Esfera, Volumen de una esfera, Superficie de una esfera, Ecuaciones en R3, Terminología, Hemisferio, Generalización a otras dimensiones, La generalización de los espacios métricos, Topología, Geometría esférica, Once propiedades de la esfera, Cubos en relación con esferas

Una esfera es un objeto geométrico circular y perfectamente redondo en el espacio de tres dimensiones, tales como la forma de una bola redonda. Como un círculo, que, en contextos geométricos, es en dos dimensiones, una esfera es el conjunto de puntos que son todos la misma distancia r de un punto dado en el espacio. Esta distancia r se conoce como el radio de la esfera, y el punto dado se conoce como el centro de la esfera. La distancia máxima directamente a través de la esfera se conoce como el diámetro. Se pasa a través del centro y es por lo tanto el doble del radio.

En matemáticas, se hace una distinción entre la esfera y la bola, una forma tridimensional que incluye el interior de una esfera.

Volumen de una esfera

En 3 dimensiones, el volumen interior de una esfera se deriva de ser

donde r es el radio de la esfera y p es la constante pi. Esta fórmula se deriva primero por Arquímedes, que mostró que el volumen de una esfera es de 2/3 de la de un cilindro circunscrita. En las matemáticas modernas, esta fórmula puede derivarse mediante cálculo integral, es decir, la integración de disco para sumar los volúmenes de un número infinito de discos circulares de espesor infinitesimal apilados lado a lado centrado en el eje x desde x = 0 cuando el disco tiene un radio r a x = r, donde el disco tiene un radio 0.

En cualquier x dado, el volumen incremental se dada por el producto del área de sección transversal del disco en x y su espesor:

El volumen total es la suma de todos los volúmenes incrementales:

En el límite, cuando dx se aproxima a cero esto se convierte en:

En cualquier x dado, un triángulo de ángulo recto conecta x, y, r para el origen, por lo tanto, se deduce a partir del teorema de Pitágoras que:

Por lo tanto, la sustitución y con una función de x da:

Esto ahora se puede evaluar de la siguiente manera:

Por lo tanto el volumen de una esfera es:

Alternativamente, esta fórmula se encuentra en coordenadas esféricas, con elemento de volumen

En las dimensiones superiores, la esfera se suele llamar una n-bola. Existen fórmulas recursivas generales para el volumen de una n-bola.

Para la mayoría de los propósitos prácticos, el volumen de una esfera inscrita en un cubo se puede aproximar como 52,4% del volumen del cubo, desde entonces. Por ejemplo, desde un cubo con longitud de arista 1 m tiene un volumen de 1 m3, una esfera con un diámetro de 1 m tiene un volumen de aproximadamente 0.524 m3.

Superficie de una esfera

El área de superficie de una esfera está dado por la siguiente fórmula:

Esta fórmula se deriva primero por Arquímedes, basado en el hecho de que la proyección de la superficie lateral de un cilindro es el área circunscrita-preservación. También es el derivado de la fórmula para el volumen con respecto a r ya que el volumen total de una esfera de radio r puede ser pensado como la suma de la superficie de un número infinito de capas esféricas de espesor infinitesimal apilados concéntricamente dentro de una otra de radio de 0 y radio r. En espesor infinitesimal, la discrepancia entre la superficie interior y exterior de cualquier capa dada es infinitesimal y el volumen elemental en el radio r es simplemente el producto de la superficie en el radio r y el grosor infinitesimal.

En cualquier radio r dado, el volumen incremental se dada por el producto del área de la superficie en el radio r y el grosor de una concha:

El volumen total es la suma de todos los volúmenes de shell:

En el límite, cuando se aproxima a cero dr esto se convierte en:

Como ya hemos demostrado lo que el volumen es, podemos sustituir V:

Diferenciando ambos lados de esta ecuación con respecto a r da lugar A como una función de r:

Que es generalmente abreviada como:

Alternativamente, el elemento de área en la esfera está dado en coordenadas esféricas por. Con las coordenadas cartesianas, el elemento de área. Más en general, véase el elemento area.

El área total por lo tanto se puede obtener por integración:

Ecuaciones en R3

En la geometría analítica, una esfera con el centro y el radio r es el lugar geométrico de todos los puntos tales que los

Los puntos de la esfera de radio r se pueden parametrizar a través de

.

