Teorema de equipartición, Conceptos básicos y ejemplos sencillos, Historia, Formulación general del teorema de equipartición, Aplicaciones, Derivaciones, Limitaciones

En la mecánica estadística clásica, el teorema de equipartición es una fórmula general que relaciona la temperatura de un sistema con sus energías promedio. El teorema de equipartición también se conoce como la ley de equipartición, equipartición de la energía, o simplemente equipartición. La idea original de equipartición fue que, en equilibrio térmico, la energía es compartida por igual entre todas sus diversas formas, por ejemplo, la energía cinética media por grado de libertad en el movimiento de traslación de una molécula debe ser igual a la de sus movimientos de rotación.

El teorema de equipartición hace predicciones cuantitativas. Al igual que el teorema del virial, que da las energías cinética y potencial promedio totales para un sistema a una temperatura dada, de la que la capacidad de calor del sistema puede ser calculada. Sin embargo, equipartición también da los valores medios de los componentes individuales de la energía, como la energía cinética de una partícula particular o de la energía potencial de un único resorte. Por ejemplo, se predice que cada átomo en un gas ideal monoatómico tiene una energía cinética media de kBT en equilibrio térmico, donde kB es la constante de Boltzmann y T es la temperatura. Más generalmente, se puede aplicar a cualquier sistema clásico en equilibrio térmico, no importa cómo complicado. El teorema de equipartición se puede utilizar para derivar la ley de los gases ideales, y la ley de Dulong-Petit para las capacidades caloríficas específicas de sólidos. También se puede utilizar para predecir las propiedades de las estrellas, enanas incluso blancos y estrellas de neutrones, ya que se mantiene incluso cuando se consideran los efectos relativistas.

Aunque el teorema de equipartición hace predicciones muy precisas en ciertas condiciones, se vuelve inexacta cuando los efectos cuánticos son significativas, tales como a bajas temperaturas. Cuando el kBT energía térmica es menor que el espaciado de energía cuántica en un determinado grado de libertad, la energía media y la capacidad de calor de este grado de libertad son menores que los valores predichos por equipartición. Se dice que tal grado de libertad que se "congela" cuando la energía térmica es mucho menor que el espaciado. Por ejemplo, la capacidad calorífica de un sólido disminuye a temperaturas bajas como diversos tipos de movimiento se congelan a cabo, en lugar de permanecer constante según lo predicho por equipartición. Estas disminuciones en la capacidad calorífica se encontraban entre los primeros síntomas a los físicos del siglo 19 que la física clásica era incorrecta y que era necesario un nuevo modelo, más sutil, científica. Junto con la falta otras pruebas, de equipartición para modelar radiación del cuerpo negro, también conocido como el ultravioleta catástrofe liderada Max Planck para sugerir que la energía de los osciladores en un objeto, que emiten luz, fueron cuantificados, una hipótesis revolucionaria que impulsó el desarrollo de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos.

Conceptos básicos y ejemplos sencillos

El nombre "equipartición" significa "reparto equitativo", como se deriva del latín equi del antecedente, quus, y la partición del antecedente, partitionem. El concepto original de equipartición era que la energía cinética total de un sistema es compartida por igual entre todas sus partes independientes, en promedio, una vez que el sistema ha alcanzado el equilibrio térmico. Equipartición también hace predicciones cuantitativas para estas energías. Por ejemplo, se predice que cada átomo de un gas noble, en equilibrio térmico a la temperatura T, tiene una energía cinética media de traslación de kBT, donde kB es la constante de Boltzmann. Como consecuencia de ello, ya que la energía cinética es igual a 1/22, los átomos más pesados de xenón tienen una velocidad media inferior a hacer los átomos más ligeros de helio a la misma temperatura. La Figura 2 muestra la distribución de Maxwell-Boltzmann para las velocidades de los átomos en cuatro gases nobles.

En este ejemplo, el punto clave es que la energía cinética es cuadrática en la velocidad. El teorema de equipartición muestra que en equilibrio térmico, cualquier grado de libertad que sólo aparece cuadráticamente en la energía tiene una energía media de 1/2kBT y por lo tanto contribuye 1/2kB a la capacidad de calor del sistema. Esto tiene muchas aplicaciones.

