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En las matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no puede ser expresado como una relación a/b, donde a y b son números enteros y b es distinto de cero.

Informalmente, esto significa que un número irracional no se puede representar como una fracción simple. Los números irracionales son los números reales que no pueden ser representados de la terminación o repetir decimales. Como consecuencia de la prueba de Cantor que los números reales son incontables se deduce que casi todos los números reales son irracionales.

Cuando la relación de las longitudes de los dos segmentos de línea es irracional, los segmentos de línea también se describen como inconmensurable, lo que significa que comparten ninguna medida en común.

Tal vez los números irracionales más conocidos son: la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro p, el número de Euler e, el número áureo f, y la raíz cuadrada de dos v2.

Historia

Se ha sugerido que el concepto de la irracionalidad fue aceptado implícitamente por matemáticos de la India desde el siglo séptimo antes de Cristo, cuando manava cree que las raíces cuadradas de los números, tales como 2 y 61 no se pudo determinar exactamente. Sin embargo, el historiador Carl Benjamin Boyer señala que "... tales afirmaciones no están bien fundamentados y poco probable que sea cierto."

Grecia antigua

La primera prueba de la existencia de los números irracionales se suele atribuir a un pitagórico, que probablemente los descubrió mientras se identifican lados de la estrella de cinco puntas. El método de Pitágoras en ese momento habría afirmado que tiene que haber alguna unidad suficientemente pequeño, indivisible que podría caber uniformemente en una de estas longitudes, así como otros. Sin embargo, Hípaso en el siglo quinto antes de Cristo, fue capaz de deducir que no había hecho ninguna unidad de medida común y que la afirmación de una existencia de hecho una contradicción. Lo hizo demostrando que si la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles era de hecho una comparación con una pierna, luego de que la unidad de medida debe ser a la vez par e impar, lo cual es imposible. Su razonamiento es el siguiente:

  • Comience con un triángulo rectángulo isósceles con longitudes de los lados de los números enteros a, b, y c. La relación de la hipotenusa de una pierna está representado por c: b.
  • Supongamos que a, b, y c son en los términos más pequeñas posibles.
  • Por el teorema de Pitágoras: c2 = a2 b2 = b2 b2 = 2b2. .
  • Desde c2 = 2b2, c2 es divisible por 2, y por lo tanto aún.
  • Desde c2 es par, c tiene que ser plana.
  • Desde c y b no tienen factores comunes, y c es par, b debe ser impar.
  • Dado que c es par, dividiendo por c 2 produce un entero. Sea y este entero.
  • La cuadratura ambos lados de c = 2a rendimientos c2 = 2, o c2 = 4y2.
  • Sustituyendo 4y2 de c2 en la primera ecuación nos da 4y2 = 2b2.
  • Dividir por 2 da 2y2 = b2.
  • Puesto que y es un número entero, y 2y2 = b2, b2 es divisible por 2, y por lo tanto incluso.
  • Desde b2 es par, b debe ser par.
  • Sin embargo, ya hemos afirmado que b debe ser impar, y b no se puede ser a la vez par e impar. Esta contradicción demuestra que c y b no pueden ser ambos números enteros, y por lo tanto la existencia de un número que no se puede expresar como una relación de dos números enteros.

Matemáticos griegos denominan esta relación de magnitudes inconmensurables alogos o inefables. Hípaso, sin embargo, no fue alabado por sus esfuerzos: según una leyenda, hizo su descubrimiento, mientras que en el mar, y posteriormente fue arrojado por la borda por sus compañeros pitagóricos "por haber producido un elemento en el universo que negaba thedoctrine que todos los fenómenos en el universo se puede reducir a números enteros y sus proporciones ". Otra leyenda afirma que Hípaso sólo estaba exiliado por esta revelación. Cualquiera que sea la consecuencia de Hípaso sí mismo, su descubrimiento plantea un problema muy serio para las matemáticas pitagóricas, ya que rompió el supuesto de que el número y la geometría eran inseparables-a base de su teoría.

