Espacio localmente compacto, Definición formal, Los ejemplos y contraejemplos, Propiedades


En topología y ramas relacionadas de matemáticas, un espacio topológico se llama localmente compacto si, en términos generales, cada pequeña parte del espacio se parece a una pequeña porción de un espacio compacto.

Definición formal

Sea X un espacio topológico. Por lo general X se llama localmente compacto, si cada punto de X tiene un entorno compacto.

Hay otras definiciones comunes: son todos equivalentes si X es un espacio de Hausdorff. Pero ellos no son equivalentes, en general:

 1 - todos los puntos de X tiene un entorno compacto. 2 - todo punto de X tiene una vecindad cerrada compacta. 2 '. cada punto de X tiene una vecindad relativamente compacto. 2?. cada punto de X tiene una base local de los barrios relativamente compactos. 3 - todo punto de X tiene una base local de los barrios compactos.

Las relaciones lógicas entre las condiciones:

  • Condiciones, son equivalentes.
  • Ninguna de las condiciones, implica al otro.
  • Cada condición implica.
  • Compacidad y condiciones implica, pero no.

Condición es probablemente la definición más comúnmente utilizada, ya que es el menos restrictivo y los otros son equivalentes a que cuando X es Hausdorff. Esta equivalencia es una consecuencia de los hechos que los subconjuntos compactos de Hausdorff están cerrados y subconjuntos cerrados de espacios compactos son compactos.

Autores como Munkres y Kelley utiliza la primera definición. Willard utiliza la tercera. En Steen y Seebach, un espacio que satisface se dice que es localmente compacto, mientras que un espacio de satisfacer se dice que es fuertemente localmente compacto.

En casi todas las aplicaciones, espacios localmente compactos también son Hausdorff, y este artículo es, pues, principalmente preocupados por los espacios de Hausdorff localmente compactos.

Advertencia: Allen Hatcher utiliza otra definición! En la página 62 de la Topología Algebraica, explica que si dice localmente entonces significa que cada entorno abierto de cualquier punto contiene un tipo de barrio para el punto. Así, por Hatcher, localmente compacto tiene un significado más fuerte. Curiosamente, esta definición permite más fuerte que nosotros omitimos la condición de Hausdorff en muchas situaciones. Por ejemplo, todos los espacios localmente compactos de Hatcher tiene la propiedad de que el funtor: tiene el adjunto derecho:.

Los ejemplos y contraejemplos

Espacios de Hausdorff compacto

Cada espacio de Hausdorff compacto también es localmente compacto, y muchos ejemplos de espacios compactos se puede encontrar en el espacio compacto artículo. Aquí mencionamos sólo:

  • el intervalo de la unidad;
  • cualquier variedad topológica cerrada;
  • el conjunto de Cantor;
  • el cubo de Hilbert.

Espacios localmente compactos de Hausdorff que no son compactos

  • Los espacios euclídeos Rn son localmente compacto como consecuencia del teorema de Heine-Borel.
  • Variedades topológicas comparten las propiedades locales de espacios euclídeos y por lo tanto también a todos compacto localmente. Esto incluso incluye colectores nonparacompact como la línea de tiempo.
  • Todos los espacios discretos son localmente compacto y Hausdorff. Estos son compactos sólo si son finitas.
  • Todos los subconjuntos abiertos o cerrados de un espacio de Hausdorff localmente compactos son localmente compacto en la topología del subespacio. Esto proporciona varios ejemplos de subconjuntos localmente compactos de espacios euclídeos, tales como la unidad de disco.
  • El Qp espacio de los números p-adic es localmente compacto, porque es homeomórfico al conjunto de Cantor menos un punto. Así, los espacios localmente compactos son tan útiles en el análisis de p-adic como en el análisis clásico.

Espacios de Hausdorff que no son localmente compacto

Como se mencionó en la sección siguiente, sin espacio de Hausdorff posiblemente puede ser localmente compacto si no es también un espacio Tychonoff, hay algunos ejemplos de espacios de Hausdorff que no son espacios Tychonoff en ese artículo. Pero también hay ejemplos de espacios Tychonoff que no pueden ser localmente compacto, tales como:

  • el espacio Q de los números racionales, ya que todos sus subconjuntos compactos tienen interior vacío y por lo tanto no son los barrios;
  • el subespacio {} {unión: x> 0} de R2, ya que el origen no tiene un entorno compacto;
  • la topología de la topología de límite inferior o límite superior en el conjunto R de los números reales;
  • cualquier T0, por lo tanto, el espacio de Hausdorff, vectorial topológico que es de dimensión infinita, tal como un espacio de Hilbert de dimensión infinita.

