, Francesco Maurolico, Federico Commandino, Simon Stevin, Luca Valerio, Jean-Charles de la Faille, Paul Guldin, John Wallis, Louis Carr, Pierre Varignon, y Alexis Clairaut.

Segundos ley de Newton se reformula con respecto al centro de la masa en la primera ley de Euler.

Definición de centro de masa

El centro de masa es el punto único en el centro de una distribución de la masa en el espacio que tiene la característica que los vectores de posición ponderados relativos a este punto de suma a cero.

Un sistema de partículas

En el caso de un sistema de partículas Pi, i = 1,?,? N?, Cada uno con millas de masa que se encuentra en el espacio de coordenadas ri, i = 1,?,? N?, Las coordenadas R del centro de masa de cumplir la condición

Resolver esta ecuación para R para obtener la fórmula

donde M es la suma de las masas de todas las partículas.

Un volumen continuo de

Si la distribución de la masa se continúa con la densidad? dentro de un volumen V, entonces la integral de la posición ponderada coordenadas de los puntos de este volumen con relación al centro de masas R es cero, es decir

Resolver esta ecuación para las coordenadas R para obtener

donde M es la masa total del volumen.

Si una distribución de masa continua tiene densidad uniforme, lo que significa? es constante, entonces el centro de la masa es el mismo que el centroide del volumen.

Coordenadas Baricéntrico

 Más información: Barycentric_coordinate_system

Las coordenadas R del centro de masa de un sistema de dos partículas, P1 y P2, con masas m1 y m2 se da por

Deje que el porcentaje de la masa total dividido entre estas dos partículas varían de 100% P1 y P2 a través de 0% 50% 50% P1 y P2 a P1 0% y 100% P2, entonces el centro de los medios de R se mueve a lo largo de la línea de P1 a P2. Los porcentajes de masa de cada punto se pueden ver como coordenadas proyectivas del punto R en esta línea, y se denominan coordenadas baricéntricas. Esto se puede generalizar a tres puntos y cuatro puntos para definir las coordenadas proyectivas en el plano y en el espacio, respectivamente.

Los sistemas con condiciones de contorno periódicas

Para las partículas en un sistema con condiciones de contorno periódicas dos partículas pueden ser vecinos a pesar de que están en lados opuestos del sistema. Esto ocurre a menudo en simulaciones de dinámica molecular, por ejemplo, en el que las agrupaciones forman en lugares al azar y, a veces átomos vecinos cruzan la frontera periódica. Cuando un clúster extiende a ambos lados de la frontera periódica, un cálculo ingenuo del centro de la masa será incorrecta. Un método generalizado para calcular el centro de la masa para los sistemas periódicas es tratar a cada coordenada, X e Y y/o Z, como si fuera en un círculo en lugar de una línea. El cálculo se tienen de cada partícula coordenada x y asigna a un ángulo,

donde xmax es el tamaño del sistema en la dirección x. Desde este punto de vista, dos nuevos puntos se pueden generar:

En el avión, estas coordenadas se encuentran en un círculo de radio de xmax. De la colección de y los valores de las partículas, los promedios y se calculan. Esos valores se asignan de nuevo en un nuevo ángulo,, de la que la coordenada x del centro de masa se pueden obtener:

El proceso puede repetirse para todas las dimensiones del sistema para determinar el centro de la masa completa. La utilidad del algoritmo es que permite que las matemáticas para determinar donde el "mejor" centro de masa es, en lugar de adivinar o mediante análisis de conglomerados para "desplegar" un clúster de caballo entre los límites periódicos. Debe tenerse en cuenta que si los dos valores medios son cero, entonces no está definido. Este es un resultado correcto, ya que sólo se produce cuando todas las partículas son exactamente espaciados de manera uniforme. En esa condición, sus coordenadas x son matemáticamente idénticas en un sistema periódico.

