Semigrupo, Definición, Ejemplos de semigrupos, Conceptos básicos, Estructura de los semigrupos, Clases especiales de semigrupos, Grupo de fracciones, Métodos semigrupo en ecuaciones diferenciales parciales, Historia, Las generalizaciones


En las matemáticas, un semigrupo es una estructura algebraica que consiste en un conjunto junto con una operación binaria asociativa. Un semigrupo generaliza un monoide en que un semigrupo no necesita tener un elemento de identidad. También generalizada de un grupo a un tipo en el que cada elemento no tiene que tener una inversa, de ahí el nombre semigrupo.

La operación binaria de un semigrupo es más a menudo denota multiplicativa:, o simplemente, denota el resultado de aplicar la operación semigrupo a la par ordenado. La operación se requiere para ser asociativo de manera que para todo x, y y Z, pero no tiene que ser conmutativa por lo que no tiene que ser igual.

Por definición, un semigrupo es un magma asociativo. Un semigrupo con un elemento de identidad se llama un monoide. Un grupo es entonces un monoide en el que cada elemento tiene un elemento inverso. Semigrupos no deben ser confundidos con cuasigrupos que son los conjuntos con una operación binaria no necesariamente asociativo de tal manera que la división es siempre posible.

El estudio formal de semigrupos comenzó en el siglo 20. Semigroups son importantes en muchas áreas de las matemáticas, ya que son el fundamento algebraica abstracta de los sistemas "sin memoria": los sistemas que dependen del tiempo que se inician a partir de cero en cada iteración. En matemáticas aplicadas, semigrupos son modelos fundamentales para los sistemas lineales invariantes en el tiempo. En las ecuaciones diferenciales parciales de un semigrupo se asocia a cualquier ecuación cuya evolución espacial es independiente del tiempo. La teoría de semigrupos finitos ha sido de particular importancia en la computación teórica desde la década de 1950 debido a la relación natural entre semigrupos finitos y autómatas finitos. En la teoría de la probabilidad, semigrupos están asociados con los procesos de Markov.

Definición

Un semigrupo es un conjunto con una operación binaria "" que satisface la propiedad asociativa:

Para todos, la ecuación es válida.

Más sucintamente, un semigrupo es un magma asociativo.

Ejemplos de semigrupos

  • Empty semigrupo: el conjunto vacío forma una semigrupo con la función vacía como la operación binaria.
  • Semigrupo con un elemento: hay esencialmente sólo uno, el singleton {a} con la operación aa = a.
  • Semigrupo con dos elementos: hay cinco que son esencialmente diferentes.
  • El conjunto de los enteros positivos con la adición.
  • Matrices cuadradas no negativas de un tamaño determinado, con la multiplicación de matrices.
  • Cualquier ideal de un anillo con la multiplicación del anillo.
  • El conjunto de las cadenas finitas en un alfabeto S fija con concatenación de cadenas como la operación semigrupo - la llamada "semigrupo libre sobre S". Con la cadena vacía incluido, este semigrupo se convierte en el monoide libre sobre S.
  • Una distribución de probabilidad F, junto con todos los poderes de convolución de F, con convolución como operación. Esto se llama un semigrupo convolución.
  • Un monoide es un semigrupo con un elemento de identidad.
  • Un grupo es un monoide en el que cada elemento tiene un elemento inverso.
  • Semigrupos de transformación y monoides

Conceptos básicos

Identidad y cero

Todo semigrupo de hecho cada magma tiene a lo sumo un elemento de identidad. Un semigrupo con identidad se llama un monoide. Un semigrupo sin identidad puede ser embebido en un monoide simplemente junto a un elemento para definir y por todas. La notación S1 denota un monoide obtenido de S por contiguas una identidad si es necesario.

De manera similar, todos los magma tiene a lo sumo un elemento de absorción, que en teoría semigrupo se llama un cero. Análoga a la construcción anterior, para cada semigrupo S, uno define S0, un semigrupo con 0 que incrusta S.

