Campo vectorial, Definición, Ejemplos, Las operaciones en los campos de vectores, Historia, Curvas de flujo, Diferencia entre escalar y campo vectorial, f relación, Las generalizaciones



En cálculo vectorial, un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano. Un campo de vectores en el plano, por ejemplo, se puede visualizar como una colección de flechas con una magnitud y dirección de cada uno conectado a un punto en el plano dado. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento a través del espacio, o la fuerza y la dirección de una fuerza, tal como la fuerza magnética o gravitacional, a medida que cambia de punto a punto.

Los elementos de cálculo diferencial e integral se extienden a campos de vectores de una manera natural. Cuando un campo vectorial representa la fuerza, la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza en movimiento a lo largo de un camino, y bajo esta interpretación la conservación de la energía se manifiesta como un caso especial del teorema fundamental del cálculo. Campos vectoriales útilmente pueden ser considerados como la representación de la velocidad de un flujo de movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones como la divergencia y el rizo.

En coordenadas, un campo vectorial en un dominio en el espacio euclidiano n-dimensional puede ser representada como una función vectorial que asocia una n-tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo de vectores depende del sistema de coordenadas, y hay una ley de transformación bien definido al pasar de un sistema de coordenadas al otro. Los campos vectoriales se discuten a menudo en subconjuntos abiertos de espacio euclidiano, sino que también tienen sentido en otros subconjuntos tales como superficies, donde se asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto.

Más generalmente, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables, que son espacios que se parecen a espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero pueden tener una estructura más complicada en escalas más grandes. En esta configuración, un campo vectorial da un vector tangente en cada punto del colector. Campos vectoriales son una especie de campo de tensores.

Definición

Campos vectoriales sobre subconjuntos del espacio euclidiano

Dado un subconjunto S en Rn, un campo vectorial se representa por una función vectorial V: S? Rn en coordenadas cartesianas estándar. Si cada componente de V es continua, entonces V es un campo vectorial continuo, y más en general V es un campo de vector Ck si cada componente V es k veces continuamente diferenciable.

Un campo de vectores puede ser visualizada como la asignación de un vector de puntos individuales dentro de un espacio n-dimensional.

Dadas dos Ck-vector campos V, W definida en S y un verdadero valor Ck-función f definida sobre S, las dos operaciones de multiplicación escalar y suma de vectores

definir el módulo de campos Ck-vector sobre el anillo de la CK-funciones.

Coordinar la ley de transformación

En física, un vector se distingue, además, por la forma en su cambio de coordenadas cuando se mide el mismo vector con respecto a un sistema de coordenadas de fondo diferente. Las propiedades de transformación de los vectores de distinguir un vector como una entidad geométrica distinta de una simple lista de escalares, o de un covector.

Por lo tanto, supongamos que es una elección de coordenadas cartesianas, en términos de que los componentes del vector V se

y suponer que son funciones n del xi definen un sistema de coordenadas diferente. A continuación, se requieren los componentes del vector V en las nuevas coordenadas para satisfacer la ley de transformación

Una ley de la transformación se llama contravariante. Una ley de transformación similar caracteriza a los campos de vectores en la física: específicamente, un campo vectorial es una especificación de las funciones de n en cada sistema de coordenadas sujetos a la ley de transformación en relación a los diferentes sistemas de coordenadas.

Campos vectoriales se lo contrasta con los campos escalares, que asocian un número o escalar a cada punto en el espacio, y se contrastan con las listas de sencillos de los campos escalares, que no se transforman bajo cambios de coordenadas.

Campos vectoriales en colectores

Dada una variedad M diferenciable, un campo vectorial en M es una asignación de un vector tangente a cada punto en M. Más precisamente, un campo vectorial F es un mapeo de M en el fibrado tangente TM a fin de que es la asignación de identidad, donde p denota la proyección de TM a M. En otras palabras, un campo vectorial es una sección del paquete de la tangente.

Si la variedad M es lisa o es analítica-que, el cambio de coordenadas es lisa-entonces uno puede tener sentido de la noción de campos vectoriales suaves. La colección de todos los campos vectoriales suaves sobre un múltiple liso M a menudo se denota por G o C8; la colección de todos los campos vectoriales suaves también se denota por.