Centro de gravedad

El centro de gravedad es el punto en un cuerpo alrededor de la cual el par resultante debido a las fuerzas de gravedad se desvanecen. Cerca de la superficie de la tierra, donde la gravedad actúa hacia abajo como un campo de fuerza paralelo, el centro de gravedad y el centro de masa son la misma.

El estudio de la dinámica de aviones, vehículos y embarcaciones asume que el sistema se mueve en la gravedad cerca de la tierra, y por lo tanto el centro términos de gravedad y el centro de masa se usan indistintamente.

En la física de los beneficios de utilizar el centro de masa para modelar una distribución de masa pueden ser vistos por teniendo en cuenta la resultante de las fuerzas de la gravedad en un cuerpo continuo. Consideremos un cuerpo de volumen V con la densidad? en cada punto R en el volumen. En el campo de gravedad paralelo la fuerza f en cada punto r viene dada por,

donde dm es la masa en el punto r, g es la aceleración de la gravedad, y k es un vector unitario que define la dirección vertical. Elija un punto de referencia R en el volumen y calcular la fuerza resultante y el par en este punto,

y

Si el punto de referencia R se elige de modo que es el centro de la masa, a continuación,

que significa que el momento de torsión resultante T = 0. Debido a que el momento de torsión resultante cero es el cuerpo se mueva como si es una partícula con su masa concentrada en el centro de la masa.

Mediante la selección del centro de gravedad como el punto de referencia para un cuerpo rígido, las fuerzas de la gravedad no causarán el cuerpo gire, lo que significa peso del cuerpo se puede considerar a concentrarse en el centro de la masa.

Momentum lineal y angular de

El momento lineal y angular de una colección de partículas se puede simplificar mediante la medición de la posición y la velocidad de las partículas en relación con el centro de masa. Deje que el sistema de partículas Pi, i = 1, ..., n se encuentra en el ri coordenadas y velocidades vi. Seleccione un punto de referencia R y calcular la posición relativa y vectores de la velocidad,

Los vectores lineal y angular total de impulso en relación con el punto de referencia R son

y

R Si se elige como el centro de masa estas ecuaciones se simplifican a

Las leyes del movimiento de Newton exigen que para un sistema con ninguna fuerza externa el impulso del sistema es constante, lo que significa que el centro de masa se mueve con velocidad constante. Esto se aplica para todos los sistemas con fuerzas internas clásicos, incluyendo los campos magnéticos, campos eléctricos, reacciones químicas, y así sucesivamente. De manera más formal, esto es cierto para todas las fuerzas internas que satisfacen la tercera ley de Newton.

Localizando el centro de masa

La determinación experimental del centro de masa de un cuerpo utiliza las fuerzas de gravedad en el cuerpo y se basa en el hecho de que en el campo de gravedad paralela cerca de la superficie de la tierra, el centro de masa es la misma que la del centro de gravedad.

El centro de masa de un cuerpo con un eje de simetría y de densidad constante debe yacer sobre este eje. Por lo tanto, el centro de masa de un cilindro circular de densidad constante tiene su centro de masa en el eje del cilindro. De la misma manera, el centro de masa de un cuerpo con simetría esférica de densidad constante está en el centro de la esfera. En general, para cualquier simetría de un cuerpo, el centro de la masa será un punto de que la simetría fijo.

En dos dimensiones

Un método experimental para localizar el centro de masa es suspender el objeto a partir de dos ubicaciones y para soltar líneas de plomada de los puntos de suspensión. La intersección de las dos líneas es el centro de masa.

La forma del objeto ya podría ser matemáticamente decidido, pero puede ser demasiado complejo para usar una fórmula conocida. En este caso, se puede subdividir de la forma compleja en otras más simples, las formas más elementales, cuyos centros de masa son fáciles de encontrar. Si la masa total y el centro de masa se pueden determinar para cada zona, a continuación, el centro de masa del conjunto es la media ponderada de los centros. Este método puede incluso trabajar para objetos con agujeros, que pueden ser explicados como masas negativas.