Subsemigroups e ideales

La operación semigrupo induce una operación en la colección de sus subconjuntos: subconjuntos dados A y B de un semigrupo S, su producto A * B, escribe comúnmente como AB, es la ab set. En términos de estas operaciones, un subconjunto A se llama

  • un subsemigroup si AA es un subconjunto de A,
  • un ideal de razón si AS es un subconjunto de A, y
  • si SA un ideal por la izquierda es un subconjunto de A.

Si A es tanto un ideal por la izquierda y un ideal de la derecha, entonces se llama un ideal.

Si S es un semigrupo, entonces la intersección de cualquier colección de subsemigroups de S es también un subsemigroup de S. Así las subsemigroups de S forman una red completa.

Un ejemplo de semigrupo con ningún ideal mínimo es el conjunto de los enteros positivos menores de adición. El ideal mínimo de un semigrupo conmutativo, cuando existe, es un grupo.

Las relaciones de Green, un conjunto de cinco relaciones de equivalencia que caracterizan a los elementos en términos de las principales ideas que generan, son importantes herramientas para el análisis de los ideales de un semigrupo y los criterios conexos de la estructura.

Homomorfismos y congruencias

Un homomorfismo semigrupo es una función que preserva la estructura de semigrupo. Una función f: S? T entre dos semigrupos es un homomorfismo si la ecuación

 f = ff.

es válido para todos los elementos a, b en S, es decir, el resultado es el mismo cuando se realiza la operación semigrupo después o antes de aplicar el mapa f.

Un homomorfismo semigrupo entre monoides preserva la identidad si es un homomorfismo monoide. Pero hay homomorfismos semigrupo que no son homomorfismos monoide, por ejemplo la inmersión canónica de un semigrupo sin identidad en. Condiciones caracterizan homomorfismos monoide se discuten. Deja un homomorfismo semigrupo. La imagen también es un semigrupo. Si es un monoide con un elemento de identidad, entonces es el elemento de la identidad en la imagen de. Si es también un monoide con un elemento de identidad y pertenece a la imagen de, a continuación, es decir, es un homomorfismo monoide. En particular, si se sobreyectiva y luego es un homomorfismo monoide.

Dos semigrupos S y T se dice que son isomorfos si existe una biyección f: S? T con la propiedad de que, por los elementos a, b en S, f = ff. Semigrupos isomorfos tienen la misma estructura.

Un congruencia semigrupo es una relación de equivalencia que es compatible con la operación semigrupo. Es decir, un subconjunto que es una relación de equivalencia y e implica por cada en S. Como cualquier relación la equivalencia, una congruencia semigrupo induce clases de congruencia

y la operación semigrupo induce una operación binaria sobre las clases de congruencia:

Debido a que es una congruencia, el conjunto de todas las clases de congruencia de las formas con un semigrupo, llamado el cociente semigrupo o factor semigrupo, y denota. La asignación es un homomorfismo semigrupo llamado el mapa cociente, surjection canónica o de proyección: si S es un monoide entonces semigrupo cociente es un monoide con la identidad. Por el contrario, el núcleo de cualquier homomorfismo semigrupo es una congruencia semigrupo. Estos resultados no son nada más que una particularización del primer teorema de isomorfismo en el álgebra universal. Clases de congruencia y monoides factores son los objetos de estudio de los sistemas de reescritura de cadena.

A congruencia nuclear en S es uno que es el núcleo de un endomorfismo de S.

Un semigrupo S satisface la condición máxima de congruencias si alguna familia de congruencias en S, ordenado por la inclusión, tiene un elemento máximo. Por el Lema de Zorn, esto es equivalente a decir que la condición de cadena ascendente tiene: no hay una cadena estrictamente ascendente infinita de congruencias en S.

Todo lo ideal de un semigrupo induce una subsemigroup, el factor de Rees semigrupo través de la congruencia x? y? o bien x = y o ambos x e y son en I.

