Matemáticas, Etimología, Las definiciones de las matemáticas, Historia, La inspiración, las matemáticas puras y aplicadas, y la estética, Notación, lenguaje y rigor, Los campos de las matemáticas, Matemáticas como profesión, La matemática como ciencia

Las matemáticas son el estudio abstracto de temas que abarcan cantidad, estructura, espacio, cambio, y otras propiedades, no tiene una definición generalmente aceptada. Los matemáticos buscan patrones y formulan nuevas conjeturas. Matemáticos resuelven la verdad o falsedad de las conjeturas de una prueba matemática. Cuando las estructuras matemáticas son buenos modelos de los fenómenos reales, entonces el razonamiento matemático puede dar una idea o predicciones sobre la naturaleza.

A través del uso de la abstracción y de razonamiento lógico, matemáticas desarrolladas a partir de contar, el cálculo, la medición y el estudio sistemático de las formas y los movimientos de los objetos físicos. Matemáticas prácticas ha sido una actividad humana de una fecha tan lejana como existen registros escritos. La investigación necesaria para resolver problemas matemáticos puede tomar años o incluso siglos de investigación sostenida. Argumentos rigurosos aparecieron por primera vez en las matemáticas griegas, sobre todo en los Elementos de Euclides. Desde el trabajo pionero de Giuseppe Peano, David Hilbert, y otros en los sistemas axiomáticos en el siglo 19, se ha convertido en una costumbre para ver la investigación matemática como el establecimiento de la verdad por la deducción rigurosa de axiomas y definiciones apropiadamente elegidos. Matemáticas desarrolladas a un ritmo relativamente lento hasta el Renacimiento, cuando las innovaciones matemáticas interactuando con nuevos descubrimientos científicos llevaron a un rápido aumento de la tasa de descubrimiento matemático que ha continuado hasta nuestros días.

Galileo Galilei dijo: "El universo no puede ser leído hasta que hayamos aprendido el idioma y familiarizarse con los caracteres en que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, y las letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin la cual significa es humanamente imposible comprender una sola palabra. Sin ellos, uno está vagando en un oscuro laberinto ". Carl Friedrich Gauss se refiere a las matemáticas como "la reina de las ciencias". Benjamin Peirce llama matemáticas "la ciencia que extrae conclusiones necesarias". David Hilbert dijo de las matemáticas: "No estamos hablando aquí de la arbitrariedad en ningún sentido las matemáticas no es como un juego cuyas tareas se determinan arbitrariamente estipulado normas sino que es un sistema conceptual que posee necesidad interna que sólo puede ser así y por.. ninguna manera lo contrario ". Albert Einstein dijo que "en cuanto a las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas, y la medida en que son ciertas, no se refieren a la realidad." Matemático francés Claire Voisin estados "Hay impulso creativo en matemáticas, es todo sobre el movimiento tratando de expresarse a sí mismo."

Las matemáticas se utilizan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, incluyendo las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales. Matemática Aplicada, la rama de las matemáticas se ocupan de la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspira y hace uso de los nuevos descubrimientos matemáticos, lo que ha llevado al desarrollo de totalmente nuevas disciplinas matemáticas, tales como estadísticas y teoría de juegos. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, matemáticas o para sí mismo, sin tener en cuenta cualquier aplicación. No hay una línea clara de separación entre las matemáticas puras y aplicadas, y las aplicaciones prácticas de lo que comenzó como la matemática pura se descubren a menudo.

Etimología

La palabra matemática viene del griego ? A, que, en griego antiguo, significa "lo que se aprende", "lo que uno tiene que saber", por lo tanto, también "estudio" y "ciencia", y en la moderna griego simplemente "lección". La palabra mthema se deriva de una ?, Mientras que el moderno equivalente griego es un? Un ?, Ambos de los cuales significa "aprender". En Grecia, la palabra "matemáticas" llegó a tener el significado de "estudio matemático" más estrecho y más técnica, incluso en la época clásica. Su adjetivo es una At , Que significa "relacionado con el aprendizaje" o "estudiosos", que entró igualmente aún en el sentido de "matemática". En particular, un En ? t, América: ars mathematica, significa "el arte matemática".

En América y en Inglés hasta alrededor de 1700, la matemática plazo significaban más comúnmente "astrología" en lugar de "matemáticas", el significado cambiado gradualmente a su actual de alrededor de 1500 a 1800. Esto ha dado lugar a varios errores de traducción: una particularmente notorio es la advertencia de San Agustín que los cristianos deben tener cuidado con mathematici significado astrólogos, que a veces mal traducido como una condena de los matemáticos.