Un desarrollo directo de la planímetro conocido como un Integraph, o integerometer, se puede utilizar para establecer la posición del centroide o centro de masa de una forma de dos dimensiones irregulares. Este método se puede aplicar a una forma con una frontera irregular, liso o complejo donde otros métodos son demasiado difíciles. Fue utilizada regularmente por los constructores de barcos de comparar con el desplazamiento requerido y centro de flotación de un barco y asegurar que no se vuelque.

En tres dimensiones

Un método experimental para localizar las coordenadas tridimensionales del centro de masa comienza por soportar el objeto en tres puntos y la medición de las fuerzas, F1, F2, y F3 que resisten el peso del objeto, W =-Wk. Deje que R1, R2, y R3 sean las coordenadas de posición de los puntos de apoyo, a continuación, las coordenadas R del centro de masa satisfacer la condición de que el momento de torsión resultante es cero,

o

Esta ecuación se obtiene las coordenadas del centro de masa R * en el plano horizontal como,

El centro de gravedad se encuentra en la línea vertical L, dada por

Las coordenadas tridimensionales de el centro de masa se determinan mediante la realización de este experimento dos veces con el objeto posicionados de manera que estas fuerzas se miden por dos planos horizontales diferentes a través del objeto. El centro de masa será la intersección de las dos líneas L1 y L2 obtenidos a partir de los dos experimentos.

Aplicaciones

Ingenieros tratan de diseñar un coche deportivo de manera que su centro de masa se reduce a hacer que el coche manejar mejor. Cuando saltadores de altura realizan una "Fosbury flop", se doblan su cuerpo de tal manera que se sobrepase la barra, mientras que su centro de masa no necesariamente claro que.

Aeronáutica

El centro de masa es un punto importante en una aeronave, que afecta de manera significativa la estabilidad de la aeronave. Para asegurarse de que la aeronave es lo suficientemente estable como para ser seguro volar, el centro de masa debe estar dentro de los límites especificados. Si el centro de gravedad está por delante del límite hacia adelante, la aeronave será menos maniobrable, posiblemente hasta el punto de no poder girar durante el despegue o el aterrizaje,. Si el centro de masa está detrás de la popa límite, la aeronave será más fácil de manejar, pero también menos estables, y, posiblemente, tan inestable que es imposible para volar. El brazo de momento del ascensor también se reduce, lo que hace que sea más difícil para recuperarse de una condición estancado.

Los helicópteros que en vuelo estacionario, el centro de masa es siempre justo debajo del rotorhead. En el vuelo hacia delante, el centro de masa se moverá a popa a equilibrar el par de paso negativo producido por la aplicación de control cíclico para propulsar el helicóptero hacia adelante y, en consecuencia un helicóptero vuela crucero "nariz hacia abajo" en el nivel de vuelo.

Astronomía

El centro de la masa juega un papel importante en la astronomía y la astrofísica, donde se refiere comúnmente como el baricentro. El baricentro está el punto entre dos objetos en el que se equilibran entre sí, sino que es el centro de gravedad en el que dos o más cuerpos celestes en órbita alrededor. Cuando la luna gira alrededor de un planeta, o un planeta orbita alrededor de la estrella, los dos cuerpos están en realidad orbitando alrededor de un punto que se encuentra lejos del centro del cuerpo principal. Por ejemplo, la Luna no orbita el centro exacto de la Tierra, pero un punto en una línea entre el centro de la Tierra y la Luna, alrededor de 1710 kilometros por debajo de la superficie de la Tierra, donde sus respectivas balanzas masas. Este es el punto sobre el que la órbita de la Tierra y la Luna en su viaje alrededor del sol. Si las masas son más similares, por ejemplo, Plutón y Caronte, el baricentro se quedan fuera de ambos cuerpos.