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Una regla de la divisibilidad es una forma abreviada de determinar si un número dado es divisible por un divisor fijo sin llevar a cabo la división, por lo general mediante el examen de sus dígitos. Aunque hay pruebas de divisibilidad de números en cualquier base, y todos son diferentes, este artículo presenta las reglas y ejemplos de números decimales.

Reglas de divisibilidad de los números 1 a 20

Las normas que figuran a continuación se transforman un número dado en un número generalmente más pequeños, mientras que la preservación de la divisibilidad por el divisor de interés. Por lo tanto, a menos que se indique lo contrario, el número resultante debe evaluarse para divisibilidad por el mismo divisor. En algunos casos, el proceso puede repetirse hasta que la divisibilidad es obvio, para otros el resultado debe ser examinado por otros medios.

Para divisores con múltiples normas, las reglas son generalmente ordenados primero por aquellos apropiados para los números con muchos dígitos, a continuación, los que son útiles para los números con menos dígitos.

Nota: Para probar la divisibilidad por cualquier número que puede ser expresado como 2n o 5n, en el que n es un número entero positivo, al examinar los últimos n dígitos.

Ejemplos paso a paso

Divisibilidad por 2

En primer lugar, tomar cualquier número par y anotar el último dígito del número, descartando los otros dígitos. Luego tomar ese dígito, ignorando el resto del número y determinar si es divisible por 2 - Si es divisible por 2, entonces el número original es divisible por 2.

Ejemplo

  • 376
  • 37 6
  • 6 2 = 3
  • 376 2 = 188
  • Divisibilidad por 3

    En primer lugar, tener cualquier número y sume cada dígito del número. Luego tomar esa suma y determinar si es divisible por 3 - El número original es divisible por 3 si y sólo si el número final es divisible por 3.

    Si un número es una multiplicación de 3 números consecutivos a continuación, ese número es siempre divisible por 3 - Esto es útil para cuando el número toma la forma de)

    Ex.

  • 492
  • 4 9 2 = 15
  • 15 es divisible por 3 y en ese momento se puede parar. Como alternativa podemos seguir utilizando el mismo método si el número es demasiado grande:
  • 1 5 = 6
  • 6 3 = 2
  • 492 3 = 164
  • Ex.

  • 336
  • 6 7 8 = 336
  • 336 3 = 112
  • Divisibilidad por 4

    La regla básica de la divisibilidad por 4 es que si el número formado por los dos últimos dígitos de un número es divisible por 4, el número original es divisible por 4, esto se debe a que 100 es divisible por 4 y por lo que añadir cientos, miles, etc . es simplemente añadir otro número que sea divisible por 4 - Si un número termina en un número de dos dígitos que usted sabe es divisible por 4, entonces todo el número será divisible por 4, independientemente de lo que es antes de que los dos últimos dígitos.

    Alternativamente, se puede simplemente dividir el número por 2, y compruebe el resultado de encontrar si es divisible por 2 - Si lo es, el número original es divisible por 4 - Además, el resultado de esta prueba es el mismo que el número original dividido por 4.

    Ex. Regla general

  • 2092
  • 20 92
  • 92 4 = 23
  • 4 2092 = 523
  • Ejemplo alternativo

  • 1720
  • 1720 2 = 860
  • 860 2 = 430
  • 1720 4 = 430
  • Divisibilidad por 5

    Divisibilidad por 5 se determina fácilmente marcando el último dígito del número, y ver si es 0 ó 5 - Si la última cifra es 0 o 5, el número entero es divisible por 5.

    Si el último dígito del número es 0, entonces el resultado será los dígitos restantes multiplicados por 2 - Por ejemplo, el número 40 termina en un cero, así que los números restantes y que se multiplican por dos. El resultado es el mismo que el resultado de 40 dividido por 5.

    Si el último dígito del número es 5, entonces el resultado será los dígitos restantes multiplicado por dos, más uno. Por ejemplo, el número 125 termina en 5, a fin de tomar los dígitos restantes, multiplican por dos, luego añada una. El resultado es el mismo que el resultado de 125 dividido por 5.

