Disco de Airy, Tamaño, Ejemplos, Condiciones para la observación, Detalles matemáticos, Aproximación utilizando un perfil gaussiano, Patrón de Airy oculta, Comparación con el enfoque del haz gaussiano

En la óptica, el disco de Airy Airy y el patrón son descripciones de la mejor punto enfocado de luz que una lente perfecta, con una abertura circular puede hacer, limitado por la difracción de la luz.

El patrón de difracción resultante de una abertura circular uniformemente iluminado tiene una región brillante en el centro, conocido como el disco de Airy que junto con la serie de anillos concéntricos alrededor de brillantes que se llama el patrón de Airy. Ambos llevan el nombre de George Biddell Airy. El fenómeno de disco y anillos se había conocido antes de Airy; John Herschel describe la aparición de una estrella brillante visto a través de un telescopio con gran aumento de un artículo 1828 de la luz para la Enciclopedia Metropolitana:

... La estrella se ve entonces como un disco planetario perfectamente redondo y bien definido, rodeado por dos, tres, o más anillos alternativamente claras y oscuras, que, si se examina con atención, se observa que son un poco de color en sus fronteras. Ellos se suceden casi a intervalos iguales alrededor de la disco central ....

Sin embargo, Airy escribió el primer tratamiento teórico completo que explica el fenómeno.

Matemáticamente, el patrón de difracción se caracteriza por la longitud de onda de la luz que ilumina la abertura circular, y el tamaño de la abertura. La aparición del patrón de difracción se caracteriza, además, por la sensibilidad del ojo u otro detector utilizado para observar el patrón.

La aplicación más importante de este concepto es en las cámaras y telescopios. Debido a la difracción, el punto más pequeño a la que una lente o espejo pueden enfocar un haz de luz es el tamaño del disco de Airy. Incluso si uno fuera capaz de hacer una lente perfecta, todavía hay un límite a la resolución de una imagen creada por esta lente. Un sistema óptico en el que la resolución es ya no está limitado por las imperfecciones en las lentes, pero sólo por difracción se dice que es de difracción limitada.

El disco de Airy es de importancia en la física, la óptica y la astronomía.

Tamaño

Muy lejos de la abertura, el ángulo en el que se produce la primera mínimo, medido a partir de la dirección de la luz entrante, está dada por la fórmula aproximada:

o, para los ángulos pequeños, simplemente

donde? es en radianes y? es la longitud de onda de la luz y d es el diámetro de la abertura. Airy escribió esto como

donde s era el ángulo del primer mínimo en segundos de arco, una era el radio de la abertura en pulgadas, y la longitud de onda de la luz se supone que es 0.000022 pulgadas. El criterio de Rayleigh para resolver apenas dos objetos que son fuentes puntuales de luz, tales como estrellas vistas a través de un telescopio, es que el centro del disco de Airy para el primer objeto se produce en el primer mínimo del disco de Airy de la segunda. Esto significa que la resolución angular de un sistema de difracción limitada está dado por la misma fórmula.

Sin embargo, mientras que el ángulo en el que se produce la primera mínimo depende sólo de la longitud de onda y el tamaño de la abertura, la aparición del patrón de difracción variará con la intensidad de la fuente de luz. Debido a que cualquier detector utilizado para observar el patrón de difracción puede tener un umbral de intensidad para la detección, el patrón de difracción completa no puede ser aparente. En astronomía, los anillos exteriores con frecuencia no son evidentes incluso en una imagen muy ampliada de una estrella. Puede ser que ninguno de los anillos son evidentes, en cuyo caso la imagen de la estrella aparece como un disco en lugar de como un patrón de difracción completa. Por otra parte, más tenues estrellas aparecerán como discos más pequeños que las estrellas más brillantes, ya que menos de su máximo central alcanza el umbral de detección. Mientras que, en teoría, todas las estrellas u otras fuentes de "punto" de una longitud de onda dada y visto a través de una abertura dada tienen el mismo radio de disco de Airy caracterizada por la ecuación anterior, que sólo difieren en la intensidad, el aspecto es que fuentes más débiles aparecen como discos más pequeños, y fuentes más brillantes aparecen como discos más grandes. Esto fue descrito por Airy en su obra original:

La rápida disminución de la luz en los anillos sucesivos será suficiente para explicar la visibilidad de dos o tres anillos con una estrella muy brillante y la no visibilidad de los anillos con una estrella débil. La diferencia de los diámetros de los puntos centrales de diferentes estrellas ... También se explica plenamente. Así, el radio del disco espuria de una débil estrella, donde la luz de menos de la mitad de la intensidad de la luz central no hace mella en el ojo, se determina, mientras que el radio del disco espuria de una estrella brillante, donde la luz de 1/10 la intensidad de la luz central es sensible, está determinada por.