Energía traslacional y de los gases ideales

La energía cinética de una partícula de masa m, la velocidad v es dada por

donde vx, vy y vz son las componentes cartesianas de la velocidad v Aquí, H es la abreviatura de hamiltoniano, y se utiliza de aquí en adelante como un símbolo para la energía debido a que el formalismo hamiltoniano juega un papel central en la forma más general del teorema de equipartición.

Puesto que la energía cinética es cuadrática en los componentes de la velocidad, por equipartición estos tres componentes de cada uno 1/2kBT contribuyen a la energía cinética media en equilibrio térmico. Así, la energía cinética media de la partícula es kBT, como en el ejemplo de los gases nobles más arriba.

Más en general, en un gas ideal, la energía total consiste puramente de la energía cinética: por supuesto, las partículas no tienen grados de libertad internos y se mueven independientemente uno de otro. Por lo tanto, Equipartición predice que la energía total media de un gas ideal de N partículas es N? KB? T.

De ello se desprende que la capacidad de calor del gas es N? KB y por lo tanto, en particular, la capacidad de calor de un mol de tales partículas de gas es NAKB = R, donde NA es la constante de Avogadro y R es la constante del gas. Desde R 2 cal /, equipartición predice que la capacidad calorífica molar de un gas ideal es de aproximadamente 3 cal /. Esta predicción se confirmó por el experimento.

La energía cinética media también permite que el valor eficaz vrms velocidad cuadrados de las partículas de gas que calcular:

donde M = Nam es la masa de un mol de partículas de gas. Este resultado es útil para muchas aplicaciones tales como la ley de Graham de derrame, que proporciona un método para el enriquecimiento de uranio.

La energía de rotación y moleculares volteo en solución

Un ejemplo similar es proporcionada por una molécula de rotación con momentos de inercia principales I1, I2 e I3. La energía de rotación de dicha molécula está dada por

donde? 1,? 2, y? 3 son los principales componentes de la velocidad angular. Por exactamente el mismo razonamiento que en el caso de traslación, equipartición implica que en equilibrio térmico la energía de rotación promedio de cada partícula es kBT. Del mismo modo, el teorema de equipartición permite que la velocidad angular media de las moléculas a ser calculado.

El volteo de moléculas rígida-es decir, las rotaciones aleatorias de moléculas en solución-desempeña un papel clave en las relajaciones observadas por resonancia magnética nuclear, particularmente RMN de proteínas y acoplamientos residual dipolar. Difusión rotacional también puede ser observado por otras sondas biofísicas tales como anisotropía de fluorescencia, birrefringencia de flujo y la espectroscopia dieléctrica.

Energía potencial y osciladores armónicos

Equipartición se aplica a las energías potenciales, así como energías cinéticas: ejemplos importantes incluyen osciladores armónicos, tales como un resorte, que tiene una energía potencial cuadrática

donde la constante a se describe la rigidez del muelle y q es la desviación del equilibrio. Si un sistema de dimensiones tales que uno tiene masa m, entonces su energía cinética es HKin

donde v y p = mv denota la velocidad y el impulso del oscilador. La combinación de estos términos se obtiene la energía total

Tanto Equipartition implica que en equilibrio térmico, el oscilador tiene una energía media

donde los corchetes angulares denotan el promedio de la cantidad cerrado,

Este resultado es válido para cualquier tipo de oscilador armónico, tal como un péndulo, una molécula de vibración o un oscilador electrónico pasivo. Sistemas de tales osciladores surgen en muchas situaciones; por equipartición, cada uno de tales oscilador kBT recibe un promedio de energía total y por lo tanto contribuye kB a la capacidad de calor del sistema. Esto se puede utilizar para derivar la fórmula para el ruido de Johnson-Nyquist y la ley de Dulong-Petit de las capacidades de calor sólidos. Esta última solicitud fue especialmente significativo en la historia de equipartición.

Capacidad de calor específico de los sólidos

 Para más detalles sobre los calores específicos molares de sólidos, ver Einstein sólido y el modelo de Debye.

Una importante aplicación del teorema de equipartición es la capacidad de calor específico de un sólido cristalino. Cada átomo en dicho un sólido puede oscilar en tres direcciones independientes, por lo que el sólido puede ser visto como un sistema de 3N osciladores armónicos simples independientes, donde N denota el número de átomos en la red cristalina. Dado que cada oscilador armónico tiene kBT medio de energía, la energía total promedio del sólido es 3NkBT, y su capacidad calorífica es 3NkB.