La forma plural de manifiesto en Inglés, al igual que la forma plural francesa les mathmatiques, se remonta a la América neutro plural mathematica, basada en el plural griego ta a At ?, Usada por Aristóteles y que significa más o menos " todas las cosas matemáticas ", aunque es posible que el Inglés prestado sólo el adjetivo matemático y formó la matemática sustantivo de nuevo, según el modelo de la física y la metafísica, que fueron heredados de los griegos. En Inglés, la matemática sustantivo toma formas verbales singulares. A menudo se reduce a las matemáticas o, de habla Inglés América del Norte, las matemáticas.

Las definiciones de las matemáticas

Aristóteles definió las matemáticas como "la ciencia de la cantidad", y esta definición se mantuvo hasta el siglo 18. A partir del siglo 19, cuando el estudio de las matemáticas se incrementó en el rigor y comenzó a abordar temas abstractos, tales como la teoría de grupos y la geometría proyectiva, que no tienen ninguna relación clara con la cantidad y la medición, los matemáticos y filósofos comenzaron a proponer una variedad de nuevos definiciones. Algunas de estas definiciones enfatizan el carácter deductivo de gran parte de las matemáticas, algunos enfatizan su abstracción, algunos enfatizan ciertos temas en las matemáticas. En la actualidad, no hay consenso sobre la definición de las matemáticas prevalece, incluso entre los profesionales. Ni siquiera hay consenso sobre si las matemáticas son un arte o una ciencia. Un gran número de matemáticos profesionales no se interesan en la definición de las matemáticas, o consideran que es indefinible. Algunos simplemente dicen: "Las matemáticas son lo que hacen los matemáticos."

Hay tres tipos principales de definición de las matemáticas se llaman logicista, intuicionista y formalista, cada uno reflejando una escuela filosófica de pensamiento diferente. Todos tienen problemas graves, ninguno tiene una amplia aceptación, y no parece posible la reconciliación.

Una definición temprana de las matemáticas en términos de la lógica es "la ciencia que extrae conclusiones necesarias" de Benjamin Peirce. En los Principia Mathematica, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead avanzaron el programa filosófico conocido como logicismo, y trataron de demostrar que todos los conceptos matemáticos, declaraciones y principios pueden ser definidos y probados completamente en términos de la lógica simbólica. Una definición logicista de las matemáticas es de Russell "Todos matemática es lógica simbólica".

Definiciones intuicionista, el desarrollo de la filosofía de LEJ matemático Brouwer, identifique las matemáticas con ciertos fenómenos mentales. Un ejemplo de una definición intuicionista es "La matemática es la actividad mental que consiste en la realización de construcciones, uno tras otro." Una peculiaridad del intuicionismo es que rechaza algunas ideas matemáticas consideradas válidas según otras definiciones. En particular, mientras que otras filosofías de la matemática permiten los objetos que se pueden probar de existir a pesar de que no se puede construir, intuicionismo permite que sólo los objetos matemáticos que uno realmente puede construir.

Definiciones formalistas identifican las matemáticas con sus símbolos y las reglas para operar en ellos. Haskell Curry define las matemáticas simplemente como "la ciencia de los sistemas formales". Un sistema formal es un conjunto de símbolos, o fichas, y algunas reglas dice cómo las señales pueden combinarse en fórmulas. En los sistemas formales, la palabra axioma tiene un significado especial, diferente del sentido corriente de "una verdad evidente por sí misma". En los sistemas formales, un axioma es una combinación de símbolos que se incluye en un sistema formal dado sin necesidad de ser derivada usando las reglas del sistema.

Historia

La evolución de las matemáticas puede ser visto como una serie cada vez mayor de abstracciones, o, alternativamente, una expansión de la materia. La primera abstracción, que es compartida por muchos animales, fue probablemente el de los números: la constatación de que una colección de dos manzanas y una colección de dos naranjas tienen algo en común, a saber, la cantidad de sus miembros.

Además de reconocer la forma de contar los objetos físicos, los pueblos prehistóricos también reconocieron cómo contar cantidades abstractas, como el tiempo - días, estaciones, años. Aritmética elemental, naturalmente, siguió.