    Ex. Si el último dígito es 0

  • 110
  • 11 0
  • 11 0
  • 11 2 = 22
  • 110 5 = 22
  • Si el último dígito es 5

  • 85
  • 8 5
  • 8 5
  • 8 2 = 16
  • 16 1 = 17
  • 85 5 = 17
  • Divisibilidad por 6

    La divisibilidad entre 6 se determina comprobando el número original para ver si es a la vez un número par y divisible por 3. Esta es la mejor prueba de su uso.

    Alternativamente, se puede comprobar la divisibilidad por seis tomando el número, dejando caer el último dígito del número, multiplicándolo por cuatro, y la adición de la última cifra del número original de eso. Si este número es divisible por seis, el número original es divisible por 6.

    Si el número es divisible por seis, tomar el número original y se divide por dos. Luego, tomar ese resultado y se divide por tres. Este resultado es el mismo que el número original dividido por seis.

    Ex. Regla general

  • 324
  • 324 3 = 108
  • 324 = 2 162 O 108 2 = 54
  • 324 = 6 54
  •  Encontrar un resto de un número cuando se divide por 6 6 - No hay período. Magnitud secuencia de secuencia positiva mínima Multiplica el dígito de la izquierda dígito en la secuencia y multiplicar el segundo dígito de la derecha por la segunda a la izquierda dígito en la secuencia y así sucesivamente. A continuación, calcular la suma de todos los valores y tomar el resto en la división por 6. Ejemplo: ¿Qué es lo que queda cuando 1036125837 se divide por 6? La multiplicación de la derecha dígito = 1 7 = 7 multiplicación del segundo dígito más a la derecha = 3 -2 = -6 tercer dígito más a la derecha = -16 cuarto dígito más a la derecha = -10 quinto dígito más a la derecha = -4 sexto dígito más a la derecha = -2 Séptimo más a la derecha dígito = -12 Octavo dígito = -6 Noveno dígito = 0 X = Suma -2 dígitos más a la derecha más a la derecha más a la derecha = -51 -51 modulo 6 = 3 Resto = 3

    Divisibilidad por 7

    La divisibilidad entre 7 puede ser probado por un método recursivo. Un número de la forma 10x y es divisible por 7 si y sólo si x - 2y es divisible por 7 - En otras palabras, restar dos veces el último dígito del número formado por los dígitos restantes. Continúe haciendo esto hasta que se obtenga un número pequeño. El número original es divisible por 7 si y sólo si el número obtenido mediante este procedimiento es divisible por 7 - Por ejemplo, el número 371: 37 - = 37-2 = 35; 3 - = 3 - 10 = -7; por lo tanto, desde -7 es divisible por 7, 371 es divisible por 7.

    Otro método es la multiplicación por 3 - Un número de la forma 10x y tiene el mismo resto cuando se divide por 7 como 3x y. Hay que multiplicar el dígito más a la izquierda del número original por 3, agregue el siguiente dígito, tome el resto cuando se divide por 7, y continuar desde el principio: se multiplica por 3, agregue el siguiente dígito, etc Por ejemplo, el número 371: 33 7 = 16 resto 2, y 23 1 = 7 - Este método se puede utilizar para encontrar el resto de la división por 7.

    Un algoritmo más complicado para las pruebas de divisibilidad por 7 utiliza el hecho de que 100 = 1, 101 = 3, 102 = 2, 103 = 6, 104 = 4, 105 = 5, 106 = 1, .... Tome cada dígito del número en orden inverso, multiplicándolos sucesivamente por los dígitos 1, 3, 2, 6, 4, 5, repitiendo con esta secuencia de multiplicadores de tiempo que sea necesario, y la adición de los productos. El número original es divisible por 7 si y sólo si el número obtenido mediante este procedimiento es divisible por 7.

    Este método se puede simplificar mediante la eliminación de la necesidad de multiplicar. Todo lo que tomaría con esta simplificación es que memorizar la secuencia anterior, y para sumar y restar, pero siempre trabajando con números de un dígito.