Al tomar N para ser el NA constante de Avogadro, y el uso de la relación R = R NAKB entre la constante de los gases y las kB constante de Boltzmann, esto proporciona una explicación de la ley de Dulong-Petit de capacidades caloríficas específicas de sólidos, lo que indicó que la específica capacidad de calor de un elemento sólido es inversamente proporcional a su peso atómico. Una versión moderna es que la capacidad calorífica molar de un sólido es 3R 6 cal /.

Sin embargo, esta ley es inexacta a temperaturas más bajas, debido a los efectos cuánticos, sino que también es incompatible con la tercera ley derivada experimentalmente de la termodinámica, según el cual la capacidad de calor molar de cualquier sustancia debe ir a cero a medida que la temperatura desciende a cero absoluto. Una teoría más precisa, la incorporación de los efectos cuánticos, fue desarrollada por Albert Einstein y Peter Debye.

Muchos otros sistemas físicos se pueden modelar como conjuntos de osciladores acoplados. Los movimientos de estos osciladores se pueden descomponer en los modos normales, como los modos de vibración de una cuerda de piano o las resonancias de un tubo de órgano. Por otro lado, equipartición a menudo se rompe para tales sistemas, porque no hay intercambio de energía entre los modos normales. En una situación extrema, los modos son independientes y que sus energías se conservan de forma independiente. Esto demuestra que una especie de la mezcla de energías, formalmente llamado ergodicidad, es importante que la ley de equipartición de sujetar.

La sedimentación de partículas

Energías potenciales no siempre son cuadráticos en la posición. Sin embargo, el teorema de equipartición también muestra que si un grado de libertad x contribuye sólo un múltiplo de XS a la energía, a continuación, en equilibrio térmico la energía media de esa parte es kBT/s.

Hay una simple aplicación de esta extensión de la sedimentación de las partículas por gravedad. Por ejemplo, la neblina veces visto en la cerveza puede ser causada por grupos de proteínas que dispersan la luz. Con el tiempo, estos grupos se asientan hacia abajo bajo la influencia de la gravedad, causando más neblina cerca de la parte inferior de una botella que cerca de su parte superior. Sin embargo, en un proceso de trabajo en la dirección opuesta, las partículas también se difunden de nuevo hacia la parte superior de la botella. Una vez que se ha alcanzado el equilibrio, el teorema de equipartición puede ser utilizado para determinar la posición media de un grupo particular de mb de masas flotantes. Para una botella infinitamente alto de cerveza, la energía potencial gravitatoria viene dada por

donde z es la altura del grupo de proteínas en la botella y g es la aceleración debida a la gravedad. Dado que s = 1, la energía potencial promedio de un grupo de proteínas es igual a kBT. Por lo tanto, un grupo de proteínas con una masa flotante de 10 MDa produciría una nube con una altura media de unos 2 cm en el equilibrio. El proceso de sedimentación de equilibrio tal se describe por la ecuación de Mason-Weaver.

Historia

 Este artículo utiliza la unidad no SI de cal/de la capacidad de calor, ya que ofrece una mayor precisión de un solo dígito. Para una conversión aproximada a la unidad SI correspondiente de J /, esos valores deben multiplicarse por 4,2 J/cal.

La equipartición de la energía cinética se propuso inicialmente en 1843, y más exactamente en 1845, por John James Waterston. En 1859, James Clerk Maxwell sostiene que la energía térmica cinética de un gas se divide por igual entre la energía lineal y rotacional. En 1876, Ludwig Boltzmann expandido en este principio, mostrando que la energía media se dividió por igual entre todos los componentes independientes de movimiento en un sistema. Boltzmann aplica el teorema de equipartición para proporcionar una explicación teórica de la ley de Dulong-Petit para los calores específicos de los sólidos.

La historia del teorema de equipartición se entrelaza con la de la capacidad de calor específico, los cuales fueron estudiados en el siglo 19. En 1819, los físicos franceses Pierre Louis Dulong y Alexis Thrse Petit descubrieron que las capacidades caloríficas específicas de elementos sólidos a temperatura ambiente fueron inversamente proporcional al peso atómico del elemento. Su ley fue utilizado durante muchos años como una técnica para la medición de pesos atómicos. Sin embargo, estudios posteriores de James Dewar y Heinrich Friedrich Weber mostraron que esta ley de Dulong-Petit sostiene sólo a altas temperaturas, a temperaturas más bajas, o para sólidos excepcionalmente duros tales como diamante, la capacidad de calor específico fue menor.