A pesar de esta característica de la obra de Airy, el radio del disco de Airy se da a menudo como siendo simplemente el ángulo del primer mínimo, incluso en libros de texto estándar. En realidad, el ángulo de la primera mínimo es de un valor límite para el tamaño del disco de Airy, y no de un radio definido.

Ejemplos

Cámaras

Si dos objetos captadas por una cámara están separadas por un ángulo lo suficientemente pequeño que sus discos de Airy en el detector de cámara empiezan superposición, los objetos pueden no estar claramente separados más en la imagen, y empiezan a desdibujar juntos. Dos objetos se dice que se acaba de resolverse cuando el máximo de la primera plantilla Airy cae encima del primer mínimo del segundo patrón de Airy.

Por lo tanto, la separación angular más pequeña dos objetos pueden tener antes de que desdibujan significativamente juntos se da como se ha dicho por

Por lo tanto, la capacidad del sistema para resolver detalle está limitada por la relación de?/D. Cuanto mayor sea la abertura para una longitud de onda dada, el más fino es el detalle que se puede distinguir en la imagen.

Desde? es pequeño, podemos aproximar esto

donde es la separación de las imágenes de los dos objetos en la película y es la distancia desde la lente a la película. Si tomamos la distancia desde la lente a la película para ser aproximadamente igual a la longitud focal de la lente, encontramos

sino que es el número f de una lente. Un ajuste típico para el uso en un día nublado sería f/8. Para la luz visible azul, la longitud de onda? es de aproximadamente 420 nanómetros. Esto le da un valor de aproximadamente 4 m. En una cámara digital, por lo que los píxeles del sensor de imagen más pequeño que este no sería en realidad aumentar la resolución de la imagen.

El ojo humano

El más rápido número f para el ojo humano es de aproximadamente 2,1, que corresponde a una función de dispersión de punto de difracción limitada con aproximadamente 1 m de diámetro. Sin embargo, en este número-f, la aberración esférica limita la agudeza visual, mientras que un diámetro de la pupila de 3 mm se aproxima a la resolución alcanzada por el ojo humano. La densidad máxima de los conos en la fóvea humana es de aproximadamente 170.000 por milímetro cuadrado, lo que implica que el espaciado de cono en el ojo humano es de aproximadamente 2,5 m, aproximadamente el diámetro de la función de dispersión de punto en el f/5.

Rayo láser enfocado

Un rayo láser circular con intensidad uniforme a través del círculo centrado por una lente se forma un patrón de disco de Airy en el foco. El tamaño del disco de Airy determina la intensidad del láser en el foco.

Con el objetivo de vista

Algunos lugares de puntería de armas requieren al usuario alinear una mirilla con una punta en el extremo del cañón. Al mirar a través de la mirilla, el usuario notará un disco de Airy que ayudará al centro de la vista sobre el pasador.

Condiciones para la observación

La luz de una abertura circular iluminada de manera uniforme exhibirá un patrón de difracción de Airy lejos de la abertura debido a la difracción de Fraunhofer.

En la práctica, las condiciones para la iluminación uniforme se pueden cumplir mediante la colocación de la fuente de la iluminación lejos de la abertura. Si no se cumplen las condiciones de campo lejano, el patrón de difracción de Airy de campo lejano también se puede obtener en una pantalla mucho más cerca de la abertura mediante el uso de una lente de la derecha después de la abertura. El patrón de Airy Entonces, se formará en el foco de la lente en lugar de en el infinito.

Por lo tanto, el punto focal de un rayo láser circular uniforme enfocado por una lente también será un patrón de Airy.

En un sistema de cámara o imágenes de un objeto muy lejos queda reflejado en la película o el detector de plano por la lente del objetivo, y el patrón de difracción de campo lejano se observa en el detector. La imagen resultante es una convolución de la imagen ideal con el patrón de difracción de Airy debido a la difracción de la abertura del iris o debido al tamaño finito de la lente. Esto conduce a la resolución finita de un sistema de lentes descrito anteriormente.