Una esfera de cualquier radio centrado en cero es una integral de superficie de la forma diferencial siguiente:

Esta ecuación refleja el hecho de que los vectores de posición y velocidad de un punto de viajar en la esfera son siempre ortogonales entre sí.

La esfera tiene el área de superficie más pequeña entre todas las superficies que encierran un volumen dado y que encierra el volumen más grande entre todas las superficies cerradas con un área de superficie dada. Por esta razón, la esfera aparece en la naturaleza: por ejemplo, burbujas y pequeñas gotas de agua son más o menos esférica, debido a la tensión superficial minimiza localmente área de superficie.

El área de la superficie en relación a la masa de una esfera se llama el área de superficie específica. A partir de las ecuaciones antes indicadas se puede expresar de la siguiente manera:

donde es la relación de masa a volumen.

Una esfera también se puede definir como la superficie formada por rotación de un círculo alrededor de cualquier diámetro. Si el círculo se sustituye por una elipse, y hace girar alrededor del eje principal, la forma se convierte en un esferoide alargado, hace girar alrededor del eje menor, un esferoide achatado.

Terminología

Los pares de puntos en una esfera que se encuentran en una línea recta a través de su centro se llaman puntos antípodas. Un gran círculo es un círculo en la esfera que tiene el mismo centro y el radio como la esfera, y en consecuencia lo divide en dos partes iguales. La distancia más corta entre dos puntos no antípodas distintos sobre la superficie y se mide a lo largo de la superficie, es única en el gran círculo que pasa a través de los dos puntos. Equipado con la distancia de círculo, un círculo se convierte en el círculo de Riemann.

Si un punto determinado de una esfera se designa como su polo norte, entonces el punto antípoda correspondiente se denomina el polo sur y el ecuador es el gran círculo que es equidistante a ellos. Grandes círculos a través de los dos polos se llaman líneas de longitud, y la línea que une los dos polos se llama el eje de rotación. Círculos en la esfera que son paralelas a la línea ecuatorial son líneas de latitud. Esta terminología se utiliza también para los cuerpos astronómicos, tales como el planeta Tierra, a pesar de que no es esférica y sólo aproximadamente esferoidal.

Hemisferio

Una esfera se divide en dos hemisferios "" iguales por cualquier plano que pasa a través de su centro. Si dos planos que se cortan pasan a través de su centro, entonces van a subdividir la esfera en cuatro lunes o biangles, los vértices de la cual todos coinciden con los puntos antípodas situadas en la línea de intersección de los planos.

El cociente antípoda de la esfera es la superficie llamado el plano proyectivo real, que también puede ser pensado como el hemisferio norte con puntos antípodas del ecuador identificado.

El hemisferio ronda se conjetura que el llenado óptimo del círculo de Riemann.

Si los aviones no pasan a través del centro de la esfera, entonces la intersección se llama la sección esférica.

Generalización a otras dimensiones

Las esferas pueden ser generalizados a los espacios de cualquier dimensión. Para cualquier número natural n, una "n-esfera," escrito a menudo como Sn, es el conjunto de puntos en el espacio euclidiano tridimensional, que se encuentran a una distancia r fija desde un punto central de ese espacio, donde r es, como antes, un número real positivo. En particular:

  • un 0-esfera es un par de puntos finales de un intervalo de la recta real
  • una esfera-1 es un círculo de radio r
  • una 2-esfera es una esfera ordinaria
  • una 3-esfera es una esfera en el espacio euclidiano de dimensión 4.

Esferas para n> 2 veces se llaman hiperesferas.

El n-esfera de radio unidad centrado en el origen se denota Sn y se refiere a menudo como "la" n-esfera. Tenga en cuenta que la esfera ordinaria es una 2-esfera, debido a que es una superficie de 2 dimensiones.

El área de la superficie de la esfera de radio 1 es

donde G es la función Gamma de Euler.

Otra expresión para el área de la superficie es

y el volumen es el tiempo de superficie o

La generalización de los espacios métricos

Más en general, en un espacio métrico, la esfera de centro x y radio r> 0 es el conjunto de puntos de Y tal que d = r.

