Matemática Financiera, Historia: Q frente a P, Crítica, Artículos Matemática Financiera

Matemática Financiera es un campo de las matemáticas aplicadas, preocupados por los mercados financieros. En general, matemática financiera derivará y extender los modelos matemáticos o numéricos sin establecer necesariamente un vínculo con la teoría financiera, tomando los precios de mercado observados como entrada. Se requiere coherencia matemática, no compatible con la teoría económica. Así, por ejemplo, mientras que un economista financiero podría estudiar las razones estructurales por las que una empresa puede tener un cierto precio de la acción, un matemático financiera puede tomar el precio de la acción como un hecho, y tratar de usar cálculo estocástico para obtener el valor correspondiente de los derivados de las acciones. El teorema fundamental del precio libre de arbitraje es uno de los teoremas fundamentales de matemática financiera, mientras que la ecuación Negro-Scholes y la fórmula se encuentran entre los principales resultados.

Matemática Financiera también coincide fuertemente con el campo de las finanzas computacionales. El segundo se centra en la aplicación, mientras que el primero se centra en el modelado y la derivación, a menudo con ayuda de modelos estocásticos de activos. En general, existen dos ramas separadas de financiación que requieren técnicas cuantitativas avanzadas: derivados de los precios, por un lado, y la gestión de riesgo y de cartera en el otro.

Muchas universidades ofrecen programas de investigación en matemática financiera y grado; ver Maestría en Matemática Financiera.

Historia: Q frente a P

Existen dos ramas separadas de financiación que requieren técnicas cuantitativas avanzadas: derivados de los precios y de riesgo y gestión de cartera. Una de las principales diferencias es que utilizan diferentes probabilidades, es decir, la probabilidad neutral al riesgo, denotado por "Q", y la probabilidad real, denotados por "P".

Derivados de los precios: el mundo Q

El objetivo de la fijación de precios derivados es determinar el precio justo de un título determinado en función de los valores más líquidos cuyo precio se determina por la ley de la oferta y la demanda. El significado de "razonable" depende, por supuesto, de si se tiene en cuenta la compra o venta del valor. Ejemplos de valores cuyo precio son opciones plain vanilla y exóticas, bonos convertibles, etc

Una vez que un precio justo se ha determinado, el operador sell-side puede hacer un mercado de la seguridad. Por lo tanto, los precios derivados es un complejo ejercicio "extrapolación" para definir el valor de mercado de un valor, que luego se utiliza por la comunidad sell-side. Precios derivados cuantitativa fue iniciada por Louis Bachelier en La teoría de la especulación, con la introducción de los procesos más básicos y más influyente de, el movimiento browniano, y sus aplicaciones a la fijación de precios de opciones. Bachelier modela las series de tiempo de los cambios en el logaritmo de los precios de las acciones como un paseo aleatorio en el que los cambios a corto plazo tuvieron una varianza finita. Esto hace que los cambios a largo plazo que siguen una distribución gaussiana. El trabajo de Bachelier, sin embargo, fue en gran parte desconocida fuera de la academia.

La teoría se mantuvo latente hasta Fischer Negro y Myron Scholes, junto con las contribuciones fundamentales de Robert C. Merton, aplicó el segundo proceso más influyente, el movimiento browniano geométrico, de valoración de opciones. Por M. Scholes y R. Merton recibieron el Premio Memorial de 1997 Nobel en Ciencias Económicas. Negro no era elegible para el premio debido a su muerte en 1995.

El siguiente paso importante fue el teorema fundamental de la valoración de activos por Harrison y Pliska, según el cual el precio actual adecuadamente normalizada P0 de un valor es libre de arbitraje, por lo que verdaderamente justo, sólo si existe un Pt proceso estocástico con valor esperado constante que describe su evolución futura:

Un proceso de satisfacción se llama "martingala". Una martingala no recompensa a los riesgos. Por lo tanto la probabilidad de que el proceso de precios de seguridad normalizado se llama "neutral al riesgo" y por lo general se designa por la letra de fuente pizarra "".

La relación debe mantener durante todo el tiempo t: por lo tanto, los procesos utilizados para la fijación de precios derivados se encuentran naturalmente en tiempo continuo.

Los cuantos que operan en el mundo Q de precios derivados son especialistas con un conocimiento profundo de los productos específicos que modelo.

Valores tienen un precio individual, y por lo tanto los problemas en el mundo Q son pocas dimensiones en la naturaleza. La calibración es uno de los principales desafíos del mundo Q: Una vez que un proceso paramétrico de tiempo continuo se ha calibrado para un conjunto de valores que se negocien a través de una relación como una relación similar se utiliza para definir el precio de los nuevos derivados.