    La simplificación es el siguiente:

    • Tomemos, por ejemplo, el número 371
    • Cambiar todas las apariciones de 7, 8 o 9 en 0, 1 y 2, respectivamente. En este ejemplo, obtenemos: 301. Este segundo paso puede ser omitido, a excepción de la izquierda más dígitos, pero después de que puede facilitar los cálculos más adelante.
    • Ahora convertir el primer dígito en el siguiente dígito en la secuencia 13264513 ... En nuestro ejemplo, 3 se convierte en 2.
    • Añadir el resultado en el paso anterior para el segundo dígito del número, y sustituir el resultado de los dos dígitos, dejando todos los dígitos que quedan sin modificar: 2 0 = 2 - Así que 301 se convierte en 21.
    • Repita el procedimiento hasta que haya un múltiplo reconocible de 7, o para asegurarse de que, un número entre 0 y 6 - Así que, a partir del 21, toma la primera cifra y convertirla en lo siguiente en la secuencia anterior: 2 pasa a ser 6 - A continuación, Agregue esto a la segunda cifra: 6 1 = 7.
    • Si en cualquier momento el primer dígito es 8 o 9, éstas se convierten en 1 o 2, respectivamente. Pero si es un 7 debe convertirse en 0, sólo si no hay otras cifras siguen. De lo contrario, simplemente se cae. Esto se debe a que el 7 se habría convertido en 0 y los números con un mínimo de dos dígitos antes del punto decimal no comienzan con 0, lo que no sirve para nada. De acuerdo con esto, nuestra 7 se convierte en 0.

    Si a través de este procedimiento se obtiene un 0 o cualquier múltiplo reconocible de 7, el número original es un múltiplo de 7 - Si usted obtiene un número del 1 al 6, que nos indicará cuánto debe restar de la cantidad original para obtener un múltiplo de 7 - En otras palabras, se encuentra el resto de dividir el número entre 7 - Por ejemplo, tome el número 186:

    • En primer lugar, cambiar la 8 en un 1: 116.
    • Ahora, cambie 1 en el siguiente dígito en la secuencia, añadirlo a la segunda cifra, y escribir el resultado en lugar de los dos: 3 1 = 4. Así se hace ahora 116 46.
    • Repita el procedimiento, ya que el número es mayor que 7 - Ahora, 4 se convierte en 5, lo que hay que añadir a 6 - Eso es 11.
    • Repetir el procedimiento una vez más: 1 se convierte en 3, que se añade a la segunda dígitos: 3 1 = 4.

    Ahora tenemos un número menor que 7, y este número es el resto de dividir 186/7 - Así que 186 menos 4, que es de 182, debe ser un múltiplo de 7.

    Nota: La razón por la que esto funciona es que si tenemos: a b = c y b es un múltiplo de cualquier número n, entonces A y C se produce necesariamente el mismo resto cuando se divide por n. En otras palabras, en 2 7 = 9, 7 es divisible por 7 - Así 2 y 9 deben tener el mismo recordatorio cuando dividido por 7 - El resto es 2.

    Por lo tanto, si un número n es un múltiplo de 7, a continuación, la adición de múltiplos de 7 no puede posiblemente cambiar esa propiedad.

    Lo que este procedimiento no, como se explicó anteriormente para la mayoría de las reglas de divisibilidad, es simplemente restar poco a poco múltiplos de 7 a partir del número original hasta llegar a un número que es lo suficientemente pequeño para nosotros recordar si se trata de un múltiplo de 7 - Si se convierte en un 1 3 en la siguiente posición decimal, que es lo mismo que la conversión de 1010N en un 310n. Y eso es en realidad lo mismo que restar 710n de 1010N.

    Del mismo modo, cuando se enciende un 3 a un 2 en la siguiente posición decimal, que está girando 3010n en 210n, que es el mismo que restar 3010n, 2810n, y esto es nuevo restando un múltiplo de 7 - Por la misma razón se aplica a todas las conversiones restantes:

    • 2010N - 610n = 1410n
    • 6010N - 410n = 5610n
    • 4010n - 510n = 3510n
    • 5010n - 110n = 4910n

    En primer ejemplo del método 1050? 105-0 = 105? 10 - 10 = 0. RESPUESTA: 1050 es divisible por 7.

    Ejemplo Segundo método 1050? 0501? 01 53 02 16 = 15 0 0 6 = 21. RESPUESTA: 1050 es divisible por 7.