El descubrimiento de las razones inconmensurables era indicativo de otro problema que enfrenta los griegos: la relación de la discreta a la continua. Traído a la luz por Zenón de Elea, quien cuestionó la idea de que las cantidades son discretos y compuesto por un número determinado de unidades de un tamaño determinado. Concepciones griegas anteriores dictados que necesariamente deben ser, por "números enteros representan objetos discretos, y una relación conmensurable representa una relación entre dos conjuntos de objetos discretos." Sin embargo Zeno encontró que, de hecho, "en general no son colecciones de unidades discretas; esta es la razón por proporciones de appear.uantities inconmensurables son, en otras palabras, continua." Lo que esto significa es que, contrariamente a la concepción popular de la época, no puede ser una unidad indivisible, de medida más pequeña para cualquier cantidad. Que, de hecho, estas divisiones de la cantidad necesariamente deben ser infinita. Por ejemplo, considere un segmento de línea: este segmento se puede dividir en dos, la mitad dividida por la mitad, la mitad de la mitad de la mitad, y así sucesivamente. Este proceso puede continuar hasta el infinito, ya que siempre hay otro medio que dividirse. Cuantas más veces que el segmento se redujeron a la mitad, más cerca de la unidad de medida viene a cero, pero nunca llega exactamente cero. Esto es justo lo que Zenón trató de demostrar. Trató de demostrar esto mediante la formulación de cuatro paradojas, lo que demuestra las contradicciones inherentes al pensamiento matemático de la época. Mientras paradojas Zenos demostraron con precisión las deficiencias de las concepciones matemáticas actuales, no eran considerados como prueba de la alternativa. En la mente de los griegos, refutando la validez de un punto de vista no demuestra necesariamente la validez de otro, y por lo tanto una mayor investigación tenía que ocurrir.

El siguiente paso fue tomada por Eudoxo de Cnido, que formalizó una nueva teoría de la proporción que se tuvo en cuenta conmensurables y inconmensurables cantidades. Central para su idea era la distinción entre la magnitud y el número. Un terremoto de magnitud "... no era un número, sino sinónimo de entidades tales como segmentos de líneas, ángulos, áreas, volúmenes, y el tiempo que puede variar, como diríamos, de forma continua. Magnitudes se oponían a los números, que saltaron de un valor a otra, a partir del 4 a 5 ". Los números se componen de algunos pequeños, la unidad indivisible, mientras que las magnitudes son infinitamente reducible. Debido a que no hay valores cuantitativos fueron asignados a magnitudes, Eudoxo a continuación, fue capaz de dar cuenta de proporciones tanto conmensurables e inconmensurables mediante la definición de una relación en términos de su magnitud, y proporción como una igualdad entre dos razones. Al tomar valores cuantitativos fuera de la ecuación, evitó la trampa de tener que expresar un número irracional como un número. "Teoría de Eudoxo permitió a los matemáticos griegos para hacer grandes progresos en la geometría suministrando el fundamento lógico necesario para razones inconmensurables." Libro 10 está dedicado a la clasificación de magnitudes irracionales.

Como resultado de la diferencia entre el número y la magnitud, la geometría se convirtió en el único método que podría tener en cuenta las proporciones inconmensurables. Debido bases numéricas anteriores aún eran incompatibles con el concepto de inconmensurabilidad, el enfoque griego se alejó de esas concepciones numéricas como el álgebra y se centró casi exclusivamente en la geometría. De hecho, en muchos casos concepciones algebraicas se reformularon en términos geométricos. Esto puede explicar por qué todavía concebimos x2 o x3 como x al cuadrado y al cubo x en vez de x segundos poder y x tercera potencia. También crucial para el trabajo Zenós con magnitudes inconmensurables fue el eje fundamental en el razonamiento deductivo resultante de la ruptura fundamental de las matemáticas griegas anteriores. La comprensión de que algún concepto básico dentro de la teoría existente estaba en desacuerdo con la realidad exigía una investigación completa y exhaustiva de los axiomas y supuestos que componían esa teoría. De esta necesidad Eudoxo desarrollado su método de agotamiento, una especie de reductio ad absurdum que "establece la organización deductiva a partir de axiomas explícitos", así como "reforzar la decisión antes de confiar en el razonamiento deductivo para la prueba." Este método de agotamiento constituye el primer paso en la creación de cálculo.