Ejemplos

  • Un campo de vectores para la circulación de aire en la Tierra se asociará para cada punto de la superficie de la Tierra con un vector de la velocidad del viento y la dirección de dicho punto. Esto puede ser dibujado usando flechas para representar el viento; la longitud de la flecha será una indicación de la velocidad del viento. Un "alto" en el habitual mapa de presión barométrica actuaría entonces como fuente, y una "baja" sería un fregadero, ya que el aire tiende a moverse desde zonas de alta presión a zonas de baja presión.
  • Campo de velocidad de un fluido en movimiento. En este caso, un vector de velocidad se asocia a cada punto en el fluido.
  • Simplifica, Streaklines y trayectorias son 3 tipos de líneas que se pueden hacer de campos de vectores. Ellos son:

 streaklines - como se revela en túneles de viento con humo. líneas de corriente - como una línea que representa el campo instantáneo en un momento dado. trayectorias - mostrando el camino que una partícula dada seguiría.

  • Los campos magnéticos. Los fieldlines pueden ser revelados mediante limaduras de hierro pequeñas.
  • Ecuaciones de Maxwell nos permiten utilizar un conjunto dado de condiciones iniciales para deducir, para cada punto en el espacio euclidiano, una magnitud y dirección de la fuerza experimentada por una partícula de prueba cargada en ese punto, el campo de vectores resultante es el campo electromagnético.
  • Un campo gravitatorio generado por cualquier objeto masivo es también un campo vectorial. Por ejemplo, los vectores de campo gravitacionales para un cuerpo esférico simétrico haría todo punto hacia el centro de la esfera con la magnitud de los vectores de la reducción de la distancia radial desde el cuerpo aumenta.

Gradiente de campo

Los campos vectoriales se pueden construir fuera de los campos escalares utilizando el operador gradiente.

Un campo vectorial V definida en un conjunto S se denomina un gradiente de campo o un campo conservadora si existe una función f de valor real en S tal que

El flujo asociada se denomina el flujo de gradiente, y se utiliza en el método de descenso de gradiente.

La integral de camino a lo largo de cualquier curva cerrada? en un campo de gradiente es cero:

donde los corchetes angulares y las comas:?,? denota el producto interior de dos vectores.

Campo central

Un campo C8-vector sobre Rn \\ {0} se llama un campo central si

donde O es el grupo ortogonal. Decimos campos centrales son invariantes bajo transformaciones ortogonales alrededor de 0.

El punto 0 se denomina el centro del campo.

Desde transformaciones ortogonales son realmente rotaciones y reflexiones, las condiciones de invarianza significa que los vectores de un campo central siempre se dirigen hacia o lejos de, 0, lo que es una definición alternativa. Un campo central es siempre un gradiente de campo, ya que la definición en uno semieje y la integración da una antigradient.

Las operaciones en los campos de vectores

Línea integral

Una técnica común en la física es la integración de un campo vectorial a lo largo de una curva, es decir, para determinar la integral de línea. Teniendo en cuenta una partícula en un campo de vector gravitacional, en donde cada vector representa la fuerza que actúa sobre la partícula en un punto dado en el espacio, la integral de línea es el trabajo realizado sobre la partícula cuando se viaja a lo largo de un cierto camino.

La integral de línea se construye de manera análoga a la integral de Riemann y que existe si la curva es rectificable y el campo de vector es continua.

Dado un campo vectorial V y una curva? parametrizada por la integral de línea se define como

Divergencia

La divergencia de un campo vectorial en el espacio euclidiano es una función. En tres dimensiones, la divergencia se define por

con la generalización obvia de dimensiones arbitrarias. La divergencia en un punto representa el grado en que un pequeño volumen alrededor del punto es una fuente o un sumidero para el vector de flujo, un resultado que se hace precisa por el teorema de la divergencia.

La divergencia también se puede definir en una variedad de Riemann, es decir, un colector con una métrica de Riemann que mide la longitud de los vectores.

Rizo

El rizo es una operación que lleva un campo vectorial y produce otro campo vectorial. El rizo se define sólo en tres dimensiones, pero algunas propiedades de la curvatura puede ser capturado en dimensiones más altas con la derivada exterior. En tres dimensiones, que se define por

El rizo mide la densidad del momento angular del vector de flujo en un punto, es decir, la cantidad a la que el flujo circula alrededor de un eje fijo. Esta descripción intuitiva se hace preciso por el teorema de Stokes.

Historia

Campos vectoriales surgieron inicialmente en la teoría clásica de campos de la física del siglo 19, específicamente en el magnetismo. Fueron formalizadas por Michael Faraday, en su concepto de líneas de fuerza, que hizo hincapié en que el campo en sí debe ser un objeto de estudio, que se ha convertido a lo largo de la física en la forma de la teoría del campo.