Desde aritmética escrito de fecha anterior, se necesitan nuevas medidas para los números de registro, tales como recuentos o las cuerdas anudadas llamados quipus utilizados por los Incas para almacenar datos numéricos. Sistemas de numeración han sido muchos y diversos, con los primeros números escritos conocidos creados por los egipcios en los textos reino medio como del papiro matemático de Rhind.

Los primeros usos de las matemáticas en el comercio, medicion de terrenos, la pintura y el tejido de los patrones y el registro de los tiempos. Matemáticas más complejas no aparecieron hasta alrededor de 3000 aC, cuando los babilonios y los egipcios comenzaron a usar la aritmética, el álgebra y la geometría de los impuestos y otros cálculos financieros, de la construcción, y para la astronomía. El estudio sistemático de las matemáticas en sí misma comenzó con los antiguos griegos entre 600 y 300 antes de Cristo.

Las matemáticas se ha extendido en gran medida, y se ha producido una fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia, en beneficio de ambos. Descubrimientos matemáticos siguen haciendo hoy en día. Según Mikhail B. Sevryuk, en la edición de enero de 2006 del Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas, "El número de artículos y libros incluidos en la base de datos Mathematical Reviews desde 1940 es ahora más de 1,9 millones de dólares y más de 75 mil artículos son añadido a la base de datos cada año. La inmensa mayoría de las obras en este océano contiene nuevos teoremas matemáticos y sus pruebas ".

La inspiración, las matemáticas puras y aplicadas, y la estética

Matemáticas surge de muchos tipos diferentes de problemas. Al principio, estas se encuentran en el comercio, medicion de terrenos, la arquitectura y la astronomía más tarde, hoy, todas las ciencias sugieren problemas estudiados por matemáticos, y surgen muchos problemas dentro de la matemática misma. Por ejemplo, el físico Richard Feynman inventó el camino formulación integral de la mecánica cuántica que utilizan una combinación de razonamiento matemático y la visión física y la teoría de cuerdas de hoy, una teoría científica aún en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza, sigue inspirando nueva matemática. Algunos matemática es sólo relevante en el área que lo inspiró, y se aplica para resolver otros problemas en esa área. Pero a menudo las matemáticas inspiradas en un área resulta útil en muchas áreas, y se une a la reserva general de los conceptos matemáticos. A menudo se distingue entre las matemáticas puras y matemáticas aplicadas. Sin embargo, los temas de matemáticas puras menudo resultan tener aplicaciones, por ejemplo, la teoría de números en criptografía. Este notable hecho de que incluso las matemáticas "puras" a menudo resulta que tiene aplicaciones prácticas es lo que Eugene Wigner ha llamado "la irrazonable efectividad de las matemáticas". Al igual que en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión del conocimiento en la era científica ha llevado a la especialización: en la actualidad hay cientos de áreas especializadas en las matemáticas y la última Mathematics Subject Classification corre a 46 páginas. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con las tradiciones relacionadas fuera de las matemáticas y se convierten en disciplinas por derecho propio, incluidas las estadísticas, investigación de operaciones, y la informática.

Para aquellos que están inclinados matemáticamente, hay a menudo un aspecto estético definitivo para la mayor parte de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la elegancia de la matemática, su estética intrínseca y belleza interior. La simplicidad y generalidad son valoradas. Hay belleza en una prueba simple y elegante, como la demostración de Euclides de que hay infinitos números primos, y en un método numérico elegante que acelera el cálculo, como la transformada rápida de Fourier. G.H. Hardy en la Apología de un matemático expresó la creencia de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. Identificó a criterios tales como la significación, lo inesperado, lo inevitable, y la economía como factores que contribuyen a una estética matemática. Matemáticos a menudo se esfuerzan por encontrar pruebas que son particularmente elegante, pruebas de "El Libro" de Dios de acuerdo a Paul Erdos. La popularidad de la matemática recreativa es otra señal del placer muchos se encuentran en la solución de cuestiones matemáticas.

Notación, lenguaje y rigor

La mayor parte de la notación matemática en uso hoy en día no fue inventado hasta el siglo 16. Antes de eso, las matemáticas se escriben con palabras, un proceso laborioso que el descubrimiento matemático limitado. Euler fue responsable de muchas de las notaciones en uso hoy en día. La notación matemática moderna hace mucho más fácil para el profesional, pero los principiantes a menudo les resulta desalentadora. Es extremadamente comprimido: unos pocos símbolos contienen una gran cantidad de información. Al igual que la notación musical, la notación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de cualquier otra manera.