Teodoro de Cirene demostró la irracionalidad de los irracionales de números enteros de hasta 17 años, pero se detuvo allí probablemente porque el álgebra se utiliza no se puede aplicar a la raíz cuadrada de 17. No fue sino hasta Eudoxo desarrolló una teoría de la proporción que se tuvo en cuenta razones irracionales y racionales que se creó una sólida base matemática de los números irracionales.

India

Problemas geométricos y matemáticos con números irracionales como raíces cuadradas se abordaron muy temprano durante la época védica en la India y se hace referencia a estos cálculos en los Samhitas Brahmanas, y más en particular en los sutras Sulbha. .

Se sugiere que Aryabhata en el cálculo de un valor de pi a 5 cifras significativas, utilizó la palabra asanna, en el sentido de que no sólo es una aproximación, pero que el valor es inconmensurable.

Más tarde, en sus tratados, los matemáticos indios escribieron en la aritmética de los irracionales como suma, resta, multiplicación, racionalización, así como la separación y extracción de raíces cuadradas. .

Matemáticos como Brahmagupta y Bhaskara I hicieron contribuciones en esta área al igual que otros matemáticos que siguieron. En el siglo 12 Bhaskara II evalúa algunas de estas fórmulas y los criticó, identificando sus limitaciones.

Durante los siglos 14 al 16 de Madhava de Sangamagrama y la escuela de Kerala de la astronomía y las matemáticas descubrió la serie infinita de varios números irracionales como p y ciertos valores irracionales de las funciones trigonométricas. Jyesthadeva proporcionó pruebas para estas series infinitas en el Yuktibha a.

Edad Media

En la Edad Media, el desarrollo del álgebra por los matemáticos musulmanes permitió números irracionales sean tratados como objetos algebraicos. Matemáticos de Oriente Medio también se fusionan los conceptos de "número" y "magnitud" en una idea más general de los números reales, criticaron la idea de Euclides de relaciones, desarrolló la teoría de las relaciones compuestas, y ampliaron el concepto de número de coeficientes de magnitud continua. En su comentario al libro 10 de los elementos, el matemático persa Al-Mahani examinado y clasificado irracionales cuadráticos y cúbicos irracionales. Él proporcionó definiciones de magnitudes racionales e irracionales, que se tratan como números irracionales. Él se ocupó de ellos libremente, pero los explica en términos geométricos de la siguiente manera:

 "Va a ser un ser racional cuando, por ejemplo, digamos 10, 12, 3%, 6%, etc, ya que su valor se manifiesta y se expresa cuantitativamente. Lo que no es racional, es irracional y es imposible de pronunciar y representar a su valor cuantitativamente Por ejemplo:. las raíces de números tales como 10, 15, 20 que no son cuadrados, los lados de números que no son cubos, etc "

En contraste con el concepto de magnitudes como las líneas de Euclides, Al-Mahani considera enteros y fracciones como magnitudes racionales y raíces cuadradas y raíces cúbicas como magnitudes irracionales. También introdujo un enfoque aritmético al concepto de irracionalidad, ya que atribuye la siguiente para magnitudes irracionales:

 "Las sumas o diferencias, o los resultados de su adición a una magnitud racional, o el resultado de restar a la magnitud de este tipo de una irracional o de una magnitud racional de ella."