    Método védico de divisibilidad por Divisibilidad osculation las siete se puede probar mediante la multiplicación por el Ekhadika. Convertir el divisor siete a la familia nueves multiplicando por siete. 77 = 49 - Añadir uno, descenso dígito de unidades y tomar la 5, la Ekhadika, ya que el multiplicador. Comience a la derecha. Multiplicar por 5, añadir el producto al siguiente dígito a la izquierda. Ajuste por ese resultado en una línea por debajo de ese dígito. Repita este método de multiplicar las cifras por cinco unidades y la adición de ese producto con el número de diez. Añadir el resultado al siguiente dígito a la izquierda. Anote ese resultado por debajo del dígito. Continúe hasta el final. Si el resultado final es cero o un múltiplo de siete, entonces sí, el número es divisible por siete. De lo contrario, no lo es. Esto sigue el ideal védico, la notación de una línea.

    Védica ejemplo del método:

     Es 438.722.025 divisible por siete? Multiplicador = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 5 42 37 46 37 6 40 37 27 SI

    Método Pohlman-Masa de divisibilidad por 7 El método Pohlman-Mass proporciona una solución rápida que puede determinar si la mayoría de los números enteros son divisibles por siete en tres pasos o menos. Este método podría ser útil en un concurso de matemáticas tales como MATHCOUNTS, donde el tiempo es un factor para determinar la solución sin una calculadora en la Ronda Sprint.

    Paso A: Si el entero es de 1.000 o menos, restar dos veces el último dígito del número de los dígitos restantes. Si el resultado es un múltiplo de siete, entonces también lo es el número original. Por ejemplo:

     112 -> 11 - = 11 - 4 = 7 SI 98 -> 9 - = 9 - 16 = -7 SI 634 -> 63 - = 63-8 = 55 NO

    Porque 1001 es divisible por siete, un patrón interesante desarrolla para repetir conjuntos de 1, 2 o 3 dígitos que un número de 6 dígitos del formulario en que todos esos números son divisibles por siete. Por ejemplo:

     001 001 = 1001/7 = 143 010 010 = 10 010/7 = 1 430 011 011 = 11 011/7 = 1 573 100 100 = 100 100/7 = 14 300 101 101 = 101 101/7 = 14 443 110 110 = 110 110/7 = 15 730 01 01 01 = 10 101/7 = 1,443 10 10 10 = 101 010/7 = 14 430 111 111/7 = 15 873 222 222/7 = 31 746 999 999/7 = 142 857 576 576/7 = 82 368

    Para todos los ejemplos anteriores, restando los primeros dígitos Ti de los últimos tres resultados en un múltiplo de siete. Observe que los ceros iniciales se les permite formar un patrón de 6 dígitos.

    Este fenómeno constituye la base para los pasos B y C.

    Paso B: Si el número entero es de entre 1.001 y un millón, encontrar un patrón de repetición de 1, 2, o 3 dígitos que forma un número de 6 dígitos que está cerca del número entero. Si la diferencia positiva es menor que 1000, aplicar el paso A. Esto se puede hacer mediante la sustracción de los tres primeros dígitos de los tres últimos dígitos. Por ejemplo:

     341.355 - 341.341 = 14 -> 1 - = 1-8 = -7 SI 67326 - 067 067 = 259 -> 25 - = 25-18 = 7 SI

    El hecho de que 999999 es un múltiplo de 7 se puede utilizar para la determinación de la divisibilidad de números enteros de más de un millón de mediante la reducción del número entero a un número de 6 dígitos que puede ser determinado usando la Etapa B. Esto se puede hacer fácilmente mediante la adición de los dígitos a la izquierda del los seis primeros en los últimos seis años y siga con el paso A.

    Paso C: Si el entero es mayor que un millón, resta el múltiplo más cercano de 999.999 y luego aplicar el paso B. Para los números aún más grandes, utilice conjuntos más grandes como 12 dígitos y así sucesivamente. Luego, divida el número entero en un número más pequeño que se puede resolver con el paso B. Por ejemplo:

     22862420 - = 22.862.420 - 21.999.978 -> 862 420 22 = 862 442 862 442 -> 862 a 442 = 420 -> 42 - 42 = SI

    Esto permite sumar y restar conjuntos alternados de tres dígitos para determinar la divisibilidad por siete. La comprensión de estos patrones permite calcular rápidamente la divisibilidad de siete años como se ve en los siguientes ejemplos:

    Método Pohlman-Masa de divisibilidad por 7, ejemplos:

     98 Es divisible por siete? 98 -> 9 - = 9 - 16 = -7 es sí 634 divisibles por siete? 634 -> 63 - = 63-8 = 55 NO ¿355.341 divisible por siete? 355.341 - 341.341 = 14.000 -> 014 a 000 -> 14 = 1 - = 1-8 = -7 YES es 42341530 divisible por siete? 42341530 -> 341 530 42 = 341 572 341 572 - 341 341 = 231 231 -> 23 - = 23-2 = 21 Usando SÍ adiciones alternantes rápidos y sustracciones: 42341530 -> 530 a 341 = 189 42 = 231 -> 23 - 21 = SÍ

    La multiplicación por 3 método de divisibilidad por 7, ejemplos:

     98 Es divisible por siete? 98 -> 9 resto 2 -> 23 8 = 14 es afirmativa 634 divisibles por siete? 634 -> 63 3 = 21 -> resto 0 -> 03 4 = 4 NO ¿355.341 divisible por siete? 3 * 3 5 = 14 -> resto 0 -> 03 5 = 5 -> 53 3 = 18 -> resto 4 -> 43 4 = 16 -> resto 2 -> 2 3 1 = 7 SI Encontrar resto de 1,036,125,837 dividido por 7 13 0 = 3 33 3 = 12 resto 5 53 6 = 21 resto 0 03 1 = 1 13 2 5 = 53 5 = 20 resto 6 63 8 = 26 resto 5 53 3 = 18 resto 4 43 7 = 19 restante 5 respuesta es 5

    Encontrar resto de un número cuando se divide por 7

    7 - Período: 6 dígitos. Números recurrentes: 1, 3, 2, -1, -3, -2 mínima magnitud secuencia Periodo: 6 dígitos. Números recurrentes: 1, 3, 2, 6, 4, 5 de secuencia positiva

    Multiplica el dígito de la izquierda dígito en la secuencia y multiplicar el segundo derecho más dígitos de la segunda a la izquierda dígito en la secuencia y así sucesivamente y así para. A continuación, calcular la suma de todos los valores y tomar el módulo de 7. Ejemplo: ¿Qué es lo que queda cuando 1036125837 se divide por 7? La multiplicación de la derecha dígito = 1 7 = 7 multiplicación del segundo dígito más a la derecha 3 = 3 = 9 Tercera derecha dígito = 8 2 = 16 Cuarto dígito más a la derecha = 5 -1 = -5 V = 2 dígitos más a la derecha - 3 = -6 sexto dígito más a la derecha = 1 -2 = -2 séptimo dígito más a la derecha = 6 1 = 6 Octavo dígito más a la derecha 3 = 3 = 9 noveno dígito más a la derecha = 0 décimo dígito más a la derecha = 1 -1 -1 = Sum = 33 33 módulo 7 = 5 El resto = 5

    Método par de dígitos de divisibilidad por 7

    Este método utiliza 1, -3, 2 patrón en los pares de dígitos. Es decir, la divisibilidad de cualquier número por siete puede ser probada por primera separar el número en pares de dígitos, y luego aplicar el algoritmo en tres pares de dígitos. Cuando el número es menor que seis dígitos, a continuación, llenar ceros a la derecha hasta que hay seis dígitos. Cuando el número es mayor de seis dígitos, y luego repetir el ciclo en el siguiente grupo de seis dígitos y luego sume los resultados. Repetir el algoritmo hasta que el resultado es un número pequeño. El número original es divisible por siete si y sólo si el número obtenido usando este algoritmo es divisible por siete. Este método es especialmente adecuado para grandes cantidades.

    Ejemplo 1: El número a ser probado es 157514 - Primero separamos el número en tres pares de dígitos: 15, 75 y 14. A continuación, se aplica el algoritmo: en 15-3, 75 2 = 14 182 182 Debido a que el resultado sea inferior a seis dígitos, se añade ceros a la derecha hasta que es de seis dígitos. Luego aplicamos nuestro algoritmo nuevo: enero 18 a marzo 20 2 = 0 -42 -42 El resultado es divisible por siete, por lo tanto el número original 157514 es divisible por siete.

    Ejemplo 2: El número a ser probado es 15751537186. = -180 103 = -77 -77 El resultado es divisible por siete, por lo tanto el número original 15751537186 es divisible por siete.

    Divisibilidad por 13

    Prueba resto 13 Si usted no se siente cómodo con los números negativos, a continuación, utilizar esta secuencia.