Además del campo magnético, otros fenómenos que se modelaron como campos de vectores por Faraday incluyen el campo eléctrico y el campo de luz.

Curvas de flujo

Considere el flujo de un fluido a través de una región del espacio. En cualquier momento dado, cualquier punto del fluido tiene una velocidad particular asociado con ella, por lo que hay un campo vectorial asociada a cualquier flujo. Lo contrario también es cierto: es posible asociar un flujo de un campo vector que tiene que campo vectorial como su velocidad.

Dado un campo vectorial V definida en S, se define curvas? en S tal que para cada t en un intervalo I

Por el teorema de Picard-Lindelf, si V es Lipschitz continua existe un único C1-curva? X para cada punto x en S para que

Las curvas? X se denominan curvas de flujo del campo vectorial V y S partición en clases de equivalencia. No siempre es posible extender el intervalo a toda la recta real. El flujo puede, por ejemplo, alcanzar el borde de S en un tiempo finito. En dos o tres dimensiones se puede visualizar el campo vectorial como dando lugar a un flujo en S. Si dejamos caer una partícula en este flujo en un punto P que se moverá a lo largo de la curva de? P en el flujo en función del punto inicial p. Si p es un punto de V estacionaria entonces la partícula se mantendrá en p.

Las aplicaciones típicas se agilizan en el líquido, el flujo geodésico y subgrupos de un parámetro y el mapa exponencial de los grupos de Lie.

Campos de vectores completos

Un campo vectorial es completa si se dan las curvas de flujo de todos los tiempos. En particular, los campos de vectores soporte compacto sobre un colector son completa. Si X es un completo campo de vectores en M, entonces el grupo existe un parámetro de difeomorfismos generados por el flujo a lo largo de X de todos los tiempos.

Diferencia entre escalar y campo vectorial

La diferencia entre un escalar y campo vectorial no es un escalar que es sólo un número, mientras que un vector es varios números. La diferencia está en cómo sus coordenadas responden a las transformaciones de coordenadas. Un escalar es una coordenada mientras que un vector puede ser descrito por las coordenadas, pero no es la colección de sus coordenadas.

Ejemplo 1

Este ejemplo es sobre el espacio euclidiano 2-dimensional donde examinamos coordenadas euclidianas y polares. Por lo tanto x = r cos? y = r sen? y r2 = x2 y2, cos? = X/1/2 y el pecado? = Y/1/2. Supongamos que tenemos un campo escalar que viene dada por la función constante 1, y un campo vector que se une un vector en la dirección-r con longitud de 1 a cada punto. Más precisamente, se les da por las funciones

Vamos a convertir estos campos a coordenadas euclidianas. El vector de longitud 1 en el r-dirección tiene las coordenadas x cos? y la coordenada pecado y?. Así, en euclidiana coordina los mismos campos se describen por las funciones

Vemos que mientras que el campo escalar sigue siendo el mismo, el campo vectorial ahora se ve diferente. Lo mismo se aplica incluso en el caso 1-dimensional, como se ilustra por el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Considere el 1-dimensional espacio euclidiano R con su norma euclídea coordenadas x. Supongamos que tenemos un campo escalar y un campo vectorial que son ambos administrados en la coordenada x de la función constante 1,

Por lo tanto, tenemos un campo escalar que tiene el valor 1 en todas partes y un campo vector que se une un vector en la dirección x con la magnitud 1 unidad de x para cada punto.

Consideremos ahora las coordenadas? : = 2x. Si x cambia una unidad, entonces? cambios 2 unidades. Por lo tanto este campo vector tiene una magnitud de 2 en unidades de?. Por lo tanto, en el? coordinar el campo escalar y el campo vectorial se describen las funciones

que son diferentes.

f relación

Dada una función suave entre variedades, f: M? N, el derivado es un mapa inducida por la paquetización de tangentes, f *: TM? TN. Campos vectoriales Dadas V: M? TM y W: N? TN, podemos preguntarnos si son compatibles por f en el siguiente sentido. Decimos que W es f relacionada con v Si la ecuación tiene.

Las generalizaciones

Sustitución de vectores de vectores p rendimientos campos p-vector, tomando el exterior poderes rendimientos diferenciales k-formas de doble espacio y, y la combinación de estos rendimientos campos tensoriales generales.

Algebraicamente, los campos de vectores pueden ser caracterizados como derivaciones de la álgebra de funciones suaves en el colector, que conduce a la definición de un campo vectorial en un álgebra conmutativa como una derivación en el álgebra, que se desarrolla en la teoría de cálculo diferencial sobre álgebras conmutativos.