Estructura de los semigrupos

Para cualquier subconjunto A de S hay un pequeño subsemigroup T de S que contiene A, y decimos que A genera T. Un solo elemento x de S genera el subsemigroup xn. Esta Si es finito, entonces x Se dice que es de orden finito, de lo contrario, es de orden infinito. Una semigrupo se dice que es periódica si todos sus elementos son de orden finito. Un semigrupo generado por un único elemento se dice que es monogénica. Si un monogénica semigrupo es infinito entonces es isomorfo al semigrupo de enteros positivos con la operación de adición. Si es finito y no vacío, entonces debe contener al menos un idempotente. De ello se deduce que cada periódica no vacío semigrupo tiene al menos un idempotente.

Un subsemigroup que es también un grupo se llama un subgrupo. Existe una estrecha relación entre los subgrupos de un semigrupo y sus idempotentes. Cada subgrupo contiene exactamente un idempotente, a saber, el elemento de identidad del subgrupo. Para cada e idempotente del semigrupo hay un subgrupo maximal única que contiene e. Cada subgrupo máxima surge de esta manera, por lo que hay una correspondencia uno a uno entre idempotentes y subgrupos máximas. Aquí el término subgrupo máxima difiere de su uso estándar en la teoría de grupos.

A menudo se puede decir que la orden es finito. Por ejemplo, cada conjunto finito no vacío semigrupo es periódica, y tiene un ideal de mínimo y al menos un idempotente. Para más información sobre la estructura de los semigrupos finitos, ver la teoría Krohn-Rodas.

Clases especiales de semigrupos

  • Un monoide es un semigrupo con identidad.
  • Un subsemigroup es un subconjunto de un semigrupo que está cerrada bajo la operación semigrupo.
  • Una banda es un semigrupo la operación de los cuales es idempotente.
  • Un semigrupo cancellative es uno que tiene la propiedad de cancelación: ab = ac implica b = c y lo mismo para ba = c a.
  • A semirretículo es un semigrupo cuyo funcionamiento es idempotente y conmutativa.
  • Semigrupos 0-simples.
  • Semigrupos transformación: cualquier semigrupo finito S se pueden representar mediante transformaciones de un conjunto de Q como máximo | S | estados. Cada elemento x de S luego mapas Q en sí mismo x: Q? Q y la secuencia xy se define por q = y para cada q en Q. Secuenciación claramente es una operación asociativa, esto equivale a funcionar composición. Esta representación es básica para cualquier autómata o máquina de estados finitos.
  • El bicíclico semigrupo es de hecho un monoide que puede ser descrito como la libre semigrupo en dos generadores de p y q, bajo la relación pq = 1.
  • De C0-semigrupos.
  • Semigrupos regulares. Cada elemento x tiene por lo menos una inversa y satisfactoria xyx = x, y = y YXY, los elementos x e y a veces se llaman "mutuamente inversa".
  • Semigrupos inversos son semigrupos regulares donde cada elemento tiene exactamente una inversa. Alternativamente, un semigrupo regular es inversa si y sólo si dos idempotentes conmutar.
  • Afín semigrupo: un semigrupo es isomorfo a un subsemigroup con generación finita de Zd. Estos semigrupos tienen aplicaciones en el álgebra conmutativa.

Grupo de fracciones

El grupo de fracciones de un semigrupo S es el grupo G = G generada por los elementos de S como generadores y todas las ecuaciones xy = z que es verdad en S como las relaciones. Esto tiene una propiedad universal de morfismos de la S a un grupo. Hay un mapa obvia de S a T mediante el envío de cada elemento de S para el generador correspondiente.