El matemático egipcio Abu Kamil ibn Aslam Shuja fue el primero en aceptar los números irracionales como las soluciones a las ecuaciones de segundo grado o como coeficientes en una ecuación, a menudo en forma de raíces cuadradas, raíces cúbicas y cuarto raíces. En el siglo 10, el matemático iraquí Al-Hashimi proporcionó pruebas generales de los números irracionales, ya que consideraba que la multiplicación, la división y otras funciones aritméticas. Abu Yafar al-Khazin proporciona una definición de magnitudes racionales e irracionales, que indica que si una cantidad definida es:

 "Contenido en un cierto dadas magnitud una vez o muchas veces, a continuación, esta magnitud corresponde a un número racional .... Cada vez cuando esta magnitud comprende un medio o un tercio, o un cuarto de la magnitud dada, o, en comparación con, comprende tres, cinco, o las tres quintas partes, es una magnitud racional. Y, en general, cada una magnitud que corresponde a esta magnitud, como un número a otro, es racional. Si, sin embargo, una magnitud puede no ser representada como un múltiplo, una parte o partes de una magnitud dada, es irracional, es decir, no se puede expresar que no sea por medio de las raíces ".

Muchos de estos conceptos fueron finalmente aceptados por los matemáticos europeos poco después de las traducciones del siglo 12 latinos. Al-Hassar, un matemático marroquí de Fez especializada en la jurisprudencia de la herencia islámica en el siglo 12, se menciona por primera vez el uso de una barra de fracción, donde numeradores y denominadores se separan por una barra horizontal. En su discusión, escribe, "... por ejemplo, si se le pide que escriba tres quintos y un tercio de un quinto, por lo tanto escribir,." Esta misma notación fraccionaria aparece poco después en la obra de Leonardo Fibonacci en el siglo 13.

Edad Moderna

El siglo 17 vio los números imaginarios se convierten en una poderosa herramienta en manos de Abraham de Moivre, y especialmente de Leonhard Euler. La finalización de la teoría de los números complejos en el siglo 19 ha supuesto la diferenciación de los irracionales en números algebraicos y trascendentes, la prueba de la existencia de números trascendentes, y el resurgimiento del estudio científico de la teoría de los irracionales, ignorada desde Euclides. El año 1872 vio la publicación de las teorías de Karl Weierstrass, Eduard Heine, Georg Cantor y Richard Dedekind. Mray había tomado en 1869 el mismo punto de partida como Heine, pero la teoría se refiere en general al año 1872 - el método de Weierstrass ha sido completamente establecida por Salvatore Pincherle en 1880, y Dedekind recibió prominencia adicional a través de obras posteriores del autor y la aprobación por Paul Tannery. Weierstrass, Cantor y Heine basan sus teorías sobre las series infinitas, mientras que funda su Dedekind en la idea de un corte en el sistema de los números reales, la separación de todos los números racionales en dos grupos que tienen ciertas propiedades características. El sujeto ha recibido contribuciones posteriores a manos de Weierstrass, Leopold Kronecker, y Charles mray.

Fracciones continuas, estrechamente relacionadas con los números irracionales, recibieron atención por parte de Euler, y en la apertura del siglo 19 fueron llevados a la fama a través de los escritos de Joseph Louis Lagrange. Dirichlet también añadido a la teoría general, al igual que numerosos contribuyentes a las aplicaciones de la asignatura.

Johann Heinrich Lambert demostró que p no puede ser racional, y que en es irracional si n es racional. Mientras que la prueba de Lambert se llama a menudo incompleta, las evaluaciones actuales son compatibles como satisfactorio, y de hecho para su época es inusualmente riguroso. Adrien-Marie Legendre, después de la introducción de la función de Bessel-Clifford, proporcionó una prueba para demostrar que p2 es irracional, de donde se sigue inmediatamente que p es irracional también. La existencia de números trascendentes fue establecida por primera vez por Liouville. Más tarde, Georg Cantor demostró su existencia por un método diferente, que mostró que cada intervalo en los reales contiene números trascendentes. Charles Hermite probó primero e trascendental, y Ferdinand von Lindemann, a partir de las conclusiones de Hermite, mostró el mismo para p. La demostración de Lindemann se simplifica mucho por Weierstrass, aún más por David Hilbert, y finalmente se hizo básica por Adolf Hurwitz y Paul Gordan.

