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Un problema matemático es un problema que es susceptible de ser representado, analizado, y posiblemente resuelto, con los métodos de las matemáticas. Esto puede ser un problema real, como el cálculo de las órbitas de los planetas en el sistema solar, o un problema de carácter más abstracto, como los problemas de Hilbert.

También puede ser un problema en referencia a la naturaleza de las matemáticas en sí, tales como la paradoja de Russell.

Problemas del mundo real

Informales "mundo real" problemas matemáticos son preguntas relacionadas con un entorno concreto como "Adam tiene cinco manzanas y ofrece John tres. ¿Cuántos que le queda?". Tales preguntas son por lo general más difíciles de resolver que los ejercicios matemáticos habituales como "5 - 3", incluso si se conocen las matemáticas necesarias para resolver el problema. Conocido como problemas de aplicación, que se utilizan en la educación matemática para enseñar a los estudiantes a conectar situaciones del mundo real al lenguaje abstracto de las matemáticas.

En general, para usar las matemáticas para resolver un problema del mundo real, el primer paso es construir un modelo matemático del problema. Esto implica la abstracción de los detalles del problema, y el modelador tiene que tener cuidado de no perder los aspectos esenciales en la traducción del original en un problema matemático. Después de que el problema ha sido resuelto en el mundo de las matemáticas, la solución debe traducirse de nuevo en el contexto del problema original.

Problemas abstractos

Surgen problemas matemáticos abstractos en todos los campos de las matemáticas. Mientras que los matemáticos suelen estudiar por su propio bien, de esta manera se pueden obtener resultados que encuentran aplicación fuera del ámbito de las matemáticas. La física teórica ha sido históricamente, y sigue siendo, una rica fuente de inspiración.

Algunos problemas abstractos han sido rigurosamente demostrado ser imposible de resolver, tales como la cuadratura del círculo y el ángulo de la trisección utilizando sólo la regla no brújula y construcciones de la geometría clásica, y la solución de la ecuación algebraica de quinto grado. También demostrablemente irresolubles son los llamados problemas indecidibles, como el problema de la parada de las máquinas de Turing.

Muchos problemas abstractos pueden ser resueltos de manera rutinaria, otros han sido resueltos con gran esfuerzo, para algunas incursiones significativas se han hecho sin haber llevado aún a una solución completa, y sin embargo, otros se han resistido a todos los intentos, como la conjetura de Goldbach y la conjetura de Collatz. Algunos conocidos difíciles problemas abstractos que han sido resueltos hace relativamente poco son el teorema de los cuatro colores, el último teorema de Fermat y la conjetura de Poincaré.

Degradación

Matemáticas educadores que utilizan la solución de problemas para la evaluación tienen un problema expresado por Alan H. Schoenfeld:

 ¿Cómo puede uno puntuaciones de los exámenes de cada año, cuando se utilizan problemas muy diferentes?.

El mismo problema se enfrentan los Sylvestre Lacroix casi dos siglos antes:

 ... es necesario variar las preguntas que los estudiantes pueden comunicarse entre sí. A pesar de que puede fallar el examen, podrían pasar más tarde. Así, la distribución de las preguntas, la variedad de los temas, o las respuestas, se arriesga a perder la oportunidad de comparar con precisión, los candidatos de uno a otro.

Esta degradación de los problemas en los ejercicios característico de la matemática de la historia. Por ejemplo, la descripción de los preparativos para el examen final de Matemáticas de Cambridge en el siglo 19, Andrew Warwick escribió:

 ... muchas familias de los entonces problemas estándar han gravados inicialmente las capacidades de los más grandes matemáticos del siglo 18.