Detalles matemáticos

La intensidad del patrón de difracción de Fraunhofer de una abertura circular está dada por el módulo al cuadrado de la transformada de Fourier de la abertura circular:

donde es la intensidad máxima de la pauta en el centro del disco de Airy, es la función de Bessel de primera especie de orden uno, es el número de onda, es el radio de la abertura, y es el ángulo de observación, es decir, el ángulo entre el eje de la abertura circular y la línea entre el centro de la abertura y el punto de observación., donde q es la distancia radial desde el eje de la lente en el plano de observación y es el número f del sistema.

Si se utiliza una lente después de la apertura, las formas del patrón de Airy en el plano focal de la lente, en la que R = f. Tenga en cuenta que el límite es para.

Los ceros están en. De esto se deduce que el primer anillo oscuro en el patrón de difracción se produce cuando, o

El radio del primer anillo oscuro en una pantalla está relacionado y que el número f de

donde R es la distancia desde la abertura, y el número f N = R/d es la relación de la distancia de observación de tamaño de la abertura. La media máxima del disco de Airy se produce en el centro, el punto de 1/e2 se produce en, y el máximo de la primera anillo se produce a.

La intensidad en el centro del patrón de difracción está relacionada con la potencia total incidente en la abertura por

donde es la intensidad de la fuente por unidad de área en la abertura, A es el área de la abertura y R es la distancia desde la abertura. En el plano focal de una lente,. La intensidad en el máximo de la primera anillo es de aproximadamente 1,75% de la intensidad en el centro del disco de Airy.

La expresión para arriba se puede integrar para dar la potencia total contenida en el patrón de difracción dentro de un círculo de tamaño dado:

donde y son funciones de Bessel. Por lo tanto las fracciones de la potencia total contenida dentro de los primero, segundo, y tercero anillos oscuros son 83.8%, 91.0%, y 93.8%, respectivamente.

Aproximación utilizando un perfil gaussiano

El patrón de Airy cae bastante lentamente a cero al aumentar la distancia desde el centro, con los anillos exteriores que contienen una parte significativa de la intensidad integrada del patrón. Como resultado, la media de la raíz cuadrada tamaño de spot es indefinido. Una medida alternativa del tamaño del punto es hacer caso omiso de los relativamente pequeños anillos exteriores del patrón de Airy y para aproximar el lóbulo central con un perfil gaussiano, de tal manera que

donde es la irradiancia en el centro del patrón, representa la distancia radial desde el centro del patrón, y es la anchura gaussiana RMS. Si equiparamos la amplitud del pico del patrón Airy y el perfil de Gauss, es decir, y hallar el valor de dar la aproximación óptima al patrón, se obtiene

donde N es el número f. Si, por otro lado, queremos hacer cumplir que el perfil gaussiano tiene el mismo volumen que hace el patrón de Airy, entonces este se convierte

En la teoría de la aberración óptica, es común para describir un sistema de imagen como de difracción limitada si el radio de disco de Airy es más grande que el tamaño de spot RMS determinado a partir de rayos geométrico trazado. El perfil de aproximación gaussiana proporciona un medio alternativo de comparación: el uso de la aproximación anterior muestra que la anchura eficaz de la aproximación gaussiana para el disco de Airy es alrededor de un tercio del radio de disco de Airy, es decir, en contraposición a.

Patrón de Airy oculta

Ecuaciones similares también se pueden derivar para el patrón de difracción de Airy oscurecida que es el patrón de difracción de una abertura anular o haz, es decir, una abertura circular uniforme oscurecida por un bloque circular en el centro. Esta situación es relevante para muchos diseños de telescopios reflectores comunes que incorporan un espejo secundario, incluyendo telescopios newtonianos y telescopios Schmidt-Cassegrain.

Para las fórmulas se reducen a las versiones anteriores despejada.

El efecto práctico de tener una obstrucción central en un telescopio es que el disco central se convierte en un poco más pequeña, y el primer anillo brillante se vuelve más brillante a expensas del disco central.

Comparación con el enfoque del haz gaussiano

Un rayo láser circular con el perfil de intensidad uniforme, enfocada por una lente, se formará un patrón de Airy en el plano focal de la lente. La intensidad en el centro de la atención se centrará en que es la potencia total de la viga, es el área de la viga, es la longitud de onda, y es la distancia focal de la lente.

Un haz gaussiano con un diámetro de D enfocada a través de una abertura de diámetro D tendrá un perfil focal que es casi gaussiana, y la intensidad en el centro de la atención se centrará 0.924 veces.