Ejemplos de pruebas

Raíces cuadradas

La raíz cuadrada de 2 fue el primer número irracional demostró, y que el artículo contiene una serie de pruebas. La proporción áurea es otra famosa cuadrática irracional y no es una simple prueba de su irracionalidad en su artículo. Las raíces cuadradas de los números naturales que no son cuadrados perfectos son irracionales y una prueba se pueden encontrar en los irracionales cuadráticos.

Raíces Generales

La prueba anteriormente para la raíz cuadrada de dos puede ser generalizada utilizando el teorema fundamental de la aritmética. Esta afirma que todo entero tiene una factorización única en primos. Usándolo podemos demostrar que si un número racional no es un número entero y luego no poder integrante de la misma puede ser un número entero, como en su mínima que debe haber un claro en el denominador que no divide al numerador cualquier poder que cada uno se eleva a . Por lo tanto, si un entero no es una potencia exacta kth de otro número entero entonces su raíz kth es irracional.

Logaritmos

Tal vez los números más fáciles de probar irracional ciertos logaritmos. Aquí está una prueba por reducción al absurdo que log2 3 es irracional. Observe que log2 3 1,58> 0.

Suponga log2 3 es racional. Para algunos números enteros positivos m y n, tenemos

Resulta que

Sin embargo, el número 2 elevado a cualquier número entero positivo de alimentación tiene que ser plana y el número 3 elevado a cualquier número entero positivo de alimentación debe ser impar. Es evidente que un número entero no puede ser a la vez par e impar a la vez: tenemos una contradicción. La única suposición que hicimos fue que log2 3 es racional. La contradicción significa que este supuesto debe ser falsa, es decir, log2 3 es irracional, y nunca puede ser expresado como un cociente de números enteros m/n con n? 0.

Casos como log10 2 pueden ser tratados de manera similar.

Irracionales trascendentes y algebraicas

Casi todos los números irracionales son trascendentales y todos los números trascendentales reales son irracionales: el artículo sobre los números trascendentales enumera varios ejemplos. e r e p r son irracionales si r? 0 es racional; ep es irracional.

Otra forma de construir los números irracionales son los números algebraicos como irracionales, es decir, los ceros de polinomios con coeficientes enteros: comenzar con una ecuación polinómica

donde los coeficientes ai son enteros. Suponga usted que existe algún número real x con p = 0. Las únicas posibles raíces racionales de este polinomio son de la forma r/s donde r es un divisor de a0 y s es un divisor de una, hay sólo un número finito de tantos dichos candidatos se puede comprobar con la mano. Si ninguno de ellos es una raíz de p, entonces x debe ser irracional. Por ejemplo, esta técnica puede ser utilizada para mostrar que x = 1/3 es irracional: tenemos 2 = 2 y por lo tanto x6 - 2x3 - 1 = 0, y este último polinomio no tiene ningún raíces racionales.

Debido a que los números algebraicos forman un campo, muchos números irracionales pueden ser construidos mediante la combinación de números trascendentes y algebraica. Por ejemplo 3p 2, p v2 y ev3 son irracionales.

Expansiones decimales

La expansión decimal de un número irracional nunca se repite o finaliza, a diferencia de un número racional. Del mismo modo para binarios, octales o hexadecimales expansiones, y en general para expansiones en cada notación posicional con bases naturales.

Para mostrar esto, supongamos que dividimos números enteros n por m. Cuando la división larga se aplica a la división de n por m, solamente m restos son posibles. Si es 0 aparece como un resto, la expansión decimal termina. Si es 0 no se produce, entonces el algoritmo se puede ejecutar como máximo m - 1 pasos sin necesidad de utilizar ningún resto más de una vez. Después de eso, el resto debe repetirse, y luego repite la expansión decimal.

Por el contrario, supongamos que estamos ante un decimal periódico, podemos demostrar que es una fracción de dos números enteros. Por ejemplo, considere:

Aquí el repitend es 162 y la longitud de la repitend es 3 - En primer lugar, se multiplica por una potencia de 10 adecuada para mover el punto decimal a la derecha de modo que es justo en frente de un repitend. En este ejemplo, queremos multiplicar por 10 para obtener:

Ahora multiplicamos esta ecuación por 10r donde r es la longitud de la repitend. Esto tiene el efecto de mover el punto decimal a estar al frente de la "próxima" repitend. En nuestro ejemplo, multiplique por 103:

El resultado de las dos multiplicaciones da dos expresiones diferentes con exactamente la misma "parte decimal", es decir, el final de 10.000 A coincide con el final de 10A exactamente. Aquí, tanto 10000 A y 10 A tener 0,162162162 ... al final.