Lenguaje matemático puede ser difícil de entender para los principiantes. Palabras tales como o y sólo tienen significados más precisos que en el habla cotidiana. Además, palabras como abierto y campo han dado significados matemáticos especializados. Los términos técnicos como homeomorfismo e integrable tienen significados precisos en matemáticas. Adicionalmente, frases abreviadas como FIB "si y sólo si" pertenecen a la jerga matemática. Hay una razón para la notación especial y vocabulario técnico: las matemáticas requiere más precisión que el lenguaje cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión del lenguaje y de la lógica como "rigor".

Prueba matemática es fundamentalmente una cuestión de rigor. Los matemáticos quieren que sus teoremas a seguir a partir de axiomas por medio del razonamiento sistemático. Esto es para evitar confundir "teoremas", basado en intuiciones falibles, de los cuales muchos casos han ocurrido en la historia del sujeto. El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos se espera argumentos detallados, pero en el momento de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes a las definiciones utilizadas por Newton conducirían a un resurgimiento de un análisis cuidadoso y la prueba formal en el siglo 19. Malentendido el rigor es causa de algunos de los errores más comunes de las matemáticas. Hoy en día, los matemáticos siguen discutiendo entre ellos acerca de las pruebas asistidas por ordenador. Desde grandes cálculos son difíciles de verificar, estas pruebas pueden no ser lo suficientemente rigurosos.

Los axiomas del pensamiento tradicional eran "verdades evidentes", pero que la concepción es problemática. A nivel formal, un axioma es sólo una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en el contexto de todas las fórmulas pueden derivar de un sistema axiomático. Era el objetivo del programa de Hilbert para poner todas las matemáticas de forma axiomática firme, pero de acuerdo con el teorema de incompletitud de Gödel todo sistema axiomático tiene fórmulas indecidibles, y por lo que una axiomatización definitiva de las matemáticas es imposible. Sin embargo las matemáticas es a menudo imagina que es nada más que la teoría de conjuntos de alguna axiomatización, en el sentido de que todo enunciado matemático o la prueba podrían ser lanzados en fórmulas dentro de la teoría de conjuntos.

Los campos de las matemáticas

Las matemáticas pueden, en términos generales, se subdividen en el estudio de la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. Además de estas preocupaciones principales, también hay subdivisiones dedicadas a la exploración de los vínculos con el corazón de las matemáticas a otros campos: la lógica, a la teoría de conjuntos, a las matemáticas empíricas de las diversas ciencias, y más recientemente con el estudio riguroso de la incertidumbre.

Fundaciones y filosofía

Con el fin de aclarar los fundamentos de las matemáticas, se desarrollaron los campos de la lógica matemática y la teoría de conjuntos. La lógica matemática incluye el estudio matemático de la lógica y de las aplicaciones de la lógica formal a otras áreas de las matemáticas, la teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que estudia los conjuntos o colecciones de objetos. La teoría de categorías, que se ocupa de una manera abstracta con las estructuras matemáticas y las relaciones entre ellos, está todavía en desarrollo. La frase "crisis de fundamentos", describe la búsqueda de una base rigurosa para las matemáticas que tuvieron lugar aproximadamente entre 1900-1930. Algunos desacuerdos sobre los fundamentos de las matemáticas continúa hasta nuestros días. La crisis de las fundaciones fue estimulado por una serie de controversias de la época, incluyendo la controversia sobre la teoría de conjuntos de Cantor y la controversia Brouwer-Hilbert.

La lógica matemática se ocupa de establecer las matemáticas dentro de un marco axiomático riguroso, y el estudio de las implicaciones de dicho marco. Como tal, es el hogar de teoremas de incompletitud de Gödel, que implica que cualquier sistema formal eficaz que contiene la aritmética básica, si el sonido, es necesariamente incompleto. Cualquier conjunto finito de axiomas número teóricas se toma como base, Gödel demostró cómo construir una declaración formal de que es un hecho cierto número de teoría, pero que no se deduce de los axiomas. Por lo tanto no existe un sistema formal es una axiomatización completa de la teoría de números completa. La lógica moderna se divide en teoría de la repetición, la teoría de modelos, y la teoría de la prueba, y está estrechamente relacionado con la informática teórica, así como la teoría de categorías.