Una cuestión importante es la caracterización de los semigrupos de que este mapa es una inmersión. Esto no siempre tiene que ser así: por ejemplo, tomar S ser el semigrupo de los subconjuntos de un conjunto X con la intersección de la teoría de conjuntos como la operación binaria. Dado que AA = Un vale para todos los elementos de S, esto debe ser cierto para todos los generadores de G, así: por lo tanto, que es el grupo trivial. Está claro que es necesario para la incrustación que S tiene la propiedad de cancelación. Cuando S es conmutativa esta condición también es suficiente y el grupo de Grothendieck de la semigrupo proporciona una construcción del grupo de fracciones. El problema para los semigrupos no conmutativos se remonta al primer papel importante en semigrupos,. Anatoli Maltsev dio necesarios y las condiciones de incrustación en 1937.

Métodos semigrupo en ecuaciones diferenciales parciales

 Más información: alquilo C0-semigrupo

Teoría semigrupo puede ser usado para estudiar algunos problemas en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales. En términos generales, el enfoque semigrupo es considerar una ecuación diferencial parcial en función del tiempo como una ecuación diferencial ordinaria en un espacio funcional. Por ejemplo, consideremos el siguiente problema de valor inicial/contorno para la ecuación del calor en el intervalo espacial? R y los tiempos t = 0:

Sea X la Lp espacio L2 y sea A el operador de segunda derivada con dominio

Entonces el problema de valor inicial/límite superior se puede interpretar como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria en el espacio X:

A nivel heurístico, la solución a este problema "debería" ser u = expu0. Sin embargo, para un tratamiento riguroso, un significado debe darse a la exponencial de la asistencia técnica. Como una función de t, exp es un semigrupo de operadores de x a sí mismo, teniendo el u0 estado inicial en el tiempo t = 0 a la T = expu0 estado en el tiempo t. El operador A se dice que es el generador infinitesimal del semigrupo.

Historia

El estudio de semigrupos arrastró detrás de la de otras estructuras algebraicas con axiomas más complejos tales como los grupos o anillos. Un número de fuentes atribuyen el primer uso del término a J.-A. de Sguier en ELEMENTOS DE LA thorié des Groupes Abstraits en 1904 - El término se utiliza en Inglés en 1908 en la teoría de los grupos de orden finito de Harold Hinton.

Anton Suschkewitsch obtuvo los primeros resultados no triviales sobre semigrupos. Su papel bre de 1928 troquel endlichen Gruppen ohne Das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit determinó la estructura de semigrupos finitos simples y mostró que el ideal mínima de un semigrupo finito es simple. A partir de ese momento, los fundamentos de la teoría semigrupo se pusieron aún más por David Rees, James Alexander Green, Evgenii Sergeevich Lyapin, Alfred H. Clifford y Gordon Preston. Los dos últimos publicó una monografía en dos volúmenes sobre la teoría de semigrupos en 1961 y 1967 respectivamente. En 1970, un nuevo periódico llamado Foro semigrupo se convirtió en una de las pocas revistas matemáticos dedicados por entero a la teoría semigrupo.

En los últimos años los investigadores en el campo se han vuelto más especializada con monografías dedicadas que aparecen en las clases importantes de semigrupos, como semigrupos inversos, así como monografías centradas en las aplicaciones en la teoría de autómatas algebraica, en particular para los autómatas finitos, y también en el análisis funcional.

Las generalizaciones

Si el axioma de asociatividad de un semigrupo se cae, el resultado es un magma, que no es más que un conjunto M equipado con un MM operación binaria? M.

Generalizar en una dirección distinta, una n-aria semigrupo es una generalización de un semigrupo con un G conjunto con una operación de n-aria en lugar de una operación binaria. La ley asociativa se generaliza como sigue: asociatividad ternario es de = ae = ab, es decir, la abcde cadena con cualquiera de los tres elementos adyacentes entre corchetes. N-aria asociatividad es una cadena de longitud n con los elementos adyacentes n entre corchetes. A 2-aria semigrupo es un semigrupo. Otras axiomas conducen a un grupo n-aria.

Una tercera es la generalización semigroupoid, en el que el requisito de que la relación binaria ser total se levanta. Como categorías generalizan monoides de la misma manera, un semigroupoid se comporta como una categoría, pero carece de las identidades.