Si el centro es un punto distinguido considerado como origen de E, como en un espacio normado, no se menciona en la definición y la notación. Lo mismo se aplica para el radio si se toma igual a uno, como en el caso de una esfera unidad.

En contraste con un balón, una esfera puede ser un conjunto vacío, incluso para un gran radio. Por ejemplo, en Zn con la métrica euclidiana, una esfera de radio r es no vacío sólo si r2 puede escribirse como la suma de los cuadrados de n números enteros.

Topología

En topología, un n-esfera se define como un homeomórfico espacio para el límite de una bola; por lo tanto, es homeomórfico a la n-esfera euclidiana, pero tal vez carece de su métrica.

  • un 0-esfera es un par de puntos con la topología discreta
  • una esfera-1 es un círculo, por lo que, por ejemplo, cualquier nudo es un 1-esfera
  • una 2-esfera es una esfera ordinaria, por lo que, por ejemplo, cualquier esferoide es un 2-esfera

El n-esfera se denota Sn. Es un ejemplo de un colector topológico compacto sin límite. Una esfera no tiene que ser suave, y si es suave, no tiene que ser difeomorfa a la esfera euclidiana.

El teorema de Heine-Borel implica que un euclidiano n-esfera es compacto. La esfera es la imagen inversa de un conjunto de un punto bajo la función continua | | x | |. Por lo tanto, la esfera está cerrado. Sn También es limitado, por lo que es compacto.

Geometría esférica

Los elementos básicos de la geometría plana de Euclides son puntos y líneas. En la esfera, los puntos se definen en el sentido usual, pero la analogía de la "línea" pueden no ser inmediatamente evidente. Si se mide por la longitud de arco se encuentra que el camino más corto que conecta dos puntos que se encuentran en su totalidad en la esfera es un segmento de círculo que contiene los puntos; ver geodésica. Muchos teoremas de la geometría clásica son válidas para esta geometría esférica también, pero muchos no lo hacen. En trigonometría esférica, ángulos se definen entre grandes círculos. Por lo tanto trigonometría esférica es diferente de la trigonometría ordinaria en muchos aspectos. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico superior a 180 grados. Además, cualquiera de los dos triángulos esféricos similares son congruentes.

Once propiedades de la esfera

En su libro de geometría y la imaginación David Hilbert y Stephan Cohn-Vossen describen once propiedades de la materia y discutir si estas propiedades determinan únicamente la esfera. Varias propiedades se cumplen para el plano que puede ser pensado como una esfera con radio infinito. Estas propiedades son:

  • Los puntos de la esfera son todos la misma distancia de un punto fijo. Además, la relación de la distancia de sus puntos de dos puntos fijos es constante. La primera parte es la definición usual de la esfera y determina de forma inequívoca. La segunda parte se deduce fácilmente y sigue un resultado similar de Apolonio de Perge para el círculo. Esta segunda parte también es válido para el avión.
  • Los contornos y secciones planas de la esfera son círculos. Esta propiedad define la esfera exclusiva.
  • La esfera tiene un ancho constante y perímetro constantes. La anchura de una superficie es la distancia entre pares de planos tangentes paralelas. Hay numerosas otras superficies convexas cerrados que tienen anchura constante, por ejemplo el cuerpo de Meissner. La circunferencia de una superficie es la circunferencia de la frontera de su proyección ortogonal sobre un plano. Se puede demostrar que cada una de estas propiedades implica al otro.
  • Todos los puntos de una esfera son umbilics. En cualquier punto en una superficie podemos encontrar una dirección normal que es en ángulo recto a la superficie, para la esfera estas son las líneas que irradian desde el centro de la esfera. La intersección de un plano que contiene la normal con la superficie va a formar una curva de llama una sección normal y la curvatura de esta curva es la curvatura normal. Para la mayoría de los puntos en la mayoría de superficies, diferentes secciones tendrán diferentes curvaturas; los valores máximo y mínimo de éstos se llaman las curvaturas principales. Puede ser demostrado que cualquier superficie cerrada tendrá por lo menos cuatro puntos llamados puntos umbilicales. En una umbílica todas las curvaturas seccionales son iguales, en particular, las curvaturas principales son iguales. Puntos umbilicales pueden ser considerados como los puntos en los que la superficie está estrechamente aproximar por una esfera. En la esfera de las curvaturas de todas las secciones normales son iguales, por lo que cada punto es un umbílica. La esfera y el plano son las únicas superficies con esta propiedad.
  • La esfera no tiene una superficie de centros. Para una sección normal, dado que hay un círculo cuya curvatura es la misma que la curvatura en sección, es tangente a la superficie y cuyas líneas de centro a lo largo de la línea normal. Tomar los dos centros correspondientes a las curvaturas máximas y mínimas en sección: estos son llamados los puntos focales, y el conjunto de todos estos centros forma la superficie focal. Para la mayoría de las superficies de la superficie focal forma dos hojas cada una de las cuales es una superficie y que se unen en los puntos umbilicales. Hay una serie de casos especiales. Para superficies de los canales una hoja forma una curva y la otra lámina es una superficie, por conos, cilindros, toros y cyclides ambas hojas forman curvas. Para la esfera el centro de cada círculo osculador está en el centro de la esfera y la superficie focal se forma un único punto. Esta es una propiedad única de la esfera.
  • Todas las geodésicas de la esfera son curvas cerradas. Geodésicas son curvas en una superficie que dan la distancia más corta entre dos puntos. Se trata de una generalización del concepto de una línea recta en el plano. En la esfera de las geodésicas son grandes círculos. Hay muchas otras superficies con esta propiedad.
  • De todos los sólidos que tienen un volumen dado, la esfera es el que tiene la menor área de superficie; de todos los sólidos tienen un área de superficie dada, la esfera es la que tiene el mayor volumen. Se desprende de la desigualdad isoperimétrico. Estas propiedades definen la esfera única. Estas propiedades se pueden ver mediante la observación de las burbujas de jabón. Una burbuja de jabón se encierran un volumen fijo y debido a la tensión superficial de su superficie es mínima para que el volumen. Por ello, una pompa de jabón flotando libremente aproxima una esfera.
  • La esfera tiene la menor curvatura media total entre todos los sólidos convexos con una superficie dada. La curvatura media es la media de las dos curvaturas principales y como éstos son constantes en todos los puntos de la esfera a continuación, también lo es la curvatura media.
  • La esfera tiene curvatura media constante. La esfera es la única superficie incrustada sin límite o singularidades con curvatura media constante positiva. Hay otras superficies sumergidas con curvatura media constante. Las superficies mínimas han cero significa curvatura.
  • La esfera tiene una constante curvatura gaussiana positiva. La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales. Es una propiedad intrínseca que se puede determinar mediante la medición de la longitud y los ángulos y no depende de la forma en que la superficie está incrustado en el espacio. Por lo tanto, doblando una superficie no va a alterar la curvatura gaussiana y otras superficies con curvatura gaussiana positiva constante se puede obtener mediante la reducción de una pequeña abertura en la esfera y doblarla. Todas estas otras superficies tendrían límites y la esfera es la única superficie sin límite con constante curvatura gaussiana positiva. El pseudoesfera es un ejemplo de una superficie con curvatura gaussiana negativa constante.
  • La esfera se transforma en sí mismo por una familia de tres parámetros de movimientos rígidos. Considere la posibilidad de una esfera unidad colocado en el origen, una rotación alrededor de los ejes X, Y o eje z mapeará la esfera sobre sí mismo, de hecho cualquier rotación alrededor de una línea a través del origen se puede expresar como una combinación de rotaciones alrededor de los tres ejes de coordenadas, ver ángulos de Euler. Por lo tanto hay una familia de tres parámetros de rotaciones que transforman la esfera sobre sí mismo, este es el grupo de rotación SO. El avión es la única otra superficie con una familia de tres parámetros de transformaciones. Cilindros circulares son las únicas superficies con las familias de dos parámetros de movimientos rígidos y las superficies de revolución y helicoides son las únicas superficies con una familia de un solo parámetro.
  • Cubos en relación con esferas

    Para cada esfera hay múltiples cuboids que pueden ser inscritos en la esfera. El más grande cuboide que puede ser inscrita dentro de una esfera es un cubo.