Fórmula de la masa semi-empírico, El modelo de la gota líquida y su análisis, La fórmula, Condiciones, Cálculo de los coeficientes, Ejemplos de las consecuencias de la fórmula

En la física nuclear, la fórmula de la masa semi-empírico se utiliza para aproximar la masa y otras propiedades de un núcleo atómico. Como su nombre lo indica, se basa en parte en la teoría y en parte en mediciones empíricas. La teoría se basa en el modelo de la gota líquida propuesto por George Gamow, el cual puede dar cuenta de la mayor parte de los términos en la fórmula y da estimaciones aproximadas de los valores de los coeficientes. Fue formulado por primera vez en 1935 por el físico alemán Carl Friedrich von Weizscker, ya pesar de mejoras se han hecho a los coeficientes en los últimos años, la estructura de la fórmula sigue siendo la misma hoy en día.

El SEMF da una buena aproximación de masas atómicas y varios otros efectos, pero no explica la aparición de los números mágicos de protones y neutrones, y la unión-energía y la medida de la estabilidad que se asocian a estos números de nucleones adicional.

El modelo de la gota líquida y su análisis

El modelo de la gota líquida en física nuclear trata el núcleo como una gota de fluido nuclear incompresible. Fue propuesto por primera vez por George Gamow y luego desarrollado por Niels Bohr y John Archibald Wheeler. El líquido es de nucleones, que se mantienen unidos por la fuerza nuclear fuerte. Este es un modelo de crudo que no explica todas las propiedades del núcleo, pero no explican la forma esférica de la mayoría de los núcleos. También ayuda a predecir la energía de enlace del núcleo.

El análisis matemático de la teoría proporciona una ecuación que intenta predecir la energía de enlace de un núcleo en términos de los números de protones y neutrones que contiene. Esta ecuación tiene cinco términos en su mano derecha. Estos corresponden a la unión coherente de todos los nucleones por la fuerza nuclear fuerte, la mutua repulsión electrostática de los protones, un término de energía de superficie, una asimetría plazo y un período de apareamiento.

Si tenemos en cuenta la suma de los siguientes cinco tipos de energías, a continuación, la imagen de un núcleo como una gota de líquido incompresible más o menos representa la variación observada de la energía de enlace del núcleo:

Energía por volumen. Cuando un conjunto de nucleones del mismo tamaño se embala juntos en el volumen más pequeño, cada nucleón interior tiene un cierto número de otros nucleones en contacto con él. Por lo tanto, esta energía nuclear es proporcional al volumen.

La energía superficial. Un nucleón en la superficie de un núcleo interactúa con un menor número de otros nucleones que uno en el interior del núcleo y por lo tanto su energía de enlace es menor. Este término energía superficial que toma en cuenta y por lo tanto, es negativo y es proporcional al área de superficie.

Energía Coulomb. La repulsión eléctrica entre cada par de protones en un núcleo contribuye a la disminución de su energía de enlace.

Asimetría energía. La energía asociada con el principio de exclusión de Pauli. Si no fuera por la energía de Coulomb, la forma más estable de la materia nuclear tendría el mismo número de neutrones como protones, ya que los números desiguales de neutrones y protones implicaría el cierre de los niveles de energía más altos para un tipo de partícula, mientras que deja los niveles de energía más bajos vacante para el otro tipo.

Vinculación energía. Una energía que es un término de corrección que surge de la tendencia de pares de protones y los pares de neutrones que se produzca. Un número par de partículas es más estable que un número impar.

La fórmula

En las siguientes fórmulas, sea A el número total de nucleones, Z el número de protones, y N el número de neutrones.

La masa de un núcleo atómico está dada por

donde y son la masa en reposo de un protón y un neutrón, respectivamente, y es la energía de enlace del núcleo. La fórmula de la masa semi-empírica indica que la energía de enlace va a tener el siguiente contenido:

Cada uno de los términos en esta fórmula tiene una base teórica, como se explicará a continuación.

Condiciones

Término Volumen

El término se conoce como el término de volumen. El volumen del núcleo es proporcional a A, por lo que este término es proporcional al volumen, de ahí el nombre.