Las observaciones experimentales de los calores específicos de los gases también expresaron su preocupación acerca de la validez del teorema de equipartición. El teorema predice que la capacidad calorífica molar de los gases monoatómicos simples debe ser más o menos 3 cal /, mientras que la de los gases diatómicas debería ser aproximadamente 7 cal /. Los experimentos confirmaron la antigua predicción, pero se encontró que las capacidades caloríficas molares de gases diatómicos eran típicamente de aproximadamente 5 cal /, y cayeron a aproximadamente 3 cal/a temperaturas muy bajas. Maxwell señaló en 1875 que el desacuerdo entre el experimento y el teorema de equipartición era mucho peor que incluso estas cifras sugieren, ya que los átomos tienen partes internas, energía calorífica debe entrar en el movimiento de las piezas internas, por lo que la específica prevista calores de los gases monoatómicos y diatómico mucho mayor que 3 cal/cal y 7 /, respectivamente.

Una tercera discrepancia preocupa el calor específico de los metales. De acuerdo con el modelo de Drude clásica, los electrones metálicos actúan como un gas casi ideal, y por lo tanto deben NekB contribuyen a la capacidad de calor por el teorema de equipartición, donde Ne es el número de electrones. Experimentalmente, sin embargo, los electrones contribuyen poco a la capacidad de calor: las capacidades caloríficas molares de muchos conductores y aislantes son casi la misma.

Se propusieron varias explicaciones del fracaso de equipartición para dar cuenta de las capacidades caloríficas molares. Boltzmann defendió la derivación de su teorema de equipartición como correcta, pero sugirió que los gases pueden no estar en equilibrio térmico debido a sus interacciones con el éter. Lord Kelvin sugirió que la derivación del teorema de equipartición debe ser incorrecta, ya que no estaba de acuerdo con la experiencia, pero no fue capaz de mostrar cómo. En 1900 Lord Rayleigh vez presentada una visión más radical que el teorema de equipartición y la asunción experimental del equilibrio térmico fueron correctas, para reconciliarlos, señaló la necesidad de un nuevo principio que proporcionaría un "escape de la simplicidad destructiva" de el teorema de equipartición. Albert Einstein siempre que escapar, al mostrar en 1906 que estas anomalías en el calor específico se debieron a los efectos cuánticos, específicamente la cuantificación de la energía en los modos elásticas del sólido. Einstein utilizó el fracaso de equipartición para argumentar la necesidad de una nueva teoría cuántica de la materia. 1910 mediciones de concreto de Nernst se calienta a temperaturas bajas compatibles teoría de Einstein, y la llevaron a la aceptación generalizada de la teoría cuántica entre los físicos.

Formulación general del teorema de equipartición

La forma más general de las teorema de equipartición establece que bajo supuestos adecuados, para un sistema físico con función de energía hamiltoniano H y grados de libertad x n, la siguiente fórmula de equipartición mantiene en equilibrio térmico para todos los índices m y n:

Aquí DMN es la delta de Kronecker, que es igual a uno si m = n y es cero en caso contrario. Los soportes promedio se supone que es una media de conjunto sobre el espacio de fase o, en el supuesto de ergodicity, el promedio de tiempo de un solo sistema.

El teorema general de equipartición sostiene tanto en el conjunto microcanónica, cuando la energía total del sistema es constante, y también en el conjunto canónico, cuando el sistema está acoplado a un baño de calor con el que se puede intercambiar energía. Derivaciones de la fórmula general se dan más adelante en el artículo.

La fórmula general es equivalente a los dos siguientes:

  • Si un grado de libertad xn sólo aparece como un anxn2 término cuadrático en el hamiltoniano H, entonces la primera de estas fórmulas implica que

    que es el doble de la contribución que este grado de libertad hace a la energía media. Por lo tanto el teorema de equipartición para sistemas con energías cuadráticas sigue fácilmente de la fórmula general. Un argumento similar, con 2 sustituida por s, se aplica a las energías de los anxns formulario.