    Multiplica el dígito del número con la izquierda mayor número en la secuencia mostrada arriba y el segundo dígito más a la izquierda segundo dígito del número de la secuencia. El ciclo continúa.

    Ejemplo: ¿Qué es lo que queda cuando 321 se divide por 13? Con la primera secuencia, Ans: 1 1 2 3 -3 -4 = 9 Resto = -17 mod 13 = 9

    Ejemplo: ¿Qué es lo que queda cuando 1234567 se divide por 13? Uso de la segunda secuencia, respuesta: 7 1 6 10 5 9 4 12 3 3 4 2 1 1 = 178 mod 13 = 9 El resto = 9

    Más allá de 20

    Propiedades de divisibilidad se pueden determinar de dos maneras, dependiendo del tipo del divisor.

    Divisores compuestos

    Un número es divisible por un divisor dado si es divisible por la mayor potencia de cada uno de sus factores primos. Por ejemplo, para determinar la divisibilidad por 24, comprobar la divisibilidad por 8 y por 3. Tenga en cuenta que el control de 4 y 6, o 2 y 12, no sería suficiente. Una tabla de factores primos puede ser útil.

    Un divisor de material compuesto también puede tener una regla formada usando el mismo procedimiento que para un divisor primo, dada a continuación, con la salvedad de que las manipulaciones implicadas pueden no introducir ningún factor que está presente en el divisor. Por ejemplo, no se puede hacer una regla de 14 que consiste en multiplicar la ecuación por 7 - Esto no es un problema para los divisores primos, ya que no tienen factores de menor tamaño.

    Divisores primos

    El objetivo es encontrar un inverso al módulo 10 del primer y usar eso como un multiplicador para que la divisibilidad del número original por que prime dependerá de la divisibilidad del nuevo número de la misma prima. Usando 17 como ejemplo, ya que 10 = -50 = 1 mod 17, obtenemos la regla para el uso y - 5x en la tabla anterior. De hecho, esta norma de divisores primos, además de 2 y 5 es realmente una regla de divisibilidad por cualquier número entero primo con 10. Esta es la razón por la última condición de la divisibilidad en las tablas de arriba y abajo para cualquier número primo con 10 tiene el mismo tipo de formulario.

    Ejemplos notables

    La siguiente tabla proporciona las reglas para unos divisores más notables:

    Regla de la divisibilidad Generalizado

    Para la prueba de divisibilidad por D, donde D termina en 1, 3, 7, o 9, el siguiente método puede ser utilizado. Busque cualquier múltiplo de D termina en 9 - A continuación, añadir 1 y dividir por 10, lo que denota el resultado como m. A continuación, un número N = 10t q es divisible por D si y sólo si mq t es divisible por D.

    Por ejemplo, para determinar si 913 = 1091 3 es divisible por 11, encontrar que m = 10 = 10 - Entonces MQ t = 103 91 = 121, lo que es divisible por 11, por lo que 913 es también divisible por 11 - Como otro ejemplo, para determinar si 689 = 1068 9 es divisible por 53, encontrar que m = 10 = 16 - Entonces MQ T = 169 68 = 212, que es divisible por 53 , de modo que 689 también es divisible por 53.

    Pruebas

    Prueba utilizando el álgebra básica

    Muchas de las reglas más simples se pueden producir usando solo la manipulación algebraica, la creación de binomios y reordenarlos. Al escribir un número como la suma de cada dígito veces una potencia de alimentación 10 de cada dígito puede ser manipulado de forma individual.

    Caso en el que se resumen todos los dígitos

    Este método funciona para divisores que son factores de 10 - 1 = 9.

    Uso de 3 como un ejemplo, 3 divide 9 = 10 - 1 - Que medios. Lo mismo para todas las potencias más altas de 10: Ellos son todos congruentes con 1 módulo 3 - Desde dos cosas que son congruentes módulo 3 son ambos divisible por 3 o ambos no, que pueden intercambiar los valores que son congruentes módulo 3 - Por lo tanto, en un número como el siguiente, que puede sustituir a todas las potencias de 10 por 1:

    que es exactamente la suma de los dígitos.

    Caso en que se utiliza la suma alterna de dígitos

    Este método funciona para divisores que son factores de 10 1 = 11.