Ciencias de la computación teórica incluye la teoría de la computabilidad, teoría de la complejidad computacional, y la teoría de la información. Teoría de la computabilidad examina las limitaciones de los distintos modelos teóricos de la computadora, incluyendo el modelo más conocido - la máquina de Turing. Teoría de la complejidad es el estudio de tratabilidad por ordenador; algunos problemas, aunque teóricamente soluble por ordenador, son tan costosos en términos de tiempo o de espacio que la solución de ellos es probable que se mantenga prácticamente inviable, incluso con el rápido avance de hardware de ordenador. Un problema conocido es la "P = NP?" problema, uno de los problemas del milenio. Por último, teoría de la información se refiere a la cantidad de datos que se pueden almacenar en un medio dado, y por lo tanto se ocupa de conceptos tales como la compresión y la entropía.

Las matemáticas puras

 Cantidad

El estudio de la cantidad comienza con los números, los números de primera familiares naturales y números enteros y operaciones aritméticas en ellos, que se caracterizan en la aritmética. Las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números, de los cuales provienen estos resultados tan populares como el último teorema de Fermat. La conjetura de primos gemelos y la conjetura de Goldbach dos problemas sin resolver en la teoría de números.

A medida que el sistema de numeración se desarrolla más, los números enteros son reconocidos como un subconjunto de los números racionales. Estos, a su vez, están contenidos dentro de los números reales, que se utilizan para representar las cantidades continuas. Los números reales son generalizadas a los números complejos. Estos son los primeros pasos de una jerarquía de números que va a incluir quarternions y octoniones. Consideración de los números naturales también conduce a los números transfinitos, que formalizar el concepto de "infinito". Otra área de estudio es el tamaño, lo que conduce a los números cardinales y luego a otra concepción del infinito: los números aleph, que permiten una comparación significativa del tamaño de los conjuntos infinitamente grandes.

 Estructura

Muchos de los objetos matemáticos, tales como conjuntos de números y funciones, muestran la estructura interna como consecuencia de las operaciones o de las relaciones que se definen en el set. Matemáticas y luego estudia las propiedades de los conjuntos que se pueden expresar en términos de esa estructura, por ejemplo, la Teoría de Números estudios de propiedades del conjunto de los enteros que se pueden expresar en términos de operaciones aritméticas. Por otra parte, con frecuencia ocurre que diferentes tales conjuntos estructurados exhiben propiedades similares, lo que hace posible, por un paso más allá de la abstracción, a los axiomas de estado para una clase de estructuras, y luego estudian a la vez toda la clase de estructuras que cumplan estos axiomas. Así, uno puede estudiar grupos, anillos, cuerpos y otros sistemas abstractos; conjunto de estos estudios constituyen el dominio del álgebra abstracta. Por su gran generalidad, álgebra abstracta a menudo se puede aplicar a problemas aparentemente no relacionados, por ejemplo un número de problemas antiguos relativa brújula y construcciones regla no fueron finalmente resuelto usando la teoría de Galois, que involucra la teoría de campos y la teoría de grupos. Otro ejemplo de una teoría algebraica es álgebra lineal, que es el estudio general de espacios vectoriales, cuyos elementos llamados vectores tienen la cantidad y la dirección, y se pueden utilizar para modelo de puntos en el espacio. Este es un ejemplo del fenómeno de que las áreas originalmente no relacionados de la geometría y el álgebra tienen muy fuertes interacciones en las matemáticas modernas. Combinatoria estudios de formas de enumerar el número de objetos que se ajustan a una estructura dada.

 Espacio

El estudio del espacio origina con la geometría - en particular, la geometría, euclidiano. La trigonometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos y con las funciones trigonométricas, que combina el espacio y los números, y abarca el famoso teorema de Pitágoras. El estudio moderno de espacio generaliza estas ideas para incluir geometría de dimensiones superiores, las geometrías no euclidianas y la topología. Cantidad y el espacio tanto juegan un papel en la geometría analítica, geometría diferencial, y la geometría algebraica. Geometría convexa y discreta se desarrollaron para resolver problemas en la teoría de números y el análisis funcional, pero ahora se persiguen con la mirada puesta en las aplicaciones de optimización y la informática. Dentro de la geometría diferencial son los conceptos de haces de fibras y el cálculo en colectores, en particular, el vector y cálculo del tensor. Dentro de la geometría algebraica es la descripción de los objetos geométricos como conjuntos de soluciones de ecuaciones polinómicas, combinando los conceptos de cantidad y en el espacio, así como el estudio de los grupos topológicos, que combinan la estructura y el espacio. Grupos de Lie se utilizan para estudiar el espacio, la estructura y el cambio. Topología en todas sus ramificaciones puede haber sido la mayor área de crecimiento en las matemáticas del siglo 20, sino que incluye la topología punto-set, la teoría de conjuntos topología, la topología algebraica y topología diferencial. En particular, los casos de topología de hoy en día son la teoría metrizability, la teoría axiomática de conjuntos, teoría de homotopía, y la teoría de Morse. Topología también incluye la conjetura de Poincaré ya resuelto, y las áreas que aún no resueltos de la conjetura de Hodge. Otros resultados en la geometría y la topología, incluyendo el teorema de los cuatro colores y conjetura de Kepler, se han demostrado sólo con la ayuda de ordenadores.