Las principales herramientas cuantitativas necesarias para manejar Q procesos de tiempo continuo son Itos estocástico cálculo y ecuaciones diferenciales parciales.

Riesgo y gestión de cartera: el mundo P

Riesgos y gestión de la cartera tiene como objetivo modelar la distribución de probabilidad de los precios de mercado de todos los valores a un horizonte de inversión a futuro dado. Esta distribución de probabilidad "real" de los precios de mercado suele ser representada por la letra fuente pizarra "", en contraposición a la "" probabilidad "neutral al riesgo" que se utiliza en los precios de los derivados. En base a la distribución de P, la comunidad parte compradora toma decisiones sobre qué valores de compra con el fin de mejorar los futuros beneficios y perfil de la pérdida de sus posiciones consideradas como una cartera.

La teoría cuantitativa del riesgo y gestión de cartera se inició con el marco media-varianza de Harry Markowitz, que provocó el abandono de la idea de tratar de identificar la mejor acción individual para la inversión. Utilizando una estrategia de regresión lineal para entender y cuantificar el riesgo y el rendimiento de toda una cartera de acciones, bonos y otros valores, se utilizó una estrategia de optimización de elegir una cartera con mayor rentabilidad media sujetas a niveles aceptables de variación en el rendimiento. A continuación, avance se avanzó con el Capital Asset Pricing Model y el Pricing Theory arbitraje desarrollado por Treynor, Mossin, William Sharpe, Lintner y Ross.

Por su trabajo pionero, Markowitz y Sharpe, junto con Merton Miller, compartieron el premio conmemorativo 1990 Nobel en Ciencias Económicas, por primera vez en la historia premiada por un trabajo en finanzas.

El trabajo de selección de cartera de Markowitz y Sharpe introdujo las matemáticas para el "arte negro" de la gestión de inversiones. Con el tiempo, las matemáticas se ha vuelto más sofisticado. Gracias a Robert Merton y Paul Samuelson, modelos de una época fueron reemplazados por tiempo continuo, los modelos de movimiento browniano, y la función de utilidad cuadrática implícita en la optimización de media-varianza fue reemplazado por el aumento de las funciones de utilidad, cóncavas más generales. Por otra parte, en los últimos años la atención se desplazó hacia la estimación del riesgo, es decir, el peligro de asumir incorrectamente que el análisis avanzado de series de tiempo por sí solo puede proporcionar estimaciones exactas por completo de los parámetros de mercado

Ha invertido mucho esfuerzo en el estudio de los mercados financieros y cómo los precios varían con el tiempo. Charles Dow, uno de los fundadores de Dow Jones y Company y The Wall Street Journal, enunció una serie de ideas sobre el tema que ahora se llama la Teoría de Dow. Esta es la base del llamado método de análisis técnico de intentar predecir los cambios futuros. Uno de los principios del "análisis técnico" es que las tendencias del mercado dan una indicación del futuro, al menos en el corto plazo. Las reivindicaciones de los analistas técnicos son disputadas por muchos académicos.

Crítica

A través de los años, los modelos matemáticos cada vez más sofisticados y estrategias de precios derivados han sido desarrollados, pero su credibilidad fue dañada por la crisis financiera de 2007-2010. La práctica contemporánea de la matemática financiera ha sido objeto de críticas por parte de las cifras en el campo sobre todo por Nassim Nicholas Taleb, profesor de ingeniería financiera en el Instituto Politécnico de la Universidad de Nueva York, en su libro El Cisne Negro y Paul Wilmott. Taleb afirma que los precios de los activos financieros que no pueden ser caracterizados por los modelos simples que se utilizan actualmente, lo que hace la mayor parte de la práctica actual en el mejor de irrelevante, y en el peor, peligrosamente engañosa. Wilmott y Emanuel Derman publicaron el Manifiesto de las modeladores financieros "en enero de 2008, que aborda algunos de los problemas más graves. Organismos como el Instituto para el Nuevo Pensamiento Económico están intentando establecer teorías y los métodos más eficaces.

En general, el modelado de los cambios en la distribución con varianza finita es, cada vez más, dice que es inapropiado. En la década de 1960 se descubrió por Benoît Mandelbrot que los cambios en los precios no siguen una distribución de Gauss, pero son más bien modelada mejor LVY distribuciones alfa-estables. La escala del cambio, o volatilidad, depende de la duración del intervalo de tiempo a una fuente de un poco más de media - grandes cambios hacia arriba o hacia abajo es más probable que lo que se podría calcular usando una distribución gaussiana con una desviación estándar estimada. Véanse también los modelos financieros con las distribuciones de cola larga y la agrupación volatilidad.

Artículos Matemática Financiera

 Ver también Esquema de financiación: Matemáticas financieras, herramientas matemáticas, los precios derivados.

Herramientas matemáticas

Precios derivados