Ángulo inscrito, Propiedad, Prueba, Teorema

En la geometría, se forma un ángulo inscrito cuando dos líneas secantes de un círculo se cruzan en el círculo.

Por lo general, es más fácil pensar en un ángulo inscrito como está definido por dos cuerdas del círculo que comparten un punto final.

Las propiedades básicas de los ángulos inscritos se discuten en el libro 3, las Proposiciones 20 a 22 de los Elementos de Euclides. Estos son el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central, los ángulos inscritos en el mismo arco de un acorde son iguales y la suma de los dos ángulos inscritos distintas de un acorde es 180.

Propiedad

Un ángulo inscrito se dice que se cruzan un arco en el círculo. El arco es la parte del círculo que está en el interior del ángulo. La medida del arco interceptado es exactamente el doble de la medida del ángulo inscrito.

Esta propiedad única tiene una serie de consecuencias en el círculo. Por ejemplo, se le permite a uno para demostrar que cuando dos cuerdas se cruzan en un círculo, los productos de las longitudes de sus piezas son iguales. También le permite a uno para probar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios.

Prueba

Para entender esta prueba, es útil dibujar un diagrama.

Ángulos inscritos en una cuerda es un diámetro

Sea O el centro de un círculo. Elija dos puntos en el círculo, y los llama V y A. Draw line VO y prolongado pasado O para que se cruza con el círculo en el punto B que es diametralmente opuesto al punto V. Dibuja un ángulo cuyo vértice es el punto V y cuyos lados pasan a través de los puntos A y B.

Dibuje la línea OA. Ángulo BOA es un ángulo central; llamarlo?. Líneas OV y OA son ambos radios del círculo, por lo que tienen la misma longitud. Por lo tanto VOA triángulo es isósceles, por lo que el ángulo BVA y el ángulo VAO son iguales; vamos a cada uno de ellos se denota como?.

Ángulos BOA y AOV son suplementarios. Se suman 180, dado que la línea que pasa por el VB es una línea recta. Por lo tanto el ángulo AOV mide 180 -.

Se sabe que los tres ángulos de un triángulo suman 180, y los tres ángulos del triángulo VOA son:

 180 -? ? ?.

Por lo tanto

Resta 180 de ambos lados,

donde? es el ángulo central que subtiende arco AB y? es el ángulo inscrito que subtiende arco AB.

Ángulos inscritos con el centro del círculo en su interior

Dado un círculo cuyo centro es el punto O, elija tres puntos V, C y D en el círculo. Dibujar líneas VC y VD: Ángulo DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuja la línea VO y extenderla más allá del punto O de manera que se cruza el círculo en el punto E. Angle DVC subtiende arco DC en el círculo.

Supongamos que este arco incluye E punto dentro de él. El punto E es diametralmente opuesto al punto V. Ángulos DVE y EVC también son ángulos inscritos, pero ambos de estos ángulos tienen un lado que pasa por el centro del círculo, por lo tanto, el teorema de la pieza por encima de 1 se puede aplicar a ellos.

Por lo tanto

luego dejar

de modo que

Dibujar líneas OC y OD. Ángulo DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos DOE y EOC, y

Dejar

de modo que

De la primera parte se sabe que y que. La combinación de estos resultados con los rendimientos de la ecuación

por lo tanto, por la ecuación,

Ángulos inscritos con el centro del círculo en su exterior

Dado un círculo cuyo centro es el punto O, elija tres puntos V, C y D en el círculo. Dibujar líneas VC y VD: Ángulo DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuja la línea VO y extenderla más allá del punto O de manera que se cruza el círculo en el punto E. Angle DVC subtiende arco DC en el círculo.

Supongamos que este arco no incluye el punto E en su interior. El punto E es diametralmente opuesto al punto V. Ángulos DVE y EVC también son ángulos inscritos, pero ambos de estos ángulos tienen un lado que pasa por el centro del círculo, por lo tanto, el teorema de la pieza por encima de 1 se puede aplicar a ellos.

Por lo tanto

.

luego dejar

de modo que

Dibujar líneas OC y OD. Ángulo DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos DOE y EOC, y

Dejar

de modo que

De la primera parte se sabe que y que. La combinación de estos resultados con los rendimientos de la ecuación

por lo tanto, por la ecuación,

Teorema

El ángulo inscrito teorema afirma que un ángulo? inscrito en un círculo es la mitad del ángulo central 2? que subtiende el mismo arco en el círculo. Por lo tanto, el ángulo no cambia como su vértice se mueve a diferentes posiciones en el círculo.

El ángulo inscrito teorema se utiliza en muchas pruebas de la geometría euclidiana elemental del plano. Un caso especial del teorema es el teorema de Thales, que establece que el ángulo subtendido por un diámetro siempre es 90, es decir, un ángulo recto. Como consecuencia del teorema de los ángulos opuestos de los cuadriláteros suma cíclica a 180, por el contrario, cualquier cuadrilátero para las que esto es así puede estar inscritas en un círculo. Como otro ejemplo, el teorema de ángulo inscrito es la base para varios teoremas relacionados con la potencia de un punto con respecto a un círculo.

Prueba

En el caso más simple, una pierna del ángulo inscrito es un diámetro del círculo, es decir, pasa a través del centro del círculo. Desde esa pierna es una línea recta, el suplemento del ángulo central es igual a 180-2?. Dibujo un segmento desde el centro del círculo hasta el otro punto de intersección del ángulo inscrito produce un triángulo isósceles, a partir de dos radios del círculo y el partido de vuelta del ángulo inscrito. Dado que dos de los ángulos de un triángulo isósceles son iguales y dado que los ángulos en un triángulo debe añadir hasta 180, se deduce que el ángulo inscrito es igual a?, La mitad del ángulo central.

Este resultado se puede extender a un ángulo arbitrariamente inscrito dibujando un diámetro desde el vértice del ángulo. Esto convierte el problema general en dos sub-casos en los que un diámetro es de una pierna de cada ángulo. El ángulo arbitrario es igual a la mitad de la diferencia entre los dos ángulos centrales que comparten el diámetro como una pierna. Adición de los dos subangles nuevo produce el resultado de que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central.

Tenga en cuenta que el ángulo central del ángulo inscrito es oro 360-2?. Por lo tanto, la mitad de ella es de 180 -.

El conjunto de todos los puntos para los que un segmento de línea se puede ver en el ángulo medido? contiene dos arcos. En el caso especial de 90, hay exactamente un círculo con centro en el centro del segmento de línea.

Corolarios

Por un argumento similar, el ángulo entre la cuerda y la línea tangente en uno de sus puntos de intersección es igual a la mitad del ángulo central subtendido por la cuerda. Véanse también las líneas tangentes a los círculos.