Propiedad asociativa, Definición, Ejemplos, Lógica proposicional, No asociatividad

En matemáticas, la propiedad asociativa es una propiedad de algunas operaciones binarias. En la lógica proposicional, la asociatividad es una regla válida de reemplazo de expresiones en pruebas lógicas.

Dentro de una expresión que contiene dos o más apariciones en una fila de la misma operador asociativo, el orden en que se realizan las operaciones no importa siempre y cuando no se cambia la secuencia de los operandos. Es decir, la reordenación de los paréntesis en tal expresión no va a cambiar su valor. Consideremos, por ejemplo, las siguientes ecuaciones:

Considere la posibilidad de la primera ecuación. A pesar de que se reorganizan los paréntesis, el valor de la expresión no se alteró. Dado que esto es cierto cuando se realiza además de los números reales se dice que "además de los números reales es una operación asociativa."

La asociatividad no se debe confundir con la conmutatividad. Conmutatividad justifica cambiar el orden o secuencia de los operandos dentro de una expresión, mientras que la asociatividad no lo hace. Por ejemplo,

es un ejemplo de asociatividad debido a que los paréntesis se cambiaron, mientras que los operandos 5, 2, 1 y aparecieron en exactamente el mismo orden de izquierda a derecha en la expresión. Por el contrario,

es un ejemplo de conmutatividad, asociatividad no, debido a que la secuencia de operando cambió cuando los 2 y 5 lugares conmutados.

Operaciones asociativas son abundantes en las matemáticas, de hecho, muchas de las estructuras algebraicas explícitamente requieren que sus operaciones binarias sean asociativo.

Sin embargo, muchas operaciones importantes e interesantes no son asociativas, algunos ejemplos incluyen resta, potenciación y el producto vectorial.

Definición

Formalmente, una operación binaria en un conjunto S se llama asociativa si satisface la ley asociativa:

Aquí, se utiliza para sustituir el símbolo de la operación, que puede ser cualquier símbolo, e incluso la ausencia de símbolo, como para la multiplicación.

El orden de evaluación no afecta el valor de tales expresiones, y se puede demostrar que el mismo se aplica a las expresiones que contienen cualquier número de operaciones. Así, cuando es asociativas, el orden de evaluación se puede dejar sin especificar sin causar la ambigüedad, al omitir los paréntesis, y escribir simplemente:

Sin embargo, es importante recordar que el cambio del orden de las operaciones no implica ni permite mover los operandos alrededor dentro de la expresión; la secuencia de operandos es siempre sin cambios.

La ley asociativa también puede ser expresada en notación funcional por lo tanto:.

Ejemplos

Algunos ejemplos de las operaciones asociativos incluyen los siguientes.

  • La concatenación de las tres cuerdas "hola", "", "mundo" se puede calcular mediante la concatenación de las dos primeras cuerdas y añadiendo la tercera cuerda, o unirse a la segunda y tercera cuerda y concatenar la primera línea con el resultado. Los dos métodos producen el mismo resultado; concatenación de cadenas es asociativa.
  • En la aritmética, la suma y la multiplicación de números reales son asociativas, es decir,

 Debido a la asociatividad, los paréntesis de agrupación pueden ser omitidos sin ambigüedad.

  • Suma y multiplicación de números complejos y cuaterniones es asociativo. La adición de octoniones también es asociativa, pero la multiplicación de octoniones es no asociativo.
  • El máximo común divisor y menos funciones múltiples comunes actúan de forma asociativa.
  • Tomando la intersección o la unión de conjuntos:
  • Si M es un conjunto y S denota el conjunto de todas las funciones de M a M, a continuación, la operación de composición funcional en S es asociativa:
  • Un poco más en general, dado cuatro conjuntos de M, N, P y Q, con h: M a N, g: N a P, y f: P a Q, entonces

 como antes. En resumen, la composición de los mapas es siempre asociativa.

  • Considere un conjunto con tres elementos, A, B, y C. La siguiente operación:

 es asociativa. Por lo tanto, por ejemplo, A = C = A. Esta asignación no es conmutativa.

  • Debido a que las matrices representan funciones de transformación lineal, con la multiplicación de matriz que representa composición funcional, se puede concluir inmediatamente que la multiplicación de matrices es asociativa.

Lógica proposicional

Regla de la sustitución

En la lógica proposicional veritativo-funcional estándar, asociación o asociatividad son dos reglas válidas de reemplazo. Las normas permiten a uno moverse paréntesis en expresiones lógicas en pruebas lógicas. Las reglas son:

y

donde "" es un símbolo que representa metalógico "puede ser sustituido en una prueba con".

Conectivas funcionales Verdad

La asociatividad es una característica de algunos conectores lógicos de verdad-funcional de la lógica proposicional. Los siguientes equivalencias lógicas demuestran que la asociatividad es una propiedad de conectivas particulares. Los siguientes son tautologías veritativo-funcionales.

Asociatividad de la disyunción:

Asociatividad de la conjunción:

Asociatividad de equivalencia:

No asociatividad

Una operación binaria en un conjunto S que no cumple la ley asociativa se llama no asociativo. Simbólicamente,

Para esta operación el orden de evaluación es importante. Por ejemplo:

  • Sustracción
  • División
  • Exponenciación

También tenga en cuenta que las sumas infinitas no son generalmente asociativo, por ejemplo:

mientras

El estudio de las estructuras no asociativos surge de razones algo diferentes de la corriente principal del álgebra clásica. Una de las áreas dentro de álgebra no asociativa que ha crecido mucho es el de las álgebras de Lie. Existe la ley asociativa se sustituye por la identidad de Jacobi. Álgebras de Lie abstracta la naturaleza esencial de las transformaciones infinitesimales, y se han vuelto omnipresentes en las matemáticas. Ellos son un ejemplo de las álgebras no asociativas.

Hay otros tipos de estructuras no asociativas que se han estudiado en profundidad. Ellos tienden a provenir de algunas aplicaciones específicas. Algunos de ellos surgen en las matemáticas combinatorias. Otros ejemplos: Quasigroup, Quasifield, anillo asociativo.

Notación para las operaciones no asociativas

En general, se deben utilizar paréntesis para indicar el orden de la evaluación de si una operación no asociativo aparece más de una vez en una expresión. Sin embargo, los matemáticos están de acuerdo en un orden particular de la evaluación de varias operaciones no asociativas común. Esto es simplemente una convención de notación para evitar paréntesis.

Una operación asociativo por la izquierda es una operación no asociativo que se evalúa convencionalmente de izquierda a derecha, es decir,

mientras una operación asociativa por la derecha se evalúa convencionalmente de izquierda a derecha:

Se producen dos operaciones de izquierda asociativo y asociativo por la derecha. Operaciones asociativos por la izquierda son las siguientes:

  • La resta y división de números reales:
  • Aplicación Función:

 Esta notación puede ser motivado por el isomorfismo ganarse.

Operaciones Haga asociativas son las siguientes:

  • Potenciación de los números reales:

 La razón por la exponenciación es asociativo por la derecha es que una operación de exponenciación asociativo por la izquierda repetida sería menos útil. Varias apariencias podrían ser reescritos con la multiplicación:

  • Definición de la función

 Utilizando la notación asociativo por la derecha para estas operaciones pueden ser motivados por la correspondencia de Curry-Howard y por el isomorfismo ganarse.

Las operaciones no asociativas para el que no se ha definido para la evaluación convencional son las siguientes.

  • Tomando el producto cruzado de tres vectores:
  • Tomando el promedio de parejas de números reales:
  • Tomando el complemento relativa de conjuntos no es el mismo que.