La base de este término es la fuerza nuclear fuerte. La fuerza fuerte afecta tanto a los protones y neutrones, y como era de esperar, este término es independiente de Z. Debido a que el número de pares que pueden extraerse de una partículas es que uno podría esperar de un término proporcional a. Sin embargo, la fuerza fuerte tiene un alcance muy limitado y un nucleón dado sólo puede interactuar fuertemente con sus vecinos más cercanos y próximos vecinos más cercanos. Por lo tanto, el número de pares de partículas que interactúan en realidad es más o menos proporcional a A, que da el término volumen de su forma.

El coeficiente es menor que la energía de enlace de los nucleones a sus vecinos, que es del orden de 40 MeV. Esto es porque cuanto mayor sea el número de nucleones en el núcleo, la más grande de su energía cinética es, debido al principio de exclusión de Pauli. Si se trata del núcleo como una bola de Fermi de los nucleones, con igual número de protones y neutrones, entonces la energía cinética total es decir, con la energía de Fermi que se estima en 28 MeV. Así, el valor esperado de este modelo es, no muy lejos del valor medido.

Plazo de superficie

El término se conoce como el término superficie. Este término, también sobre la base de la fuerza fuerte, es una corrección al término de volumen.

El término volumen sugiere que cada nucleón interactúa con un número constante de nucleones, independientes de A. Si bien esto es casi cierto para nucleones profundas dentro del núcleo, los nucleones en la superficie del núcleo tienen un menor número de vecinos más cercanos, lo que justifica esta corrección. Esto también puede ser pensado como un término tensión de superficie, y de hecho un mecanismo similar crea tensión superficial en líquidos.

Si el volumen del núcleo es proporcional a A, entonces el radio deberá ser proporcional a la superficie y a. Esto explica por qué el término superficie es proporcional a. También puede ser deducido que debe tener un orden similar de magnitud que.

Plazo Coulomb

El término o se conoce como el Coulomb o término electrostático.

La base para este término es la repulsión electrostática entre los protones. Para una aproximación muy áspera, el núcleo puede ser considerado como una esfera de densidad de carga uniforme. La energía potencial de una distribución de tal carga puede ser demostrado ser

donde Q es la carga total y R es el radio de la esfera. La identificación de Q con, y tomando nota de que el anterior que el radio es proporcional a, nos acercamos a la forma del término de Coulomb. Sin embargo, debido a la repulsión electrostática sólo existirá durante más de un protón, se convierte. El valor de puede calcularse aproximadamente con la ecuación anterior:

Radio nuclear empírica:

Quantum enteros de carga:

Integración por sustitución:

La energía potencial de distribución de carga:

Electrostática constante de Coulomb:

El valor de uso de la constante de estructura fina:

donde es la constante de estructura fina y es el radio de un núcleo, dando a ser de aproximadamente 1,25 femtometers. es el radio de Compton de protones y la masa del protón. Esto le da un valor teórico aproximado de 0.691 MeV, no muy lejos del valor medido.

Asimetría plazo

El término o se conoce como la asimetría plazo. Tenga en cuenta que como la expresión entre paréntesis puede ser reescrita como. La forma se utiliza para mantener la dependencia de un explícita, como será importante para un número de usos de la fórmula.

La justificación teórica de este término es más complejo. El principio de exclusión de Pauli dice que dos fermiones no pueden ocupar el mismo estado cuántico de un átomo. En un nivel de energía dado, sólo hay un número finito de estados cuánticos disponibles para las partículas. Lo que esto significa en el núcleo es que a medida que más partículas se "añaden", estas partículas deben ocupar los niveles más altos de energía, el aumento de la energía total del núcleo. Tenga en cuenta que este efecto no se basa en ninguna de las fuerzas fundamentales, sólo el principio de exclusión de Pauli.

Los protones y los neutrones, que son tipos distintos de partículas, ocupan diferentes estados cuánticos. Uno puede pensar en dos "grupos" diferentes de estados, uno para los protones y uno de los neutrones. Ahora, por ejemplo, si hay un número significativamente más neutrones que protones en un núcleo, algunos de los neutrones será más alto en energía que los estados disponibles en la piscina de protones. Si se pudiera mover algunas partículas de la piscina de neutrones a la piscina de protones, en otras palabras, cambiar algunos neutrones en protones, que disminuiría significativamente la energía. El desequilibrio entre el número de protones y neutrones hace que la energía sea mayor de lo que tiene que ser, por un número dado de nucleones. Esta es la base de la asimetría plazo.