Por lo tanto, cuando se resta la ecuación 10A del 10000 Una ecuación, la cola de 10A anula el final de 10.000 A lo que nos deja:

Entonces

. 53/74 es un cociente de números enteros y por lo tanto un número racional.

Poderes irracionales

Dov Jarden dio una sencilla prueba no constructiva que existen dos números irracionales A y B, tales que ab es racional.

En efecto, si v2v2 es racional, y luego tomar a = b = v2. De lo contrario, tome una para ser el número irracional v2v2 yb = v2. Entonces ab = v2 = v2v2v2 = V22 = 2, que es racional.

Aunque el argumento anterior no decide entre los dos casos, el teorema de Gelfond-Schneider muestra que v2v2 es trascendental, por lo tanto irracional. Este teorema afirma que si a y b son ambos números algebraicos, y a no es igual a 0 o 1, y b no es un número racional, entonces cualquier valor de ab es un número trascendental.

Un ejemplo que proporciona una sencilla demostración constructiva es

La base de la izquierda es irracional y el lado derecho es racional, por lo que uno tiene que probar que el exponente en el lado izquierdo, es irracional. Esto es así porque, por la fórmula logaritmos en relación con diferentes bases,

que podemos asumir, por el bien de establecer una contradicción, es igual a una relación m/n de números enteros positivos. A continuación, por lo tanto, por lo tanto, por lo tanto, que es un par contradictorio de factorizaciones primas y por lo tanto viola el teorema fundamental de la aritmética.

Un resultado más fuerte es la siguiente: Cada número racional en el intervalo puede ser escrito ya sea como AA para algún número irracional o como un nn por algún número natural n. Del mismo modo, cada número racional positivo se puede escribir ya sea como para algunos un número irracional o como para algún número natural n.

Preguntas abiertas

No se sabe si p e o p - e es irracional o no. De hecho, no hay ningún par de números enteros no nulos m y n para los cuales se sabe si pf ne es irracional o no. Por otra parte, no se sabe si el conjunto {p, e} es algebraicamente independiente sobre Q.

No se sabe si pe, p/e, 2e, ee, eee, pe, pv2, ln p, Catalán de la constante o el gamma de Euler-Mascheroni constante? son irracionales. No se sabe si np o ne es racional para cualquier entero positivo n.

El conjunto de todos los números irracionales

Dado que los reales forman un conjunto incontable, de los cuales los racionales son un subconjunto numerable, el conjunto complementario de los irracionales es incontable.

En virtud de la función habitual distancia d = | x - y |, los números reales son un espacio métrico y por lo tanto también un espacio topológico. La restricción de la función de distancia euclidiana da los irracionales la estructura de un espacio métrico. Desde el subespacio de los irracionales no está cerrado, la métrica inducida no es completa. Sin embargo, siendo un G-delta ajustada, es decir, una intersección numerable de subconjuntos abiertos-en un espacio métrico completo, el espacio de los irracionales es topológicamente completa: es decir, no es un indicador de las irracionales inducir la misma topología como la restricción de la métrica euclidiana, pero con respecto a la cual los irracionales son completa. Uno puede ver esto sin conocer el hecho antes mencionado acerca de los conjuntos G-delta: el desarrollo en fracción continua de un número irracional define un homeomorfismo del espacio de los irracionales para el espacio de todas las secuencias de números enteros positivos, que se ve fácilmente que estar completamente metrizable.

Por otra parte, el conjunto de todos los irracionales es un espacio metrizable desconectado. De hecho, los irracionales tienen una base de abierto y cerrado establece así que el espacio es de dimensión cero.