    Los grados de libertad xn son las coordenadas en el espacio de fases del sistema y por lo tanto, comúnmente se subdividen en posición de coordenadas generalizadas qk y el impulso coordenadas generalizadas pk, donde pk es el impulso conjugado a qk. En esta situación, la fórmula 1 significa que para todo k,

    Utilizando las ecuaciones de la mecánica hamiltoniana, estas fórmulas también se puede escribir

    Del mismo modo, se puede demostrar mediante la fórmula 2 que

    y

    Relación con el teorema de virial

    El teorema general de equipartición es una extensión del teorema virial, que establece que

    donde t denota el tiempo. Dos diferencias principales son que el teorema del virial relata resumió en lugar de las medias individuales entre sí, y que no les conectan a la temperatura T. Otra diferencia es que las derivaciones tradicionales de los promedios teorema del virial uso en el tiempo, mientras que las del teorema de equipartición usar medias en el espacio de fase.

    Aplicaciones

    Ley del gas ideal

    Gases ideales proporcionan una importante aplicación del teorema de equipartición. Además de ofrecer la fórmula

    para la energía cinética media por partícula, el teorema de equipartición se puede utilizar para derivar la ley de los gases ideales de la mecánica clásica. Si q = y p = denotan el vector de posición y el impulso de una partícula en el gas, y F es la fuerza neta sobre la partícula, a continuación,

    donde la primera igualdad es la segunda ley de Newton, y la segunda línea utiliza las ecuaciones de Hamilton y la fórmula de equipartición. Sumando sobre un sistema de N partículas rendimientos

    Por la tercera ley de Newton y la suposición de gas ideal, la fuerza neta sobre el sistema es la fuerza aplicada por las paredes de su recipiente, y esta fuerza está dada por la presión P del gas. Por lo tanto

    donde dS es el elemento de área infinitesimal a lo largo de las paredes del recipiente. Dado que la divergencia del vector de posición q es

    el teorema de la divergencia implica que

    donde dV es un volumen infinitesimal dentro del contenedor y V es el volumen total del recipiente.

    Poner estas igualdades juntos rendimientos

    lo que implica inmediatamente la ley de los gases ideales para N partículas:

    donde n = N/NA es el número de moles del gas y R = NAKB es la constante del gas. Aunque equipartición proporciona una simple derivación de la ley de los gases ideales y la energía interna, los mismos resultados pueden obtenerse a través de un método alternativo utilizando la función de partición.

    Gases diatómicos

    Un gas diatómico se puede modelar como dos masas, m1 y m2, unidas por un resorte de rigidez una, que se llama a la aproximación del oscilador armónico del rotor-rígida. La energía clásica de este sistema es

    donde P1 y P2 son las cantidades de movimiento de los dos átomos, y q es la desviación de la separación inter-atómica a partir de su valor de equilibrio. Cada grado de libertad en la energía es cuadrática y, por lo tanto, debe contribuir 1/2kBT a la energía promedio total, y 1/2kB a la capacidad de calor. Por lo tanto, la capacidad de calor de un gas de N moléculas diatómicas se prevé que sea 7N1/2kB: los impulsos p1 y p2 contribuyen tres grados de libertad cada una, y la extensión q contribuye el séptimo. De ello se desprende que la capacidad de calor de un mol de moléculas diatómicas sin otros grados de libertad debe ser NAKB = R y, por lo tanto, la capacidad calorífica molar predicho debe ser más o menos 7 cal /. Sin embargo, los valores experimentales para capacidades caloríficas molares de los gases diatómicas son típicamente alrededor de 5 cal/y caída a 3 cal/a temperaturas muy bajas. Este desacuerdo entre la predicción equipartición y el valor experimental de la capacidad calorífica molar no se puede explicar mediante el uso de un modelo más complejo de la molécula, ya que la adición de más grados de libertad sólo puede aumentar el calor específico predicho, no disminuirlo. Esta discrepancia fue una pieza clave de evidencia que muestra la necesidad de una teoría cuántica de la materia.