    Usando 11 como un ejemplo, se divide 11 11 = 10 1 - Eso significa. Para los poderes superiores de 10, que son congruentes a 1, incluso para los poderes y congruente a -1 para potencias impares:

    Al igual que el caso anterior, podemos sustituir potencias de 10 con valores congruentes:

    que es también la diferencia entre la suma de los dígitos en las posiciones impares y la suma de los dígitos en las posiciones pares.

    Caso en que sólo la última cuestión dígitos

    Esto se aplica a los divisores que son un factor de un poder de 10 - Esto es porque suficientemente altas potencias de la base son múltiplos de el divisor, y puede ser eliminado.

    Por ejemplo, en la base 10, los factores de 101 incluyen 2, 5, y 10 - Por lo tanto, la divisibilidad por 2, 5, y 10 sólo dependerá de si el último dígito 1 es divisible por los divisores. Los factores de la 102 son 4 y 25, y la divisibilidad por aquellos sólo dependen de los 2 últimos dígitos.

    Caso en que sólo el último dígito se eliminan

    La mayoría de los números no se dividen 9 o 10 de manera uniforme, pero no se dividen un poder superior de 10N o 10N - 1 - En este caso el número es todavía escrito en potencias de 10, pero no totalmente expandido.

    Por ejemplo, 7 no divide a 9 o 10, pero no división 98, que es cerca de 100. Por lo tanto, proceder a partir de

    donde en este caso a es cualquier número entero, y B puede variar de 0 a 99 - A continuación,

    y de nuevo en expansión

    y después de eliminar el múltiplo conocido de 7, el resultado es

    que es la regla de "el doble del número formado por todos menos los dos últimos dígitos, a continuación, añadir los dos últimos dígitos".

    Caso en que la última cifra se multiplica por un factor de

    La representación del número también puede ser multiplicado por cualquier número primo con el divisor sin cambiar su divisibilidad. Después de observar que 7 divisiones 21, podemos hacer lo siguiente:

    después de multiplicar por 2, esto se convierte

    y luego

    La eliminación de la 21 da

    y multiplicando por -1 da

    Cualquiera de las dos últimas reglas pueden utilizarse, dependiendo de que es más fácil de realizar. Corresponden a la regla de "restar dos veces el último dígito del resto".

    Prueba utilizando aritmética modular

    Esta sección ilustrará el método básico, todas las reglas se pueden obtener siguiendo el mismo procedimiento. El siguiente requiere conocimientos básicos de aritmética modular, por la divisibilidad que no sea un 2 y de 5 está el resto pruebas en el hecho básico de que 10 mod m es invertible si y 10 m son primos entre sí.

    Para 2n o 5n:

    Sólo los últimos n dígitos deben ser verificados.

    X Representar como

    y la divisibilidad de x es el mismo que el de z.

    Para 7:

    Desde 10 5 = 10 = 1, se puede hacer lo siguiente:

    X Representar como

    por lo que x es divisible por 7 si y sólo si y - 2z es divisible por 7.

    Notas

  • ^ ABCDEFGHIJKLMNOP Así se desprende del criterio de Pascal. Ver Kisacanin, p. 100-101
  • ^ ABCDEFGHIJKLMNO Un número es divisible por 2 m, 5 mo 10 m si y sólo si el número formado por los últimos dígitos m es divisible por ese número. Ver Richmond y Richmond, p. 105
  • ^ A b Apostol, p. 108
  • ^ A b c d Richmond y Richmond, Sección 3.4, p. 102-108
  • ^ Abcdefghijkl Richmond y Richmond, Sección 3.4, el teorema 3.4.3, p. 107
  • ^ A b Kisacanin, p. 101
  • ^ Http://www.tavas.net/index.php?op=NEArticle\u0026sid=3358 Nueva divisibilidad por 13 regla fue encontrado por Ethem Deynek, profesor de turco
  • ^ Su, Francis E. "" Divisibilidad por siete "Mudd Datos matemáticas de la diversión". Consultado el 2006-12-12.
  • ^ Página 274, Matemáticas védicas: Dieciséis Fórmulas matemáticas simple, por el Swami Sankaracarya, publicado por Motilal Banarsidass, Varanasi, India, 1965, Delhi de 1978 - 367 páginas.
  • ^ Dunkels, Andrejs, "Comentarios sobre la nota 82.53: un examen generalizado de divisibilidad", Gaceta Matemática 84, marzo de 2000, 79-81.