Los dos primeros ejemplos muestran que un subconjunto de un espacio localmente compacto no tiene que ser localmente compacto, lo que contrasta con los subconjuntos abiertos y cerrados en la sección anterior. El último ejemplo contrasta con los espacios euclídeos en la sección anterior, para ser más específico, un espacio vectorial topológico de Hausdorff es localmente compacto si y sólo si es de dimensión finita. Este ejemplo también contrasta con el cubo de Hilbert como un ejemplo de un espacio compacto; no existe contradicción porque el cubo no puede ser un barrio de cualquier punto en el espacio de Hilbert.

Ejemplos no Hausdorff

  • La compactación de un punto de los números racionales Q es compacto y por lo tanto localmente compacto sentidos y pero no es localmente compacto en sentido.
  • La topología punto determinado de un conjunto infinito es localmente compacto en el sentido, pero no en el sentido, ya que no tiene no vacío cerrado subespacios compactos. Lo mismo vale para la recta real con la topología superior.

Propiedades

Cada espacio preregular localmente compacto es, de hecho, totalmente regular. De ello se desprende que cada espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio Tychonoff. Desde regularidad recta es una condición más familiar que sea preregularity o regularidad completa, preregular espacios localmente compactos se conoce normalmente en la literatura matemática como espacios regulares localmente compactos. Del mismo modo Tychonoff espacios localmente compactos son generalmente apenas conocen como espacios de Hausdorff localmente compactos.

Cada espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire. Es decir, la conclusión de la categoría teorema de Baire sostiene: el interior de cada unión de una cantidad numerable de subconjuntos densos en ninguna parte está vacía.

Un subespacio X de un espacio localmente compacto de Hausdorff Y es localmente compacto si y sólo si X se puede escribir como la diferencia de la teoría de conjuntos de dos subconjuntos cerrados de Y. Como corolario, un subespacio denso X de un espacio localmente compacto de Hausdorff Y es localmente compacto si y sólo si X es un subconjunto abierto de Y. Por otra parte, si un subespacio X de cualquier espacio de Hausdorff Y es localmente compacto, entonces X todavía deben ser la diferencia de dos subconjuntos cerrados de Y, aunque el contrario no deberá mantener en este caso.

Espacios cocientes de los espacios de Hausdorff localmente compactos se generan de forma compacta. Por el contrario, cada espacio de Hausdorff compacto generado es un cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto.

Para los espacios localmente compactos convergencia uniforme local es el mismo que convergencia compacta.

El punto en el infinito

Dado que cada espacio de Hausdorff localmente compacto X es Tychonoff, puede ser embebido en un espacio compacto de Hausdorff b utilizando la compactación de Stone-Cech. Pero, de hecho, hay un método más simple disponible en el caso localmente compacto; la compactación de un punto incrustará X en un espacio compacto de Hausdorff una con un solo punto extra. Los espacios de Hausdorff localmente compactos por lo tanto pueden ser caracterizados como los subconjuntos abiertos de los espacios de Hausdorff compacto.

Intuitivamente, el punto extra en una puede ser pensado como un punto en el infinito. El punto en el infinito debe ser considerada como situada en el exterior cada subconjunto compacto de X. Muchas nociones intuitivas sobre tendencia hacia el infinito puede ser formulado en espacios localmente compactos de Hausdorff utilizando esta idea. Por ejemplo, se dice que una función f real o complejo continua valorada con dominio X a desaparecer en el infinito si, dado cualquier número positivo e, existe un subconjunto compacto K de X tal que | f |

El conjunto C0 de todas las funciones de valores complejos continuas que se desvanecen en el infinito es un álgebra C *. De hecho, cada conmutativa C * álgebra es isomorfa a C0 por alguna singular espacio de Hausdorff localmente compacto X. En concreto, las categorías de espacios de Hausdorff localmente compactos y de C * álgebras conmutativas son duales, lo que se muestra con la representación de Gelfand. La formación de la compactación de un punto a de X corresponde en esta dualidad de colindar un elemento de identidad para C0.

Grupos localmente compactos

La noción de compacidad local es importante en el estudio de los grupos topológicos sobre todo porque cada grupo de Hausdorff localmente compacto T lleva medidas naturales llamados las medidas de Haar, que le permiten a uno integrar las funciones definidas en G. La medida de Lebesgue en la recta real R es un caso especial de este.

La doble Pontryagin de un grupo abeliano topológica A es localmente compacto si y sólo si A es localmente compacto. Más precisamente, la dualidad de Pontryagin define un auto-dualidad de la categoría de grupos abelianos localmente compactos. El estudio de los grupos abelianos localmente compactos es la base de un análisis armónico, un campo que se ha extendido desde entonces a los grupos localmente compactos no abelianos.