    Extreme gases ideales relativistas

    Equipartición se utilizó anteriormente para derivar la ley de los gases ideales clásica de la mecánica newtoniana. Sin embargo, los efectos relativistas se vuelven dominantes en algunos sistemas, como las enanas blancas y estrellas de neutrones y las ecuaciones de los gases ideales se deben modificar. El teorema de equipartición proporciona una manera conveniente para derivar las leyes correspondientes para un gas ideal relativista extrema. En tales casos, la energía cinética de una partícula viene dada por la fórmula

    Tomando la derivada de H con respecto a la componente de impulso píxeles da la fórmula

    y de manera similar para los componentes py y pz. Sumando los tres componentes juntos da

    donde la última igualdad se deduce de la fórmula de equipartición. Por lo tanto, la energía total media de un gas relativista extrema es el doble que la del caso no relativista: para N partículas, que es 3 NkBT.

    Los gases no ideales

    En un gas ideal se supone que las partículas de interactuar sólo a través de colisiones. El teorema de equipartición también puede ser usado para derivar la energía y la presión de "gases no ideales" en el que las partículas también interactúan uno con el otro a través de las fuerzas conservadoras cuyo potencial U sólo depende de la distancia r entre las partículas. Esta situación puede ser descrita por primera vez la atención de restricción a una sola partícula de gas, y aproximando el resto del gas por una distribución esféricamente simétrica. Es entonces habitual para introducir una función de distribución g radial de tal manera que la densidad de probabilidad de encontrar otra partícula a una distancia r de la partícula dada es igual a 4pr2? G, donde? = N/V es la densidad media del gas. De ello se deduce que la energía potencial medio asociado a la interacción de la partícula dada con el resto del gas es

    La energía potencial media total del gas es por lo tanto, donde N es el número de partículas en el gas, y es necesario el factor de 1/2, porque suma sobre todas las partículas que cuenta cada interacción de dos veces. Adición de las energías cinética y potencial, a continuación, aplicar equipartición, se obtiene la ecuación de la energía

    Un argumento similar, se puede utilizar para derivar la ecuación de la presión

    Osciladores anarmónico

    Un oscilador anarmónico es uno en el que la energía potencial no es cuadrática en la q de extensión. Estos osciladores proporcionan un punto de vista sobre el teorema de equipartición complementaria. Ejemplos simples son proporcionados por las funciones de energía potencial de la forma

    donde C y s son constantes reales arbitrarias. En estos casos, la ley de equipartición predice que

    Por lo tanto, la energía potencial promedio es igual a kBT/s, no kBT/2 como para el oscilador armónico cuadrática.

    Más en general, una función de energía típica de un sistema unidimensional tiene una expansión de Taylor en la extensión q:

    para los números enteros no negativos n. No hay n = 1 plazo, porque en el punto de equilibrio, no hay ninguna fuerza neta y por lo que la primera derivada de la energía es cero. El término n = 0 no tiene que ser incluido, ya que la energía en la posición de equilibrio puede ajustarse a cero por convención. En este caso, la ley de equipartición predice que

    En contraste con los otros ejemplos citados aquí, la fórmula de equipartición

    no permite que la energía potencial media que se escribe en términos de constantes conocidas.

    El movimiento browniano

    El teorema de equipartición puede ser usado para derivar el movimiento browniano de una partícula a partir de la ecuación de Langevin. De acuerdo con la ecuación, el movimiento de una partícula de masa m con velocidad v se rige por la segunda ley de Newton

    donde Frnd es una fuerza aleatoria que representa las colisiones aleatorias de la partícula y las moléculas circundantes, y donde refleja la constante de tiempo t de la fuerza de resistencia que se opone al movimiento de la partícula a través de la solución. La fuerza de arrastre se escribe a menudo FArrastre = - v;? Por lo tanto, la constante de tiempo t es igual a m /?.

    El producto escalar de esta ecuación con el vector de posición r, después de un promedio, se obtiene la ecuación

    para el movimiento browniano. Usando las identidades matemáticas

    y

    la ecuación básica para el movimiento browniano se puede transformar en

    donde la última igualdad se desprende del teorema de equipartición de la energía cinética de traslación:

    La ecuación diferencial por encima de puede ser resuelto exactamente:

    En escalas de tiempo pequeñas, con t << t, la partícula actúa como una partícula que se mueve libremente: por la serie de Taylor de la función exponencial, el cuadrado de la distancia crece aproximadamente cuadrática:

    Sin embargo, en escalas de tiempo largas, con t >> t, los términos exponenciales y constante son insignificantes, y el cuadrado de la distancia crece sólo linealmente:

    Esto describe la difusión de la partícula con el tiempo. Una ecuación análoga para la difusión rotacional de una molécula rígida se puede derivar de una manera similar.

