Cuadrupolo, Definición matemática, Eléctrico cuadripolar, Generalización: multipolos Mayores, Cuadrupolo magnético, Gravitacional cuadrupolo

Un cuadrupolo o cuadrupolo es uno de una serie de configuraciones de ejemplo para la carga eléctrica-o masa actual, o la gravedad que pueden existir en forma ideal, pero por lo general es sólo parte de un desarrollo multipolar de una estructura más compleja que refleja diversos órdenes de complejidad.

Definición matemática

El tensor momento cuadripolar Q es un grado y dos tensor y es traceless. El tensor de momento cuadrupolar tiene por lo tanto los componentes 9, pero debido a la simetría de rotación y la propiedad-traza cero, sólo 5 de ellos son independientes.

Para un sistema discreto de cargas puntuales, cada uno con carga y posición relativa al origen del sistema de coordenadas, los componentes de la matriz Q se definen por:

.

Los índices se extienden sobre las coordenadas cartesianas y es la delta de Kronecker.

Para un sistema continuo con densidad de carga, los componentes de Q se definen por la integral sobre el espacio cartesiano r:

Como con cualquier momento con casquillo, si un momento de orden inferior no es cero, entonces el valor del momento cuadripolar depende de la elección del origen de coordenadas. Por ejemplo, un dipolo de dos cargas de distinto signo, el punto mismo de resistencia puede tener un momento cuadrupolar distinto de cero si el origen se desplaza del centro de la configuración, o el momento cuadrupolar puede ser reducido a cero con el origen en el centro . Por el contrario, si el monopolo y dipolo momentos se desvanecen, pero en el momento cuadrupolar no es así, entonces el momento cuadrupolar es coordinar independiente.

Si cada carga es la fuente de un campo "", al igual que el campo eléctrico o gravitacional, la contribución al potencial del campo desde el momento cuadrupolar es:

donde R es un vector con origen en el sistema de cobros y n es el vector unitario en la dirección de R. Aquí, es una constante que depende del tipo de campo, y las unidades que se utiliza. Los factores son los componentes del vector unitario desde el punto de interés para la localización del momento cuadripolar.

Eléctrico cuadripolar

El ejemplo más simple de un cuadrupolo eléctrico consta de cargas positivas y negativas, dispuestas en las esquinas de un cuadrado alterna. El momento monopolo de esta disposición es cero. Del mismo modo, el momento dipolar es cero, independientemente del origen de coordenadas que se ha elegido. Pero en el momento cuadrupolar de la disposición en el diagrama no se puede reducir a cero, independientemente de donde nos colocamos el origen de coordenadas. El potencial eléctrico de un cuadrupolo carga eléctrica está dada por

donde es la permitividad eléctrica.

Generalización: multipolos Mayores

Una generalización extrema sería: Ocho alternando cargas puntuales en las ocho esquinas de un paralelepípedo, por ejemplo, de un cubo de arista a. El "momento octupolo" de esta disposición se correspondería, en el "límite octupolo", a un tensor diagonal distinto de cero de orden tres. Multipolos Todavía más altos, por ejemplo, del orden 2l, que se alcanzaría con arreglos dipolares de dipolos puntuales, monopolos no puntuales, de orden inferior, por ejemplo, 2l-1.

Cuadrupolo magnético

Todas las fuentes magnéticas conocidas dan campos dipolares. Sin embargo, para hacer un cuadrupolo magnético es posible colocar cuatro imanes de barra idénticos perpendiculares el uno al otro de tal manera que el polo norte de un está al lado del sur de la otra. Tal configuración anula el momento dipolar y le da un momento cuadripolar, y su campo disminuirá a grandes distancias más rápido que la de un dipolo.

Un ejemplo de un cuadrupolo magnético, con la participación imanes permanentes, se muestra a la derecha. Electroimanes de diseño conceptual similar se utilizan comúnmente para enfocar los haces de partículas cargadas en aceleradores de partículas y las líneas de transporte de rayos, un método conocido como enfoque fuertes. El cuadrupolo-dipolo intersección se encuentran multiplicando el spin del nucleón impar por su átomo padre. Hay cuatro puntas de acero, dos polos opuestos polos magnéticos norte y dos en contra polo sur magnético. El acero es magnetizado por una gran cantidad de corriente eléctrica que fluye en las bobinas de tubo envuelto alrededor de los polos.

Cambiar momentos cuadrupolo magnético produce la radiación electromagnética.

Gravitacional cuadrupolo

La masa cuadrupolar es muy análoga a la cuadrupolo carga eléctrica, donde la densidad de carga se sustituye simplemente por la densidad de masa. El potencial gravitacional se expresa entonces como:

Por ejemplo, debido a que la Tierra rota, es achatado. Esto le da un momento cuadripolar no nulo. Si bien la contribución al campo gravitatorio de la Tierra desde el cuadrupolo es extremadamente importante para los satélites artificiales cercanos a la Tierra, es menos importante que la Luna, ya que el término se cae rápidamente.

El momento cuadripolar de masas también es importante en la relatividad general, porque, si cambia en el tiempo, puede producir radiación gravitacional, similar a la radiación electromagnética producida por oscilante dipolos eléctricos o magnéticos y multipolos más altos. Sin embargo, a pocos minutos de cuadrupolo y superior puede irradiar gravitacionalmente. El monopolo masa representa la masa total de energía en un sistema, el cual es conservado-por lo tanto, emite ninguna radiación. Del mismo modo, los medios de dipolo corresponde al centro de masa de un sistema y su primera derivada representa el impulso que es también una cantidad conservada por lo que la masa dipolo también emite ninguna radiación. El cuadripolo de masas, sin embargo, puede cambiar en el tiempo, y es la contribución de orden más bajo a la radiación gravitacional.

El ejemplo más simple y más importante de un sistema radiante es un par de puntos de masa con masas iguales que orbitan entre sí en una órbita circular. Desde el momento dipolar es constante, lo que podamos para facilitar lugar el origen de coordenadas adecuado entre los dos puntos. Entonces, el momento dipolar será cero, y si también escalar las coordenadas para que los puntos se encuentran en la unidad de distancia del centro, en dirección opuesta, el momento cuadrupolar del sistema entonces simplemente

donde M es la masa de cada punto, y son componentes del vector de posición de uno de los puntos. A medida que la órbita, este-vector x girará, lo que significa que tendrá una primera distinto de cero, y también la segunda derivada en el tiempo. Por lo tanto el sistema se irradian ondas gravitacionales. Energía perdida de esta manera se dedujo por primera vez en el período de cambio de Hulse-Taylor pulsar binario, un pulsar en órbita con otra estrella de neutrones de masa similar.

Así como la carga eléctrica y multipolos actuales contribuyen al campo electromagnético, de masas y la masa de corriente multipolos contribuyen al campo gravitatorio en la relatividad general, haciendo que los así llamados efectos "gravitomagnético". Cambiar multipolos masa actuales también pueden emitir radiación gravitacional. Sin embargo, las contribuciones de los multipolos actuales serán típicamente mucho más pequeño que el de la masa cuadrupolo.