Aproximación de ángulo pequeño, Justificaciones, Error de las aproximaciones, Los usos específicos


La aproximación de ángulo pequeño es una simplificación útil de las funciones trigonométricas básicas que es aproximadamente cierto en el límite en el que el ángulo se aproxima a cero. Son truncamientos de la serie de Taylor de las funciones trigonométricas básicas para una aproximación de segundo orden. Este truncamiento se obtiene:

 ,

donde? es el ángulo en radianes.

El pequeño ángulo de aproximación es útil en muchas áreas de la física, como la mecánica, electromagnetismo, la óptica, la cartografía, la astronomía, etc.

Justificaciones

Gráfico

La precisión de las aproximaciones puede verse a continuación en la Figura 1 y la Figura 2 - A medida que el ángulo se aproxima a cero, es evidente que la diferencia entre la aproximación y la función original se desvanece rápidamente.

  • Figura 1. Una comparación de las funciones trigonométricas impares básicos a?. Se ve que a medida que el ángulo se aproxima a 0 las aproximaciones a ser mejores.

  • Figura 2. Una comparación de cos a 1 - 2/2 - Se ve que a medida que el ángulo se aproxima a 0 a la aproximación se vuelve mejor.

Geométrico

La sección roja a la derecha, d, es la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa, H, y el lado adyacente, A. Como se muestra, H y A son casi de la misma longitud, es decir, cos? es cercano a 1 y ayuda a recortar el rojo de distancia.

La pierna opuesta, O, es aproximadamente igual a la longitud del arco azul, s. Recopilación de datos de la geometría, s = A *?, De la trigonometría, el pecado? = O/H y fuego? = O/A y de la imagen, y conduce a:

La simplificación de las hojas,

Matemático

La expansión de Maclaurin de la función trigonométrica correspondiente es

donde? es el ángulo en radianes. En términos sencillos, Jane,

Se ve fácilmente que el segundo término más significativo se cae como el cubo del primer término, por lo que, incluso para un no-tan-pequeña discusión, tales como 0,01, el valor del segundo término más significativo está en el orden de 0,000001, o una diezmilésima del primer término. Así se puede aproximar con seguridad:

Por extensión, ya que el coseno de un ángulo pequeño es muy, muy cerca de uno, y la tangente se da por el seno dividido por el coseno,

Error de las aproximaciones

La Figura 3 muestra los errores relativos de las pequeñas aproximaciones de ángulo. Los ángulos en los que el error relativo sea superior a 1% son las siguientes:

  • bronceado? ? en alrededor de 0,176 radianes.
  • pecado? ? en alrededor de 0,244 radianes.
  • cos? 1 - 2/2 en alrededor de 0,664 radianes.

Los usos específicos

Astronomía

En astronomía, el ángulo subtendido por la imagen de un objeto distante es a menudo sólo unos pocos segundos de arco, por lo que es muy adecuado para el pequeño ángulo de aproximación. El tamaño lineal está relacionada con el tamaño angular y la distancia desde el observador por la fórmula simple

 D = X d/206265

donde X se mide en segundos de arco.

El número 206265 es aproximadamente igual al número de segundos de arco en un círculo, dividido por 2p.

La fórmula exacta es

 D = d bronceado

y la aproximación anterior se desprende que tan se sustituye por X.

El movimiento de un péndulo

El segundo Cos fin aproximación es especialmente útil en el cálculo de la energía potencial de un péndulo, que luego se puede aplicar con una función de Lagrange para encontrar la ecuación indirecta de movimiento.

Al calcular el periodo de un péndulo simple, la aproximación de ángulo pequeño para el seno se utiliza para permitir la ecuación diferencial resultante a ser resuelto fácilmente por comparación con la ecuación diferencial que describe un movimiento armónico simple.

Mecánica estructural

El pequeño ángulo de aproximación también aparece en la mecánica estructural, especialmente en la estabilidad y el análisis de bifurcación que conduce a simplificaciones significativas, aunque a un costo en la precisión y la información sobre el comportamiento verdadero.

Pilotaje

La regla de 1 en 60 utilizado en la navegación aérea tiene su base en la aproximación de ángulo pequeño, más el hecho de que un radián es de aproximadamente 60 grados.