    Física Estelar

    El teorema de equipartición y el teorema de virial relacionadas han sido utilizados como una herramienta en la astrofísica. Como ejemplos, el teorema del virial puede ser utilizado para estimar temperaturas estelares o el límite de Chandrasekhar en la masa de las estrellas enanas blancas.

    La temperatura media de una estrella puede ser estimada a partir del teorema de equipartición. Dado que la mayoría de estrellas son esféricamente simétrica, el total de energía potencial gravitatoria puede ser estimado por la integración

    donde M es la masa dentro de un radio ry? es la densidad estelar en el radio r; G representa la constante gravitacional y R el radio total de la estrella. Suponiendo una densidad constante a través de la estrella, esta integración se obtiene la fórmula

    donde M es la masa total de la estrella. Por lo tanto, la energía potencial promedio de una sola partícula es

    donde N es el número de partículas en la estrella. Como la mayoría de las estrellas están compuestas principalmente de hidrógeno ionizado, N es igual a aproximadamente M/mp, donde mp es la masa de un protón. Aplicación del teorema de equipartición da una estimación de la temperatura de la estrella

    La sustitución de la masa y el radio del Sol produce una temperatura solar estimada de T = 14 millones de grados Kelvin, muy cerca de su temperatura interna de 15 millones de grados Kelvin. Sin embargo, el Sol es mucho más compleja de lo previsto por este modelo, tanto de su temperatura y densidad varían fuertemente con la radio, y tan excelente acuerdo es en parte fortuita.

    La formación de estrellas

    La misma fórmula se puede aplicar a la determinación de las condiciones para la formación de estrellas en las nubes moleculares gigantes. Una fluctuación local en la densidad de una nube de este tipo puede llevar a una condición fuera de control en el que la nube colapsa hacia dentro bajo su propia gravedad. Tal colapso se produce cuando el teorema de equipartición-o, de manera equivalente, el teorema del virial-ya no es válido, es decir, cuando la energía potencial gravitatoria supera dos veces la energía cinética

    Suponiendo una densidad constante? para la nube

    se obtiene un peso mínimo para la contracción estelar, la masa de Jeans MJ

    Sustituyendo los valores observados típicamente en tales nubes da una masa mínima estimada de 17 masas solares, lo cual es consistente con la formación de estrellas observada. Este efecto también se conoce como la inestabilidad de Jeans, en honor al físico británico James Hopwood Jeans, que lo publicó en 1902.

    Derivaciones

    Energías cinética y la distribución de Maxwell-Boltzmann

    La formulación original de la equipartición teorema que, en cualquier sistema físico en equilibrio térmico, cada partícula tiene exactamente la misma energía cinética media, kBT. Esto se puede demostrar usando la distribución de Maxwell-Boltzmann, que es la distribución de probabilidad

    para la velocidad de una partícula de masa m en el sistema, donde la velocidad v es la magnitud del vector de velocidad

    La distribución de Maxwell-Boltzmann se aplica a cualquier sistema compuesto de átomos, y supone sólo un conjunto canónico, específicamente, que las energías cinéticas se distribuyen de acuerdo a su factor de Boltzmann a una temperatura T. La energía cinética media de una partícula de masa m es entonces determinada por la fórmula integral

    según lo declarado por el teorema de equipartición. El mismo resultado se puede obtener también haciendo un promedio de la energía de la partícula usando la probabilidad de encontrar la partícula en cierto estado de energía cuántica.

    Energías cuadráticas y la función de partición

    Más en general, el teorema de equipartición establece que cualquier grado de libertad x que aparece en la H total de energía sólo como un término cuadrático sencilla Ax2, donde A es una constante, tiene una energía media de kBT en equilibrio térmico. En este caso, el teorema de equipartición puede ser derivada de la función de partición Z, donde = 1/es la temperatura inversa canónica. La integración sobre la variable x se obtiene un factor

    en la fórmula para Z. La energía media asociada con este factor está dado por

    según lo declarado por el teorema de equipartición.

    Pruebas generales

    Derivaciones generales del teorema de equipartición se pueden encontrar en muchos libros de mecánica estadística, tanto para el conjunto microcanónica y para el conjunto canónico. Implican hacer medias para el espacio de fases del sistema, que es una variedad simpléctica.