 Cambiar

Entendimiento y descripción de cambio es un tema común en las ciencias naturales, y el cálculo se ha desarrollado como una herramienta poderosa para investigarlo. Funciones surgen aquí, como un concepto central que describe una cantidad cambiante. El estudio riguroso de los números y funciones de una variable real reales se conoce como análisis real, con análisis complejo el campo equivalente de los números complejos. El análisis funcional se centra la atención en espacios de funciones. Una de las muchas aplicaciones de análisis funcional es la mecánica cuántica. Muchos problemas conducen naturalmente a las relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y éstos se estudian como ecuaciones diferenciales. Muchos fenómenos en la naturaleza pueden ser descritos por sistemas dinámicos; teoría del caos hace precisas las formas en que muchos de estos sistemas presentan un comportamiento impredecible y aún así determinista.

Matemáticas aplicadas

Matemática Aplicada se ocupa de los métodos matemáticos que se utilizan normalmente en la ciencia, la ingeniería, los negocios y la industria. Por lo tanto, "matemática aplicada" es una ciencia matemática con conocimientos especializados. La expresión matemática aplicada también describe la especialidad profesional en la que los matemáticos trabajan en problemas prácticos, como una profesión centrada en los problemas prácticos, matemática aplicada se centra en la "formulación, el estudio y el uso de modelos matemáticos" en la ciencia, la ingeniería y otras áreas de práctica matemática.

En el pasado, las aplicaciones prácticas han motivado el desarrollo de las teorías matemáticas, que luego se convirtió en el objeto de estudio de la matemática pura, en la que se desarrollaron las matemáticas principalmente para su propio bien. Por lo tanto, la actividad de las matemáticas aplicadas está vitalmente conectada con la investigación en matemática pura.

 Estadísticas y otras ciencias de la decisión

Matemática Aplicada tiene una superposición significativa con la disciplina de la estadística, cuya teoría se formula matemática, sobre todo con la teoría de la probabilidad. Estadísticos "crean datos que tenga sentido" con muestreo aleatorio y con experimentos aleatorios; el diseño de una muestra estadística o experimento especifica el análisis de los datos. Al revisar los datos de los experimentos y muestras o en el análisis de datos de estudios observacionales, los estadísticos "dar sentido a los datos", utilizando la técnica del modelado y la teoría de la inferencia - con la selección y estimación del modelo, los modelos estimados y predicciones resultantes deben ser probados en nuevos datos.

La teoría de decisión estadística estudia los problemas tales como reducir al mínimo el riesgo de una acción estadística, tales como el uso de un procedimiento en, por ejemplo, la estimación de parámetros, pruebas de hipótesis, y seleccionar la mejor. En estas áreas tradicionales de estadística matemática, un problema estadístico-decisión se formula mediante la minimización de una función objetivo, al igual que la pérdida o el coste era de esperar, bajo las limitaciones específicas: Por ejemplo, el diseño de una encuesta a menudo implica reducir al mínimo el coste de la estimación de una media de la población con una determinada nivel de confianza. Debido a su uso de la optimización, la teoría matemática de las estadísticas comparte la preocupación con otras ciencias de la decisión, tales como la investigación de operaciones, teoría de control, y la economía matemática.

 Matemática Computacional

Matemática Computacional propone y estudia métodos para resolver problemas matemáticos que suelen ser demasiado grandes para la capacidad numérica humano. Análisis numérico estudia métodos para problemas de análisis mediante el análisis funcional y la teoría de aproximación, el análisis numérico incluye el estudio de aproximación y discretización en términos generales con especial preocupación por los errores de redondeo. Análisis numérico y, más ampliamente, la computación científica también estudian temas no analíticas de la ciencia matemática, matriz especial de algoritmos y teoría de grafos. Otras áreas de la matemática computacional incluyen álgebra computacional y cálculo simbólico.