La forma real de la asimetría término nuevo se puede derivar mediante el modelado del núcleo como una bola de Fermi de protones y neutrones. Su energía cinética total es

donde es el número de protones y neutrones, y son su energía de Fermi. Puesto que este último son proporcionales a y, respectivamente, se obtiene

 para alguna constante C.

La expansión de liderazgo en la diferencia es entonces

En la expansión de orden cero, la energía cinética es la energía de Fermi multiplicado por. Así obtenemos

El primer término contribuye al término de volumen en la fórmula de la masa semi-empírica, y el segundo término es menos la asimetría plazo.

 se 38 MeV, por lo que el cálculo de la ecuación anterior, se obtiene sólo la mitad del valor medido. La discrepancia se explica por nuestro modelo no ser exacta: nucleones en hecho de interactuar unos con otros, y no están distribuidas uniformemente en todo el núcleo. Por ejemplo, en el modelo de capas, un protón y un neutrón con funciones de onda superpuestas tendrán una mayor interacción fuerte entre ellos y la energía de unión más fuerte. Esto hace que sea energéticamente favorable para los protones y los neutrones que tienen los mismos números cuánticos, y por lo tanto aumentar el coste de la energía de la asimetría entre ellos.

También se puede entender la asimetría término intuitivamente, de la siguiente manera. Se debería depender de la diferencia absoluta, y la forma es simple y diferenciable, que es importante para ciertas aplicaciones de la fórmula. Además, las pequeñas diferencias entre Z y N no tienen un alto coste energético. La A en el denominador refleja el hecho de que una diferencia dada es menos significativa para los valores más grandes de A.

Vinculación plazo

El término se conoce como el término apareamiento. Este término captura el efecto de spin-acoplamiento. Se administra a través de:

donde

Debido al principio de exclusión de Pauli el núcleo tendría una energía inferior si el número de protones con espín arriba fuera igual al número de protones con giro hacia abajo. Esto también es cierto para los neutrones. Sólo si ambos Z y N son aún pueden protones y los neutrones tienen el mismo número de spin up y spin hacia abajo partículas. Este es un efecto similar a la asimetría plazo.

El factor no es fácil de explicar teóricamente. El cálculo balón Fermi hemos utilizado anteriormente, basado en el modelo de la gota líquida pero las interacciones descuidar, dará una dependencia, como en la asimetría plazo. Esto significa que el efecto real para grandes núcleos será mayor de lo esperado por ese modelo. Esto debe ser explicado por las interacciones entre nucleones; Por ejemplo, en el modelo de capas, dos protones con los mismos números cuánticos tendrán funciones de onda se superponen completamente y por lo tanto tendrán una mayor interacción fuerte entre ellos y la energía de unión más fuerte. Esto hace que sea energéticamente favorable para los protones a par de pares de giro opuesto. Lo mismo es cierto para los neutrones.

Cálculo de los coeficientes

Los coeficientes se calculan por ajuste a las masas de los núcleos medidos experimentalmente. Sus valores pueden variar dependiendo de la forma en que se ajustan a los datos. Varios ejemplos se muestran a continuación, con las unidades de megaelectronvolts.

  • Wapstra: masas atómicas de nucleidos, AH Wapstra, Springer, 1958
  • Rohlf: Física Moderna de la A a Z0, James William Rohlf, Wiley, 1994

La fórmula de la masa semi-empírica proporciona un buen ajuste a los núcleos más pesados, y un mal ajuste de núcleos muy ligeros, especialmente 4He. Esto es debido a que la fórmula no tiene en cuenta la estructura de cubierta interna del núcleo. Para núcleos ligeros, por lo general es mejor utilizar un modelo que tiene en cuenta esta estructura.

Ejemplos de las consecuencias de la fórmula

Al maximizar B con respecto a la Z, nos encontramos con que el número de protones Z del núcleo estable de peso atómico A. Obtenemos

Esto es más o menos A/2 de núcleos ligeros, pero para núcleos pesados hay un acuerdo aún mejor con la naturaleza.

Sustituyendo el valor anterior de Z de nuevo en B se obtiene la energía de enlace como una función del peso atómico, B. Maximización de B/A con respecto a A da el núcleo que es más fuertemente ligada, es decir, más estable. El valor que obtenemos es A = 63, cerca de los valores medidos de A = 62 y A = 58.