    Para explicar estas derivaciones, se introduce la siguiente notación. En primer lugar, el espacio de fases se describe en términos de posición de coordenadas generalizadas qj junto con sus momentos conjugados pj. Las cantidades qj describen completamente la configuración del sistema, mientras que las cantidades junto describen completamente su estado.

    En segundo lugar, el volumen infinitesimal

    de se introduce y se utiliza para definir el volumen de T de la porción del espacio de fases donde el H de energía del sistema se encuentra entre dos límites del espacio de fases, E y E E?:

    ? En esta expresión, se supone que E para ser muy pequeño, E << E. Del mismo modo, S se define como el volumen total de espacio de fase en la que la energía es menor que E?:

     

    Desde? E es muy pequeña, los siguientes integraciones son equivalentes

     

    donde los puntos suspensivos representan el integrando. A partir de esto, se deduce que G es proporcional a? E

    donde? es la densidad de estados. Por las definiciones usuales de la mecánica estadística, la entropía S es igual kB registro S, y la temperatura T se define por

     El conjunto canónico

    En el conjunto canónico, el sistema está en equilibrio térmico con un baño de calor infinito a la temperatura T. La probabilidad de cada estado en el espacio de fase está dada por sus tiempos de factor de Boltzmann un factor de normalización, que se elige de modo que la suma de las probabilidades a uno

    where = 1/kBT. Integración por partes de una variable espacio-fase xk entre dos límites a y b se obtiene la ecuación

    donde dGk = dG/dxk, es decir, la primera integración no se lleva a cabo más de xk. El primer término es por lo general cero, ya sea porque xk es cero en los límites, o porque la energía tiende a infinito en esos límites. En ese caso, el teorema de equipartición para el conjunto canónico sigue inmediatamente

    En este caso, el promedio es simbolizado por la media de conjunto tomado el conjunto canónico.

     El conjunto microcanónica

    En el conjunto microcanónica, el sistema está aislado del resto del mundo, o al menos muy débilmente acoplada a la misma. Por lo tanto, su energía total es efectivamente constante, para ser definitivo, se dice que la energía total H se limita entre E y E dE. Para una energía E y propagación dE dado, hay una región de espacio de fase G en el que el sistema tiene que la energía, y la probabilidad de cada estado en esa región del espacio de fases es igual, por la definición del conjunto microcanónica. Teniendo en cuenta estas definiciones, el promedio de equipartición de variables espacio-fase xm y xn está dada por

     

    donde la última igualdad es consecuencia de que E es una constante que no depende de xn. La integración por partes se obtiene la relación

     

    ya que el primer término del lado derecho de la primera línea es cero.

    La sustitución de este resultado en la ecuación anterior

     

    Consideraciones similares se aplican siempre que el espaciamiento de nivel de energía es mucho mayor que la energía térmica. Por ejemplo, este razonamiento fue utilizado por Max Plank y Albert Einstein para resolver la catástrofe ultravioleta de la radiación de cuerpo negro. La paradoja surge porque hay un número infinito de modos independientes del campo electromagnético en un recipiente cerrado, cada uno de los cuales pueden ser tratados como un oscilador armónico. Si cada modo electromagnético fuera a tener un kBT medio de energía, no habría una cantidad infinita de energía en el contenedor. Sin embargo, el razonamiento anterior, la energía promedio en los modos de alta frecuencia tiende a cero cuando? tiende a infinito, por otra parte, la ley de radiación de cuerpo negro, que describe la distribución experimental de la energía en los modos, de Planck sigue desde el mismo razonamiento.

    Otros efectos más sutiles cuánticos pueden llevar a correcciones de equipartición, tales como partículas idénticas y simetrías continuas. Los efectos de las partículas idénticas pueden ser dominantes en densidades muy altas y bajas temperaturas. Por ejemplo, los electrones de valencia en un metal pueden tener una energía cinética media de unos electronvoltios, que normalmente corresponde a una temperatura de decenas de miles de grados Kelvin. Tal estado, en el que la densidad es suficientemente alta para que el principio de exclusión de Pauli invalida el enfoque clásico, se llama un degenerado de gas fermiones. Tales gases son importantes para la estructura de enano blanco y las estrellas de neutrones. A bajas temperaturas, un análogo fermionic del condensado Bose-Einstein se puede formar, estos electrones superfluido son responsables de la superconductividad.