Matemáticas como profesión

Podría decirse que el premio más prestigioso de las matemáticas es la Medalla Fields, establecida en 1936 y ahora concede cada cuatro años. La Medalla Fields es a menudo considerado como un equivalente matemático al Premio Nobel.

El Premio Wolf en Matemáticas, instituido en 1978, reconoce su trayectoria, y otro importante premio internacional, el Premio Abel, fue introducida en 2003 - La Medalla Chern se introdujo en 2010 para reconocer su destacada trayectoria. Estos premios se otorgan en reconocimiento de un cuerpo de trabajo en particular, que puede ser innovacional, o proporcionar una solución a un problema pendiente en un campo establecido.

Una famosa lista de 23 problemas abiertos, llamados "problemas de Hilbert", fue compilado en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta lista alcanzó gran celebridad entre los matemáticos, y al menos nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas importantes, titulado los "problemas del milenio", se publicó en 2000. Una solución para cada uno de estos problemas lleva una recompensa de $ 1 millón, y sólo uno se duplica en los problemas de Hilbert.

La matemática como ciencia

Gauss se refiere a las matemáticas como "la reina de las ciencias". En el latín original Scientiarum Regina, así como en alemán Knigin der Wissenschaften, la palabra que corresponde a la ciencia significa un "campo de conocimiento", y este fue el significado original de la "ciencia" en Inglés, también. Por supuesto, las matemáticas es en este sentido un campo de conocimiento. La especialización restringir el significado de la "ciencia" de la ciencia natural sigue el desarrollo de la ciencia de Bacon, que contrastó "ciencias naturales" de la escolástica, el método aristotélico de investigar de los primeros principios. Por supuesto, el papel de la experimentación y la observación empírica es insignificante en las matemáticas, en comparación con las ciencias naturales tales como la psicología, la biología o la física. Albert Einstein dijo que "en cuanto a las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas, y la medida en que son ciertas, no se refieren a la realidad." Más recientemente, Marcus du Sautoy ha llamado las matemáticas "de la reina de la ciencia ... la principal fuerza impulsora detrás de los descubrimientos científicos".

Muchos filósofos creen que las matemáticas no no es experimentalmente falsable, y por lo tanto una ciencia según la definición de Karl Popper. Sin embargo, en la década de 1930 de incompletitud de Gödel teoremas matemáticos convencido a muchos de que las matemáticas no pueden reducirse a la sola lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de la física y la biología, hipotético-deductivo: la matemática pura tanto, resulta estar mucho más cerca de las ciencias naturales cuya hipótesis son conjeturas, de lo que parecía, incluso recientemente ". Otros pensadores, en particular Imre Lakatos, han solicitado una versión del falsacionismo de las matemáticas mismas.

Una visión alternativa es que ciertos campos científicos son matemáticas con axiomas que pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, JM Ziman, propone que la ciencia es conocimiento público y por lo tanto incluye las matemáticas. En cualquier caso, las acciones de las matemáticas tiene mucho en común con muchos campos de las ciencias físicas, especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis. La intuición y la experimentación también desempeñan un papel en la formulación de conjeturas, tanto en matemáticas y ciencias. Matemáticas experimentales sigue creciendo en importancia dentro de las matemáticas y la computación y simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias y las matemáticas, lo que debilita la objeción de que las matemáticas no utiliza el método científico.

Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemáticos consideran que llamar a su área de la ciencia consiste en minimizar la importancia de su lado estético, y su historia en los tradicionales siete artes liberales, mientras que otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias es hacer la vista gorda ante el hecho de que la relación entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería ha llevado a un gran desarrollo de las matemáticas. Una forma de esta diferencia de punto de vista juega es en el debate filosófico acerca de si se crea o se descubren las matemáticas. Es común ver a las universidades divididas en secciones que incluyen una división de ciencias y matemáticas, lo que indica que los campos se ven como aliados, pero que no coinciden. En la práctica, los matemáticos se agrupan por lo general con los científicos en el nivel bruto, pero separados a niveles más sutiles. Esta es una de las muchas cuestiones que se consideran en la filosofía de las matemáticas.