Principio de la indiferencia, Ejemplos, Aplicación a las variables continuas



El principio de la indiferencia es una regla para asignar probabilidades epistémicas. Supongamos que hay n posibilidades> 1 mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. El principio de la indiferencia que si las posibilidades n son indistinguibles excepto por sus nombres, a continuación, cada posibilidad se debe asignar una probabilidad igual a 1/n.

En probabilidad bayesiana, este es el más simple no informativa antes. El principio de la indiferencia no tiene sentido bajo la interpretación frecuencial de la probabilidad, en el que las probabilidades son frecuencias relativas en lugar de grados de creencia en proposiciones inciertas, al requisito de que un estado de la información.

Ejemplos

Los ejemplos de libros de texto para la aplicación del principio de indiferencia son monedas, dados, y las tarjetas.

En un sistema macroscópico, al menos, se debe suponer que las leyes físicas que rigen el sistema no se conocen lo suficientemente bien como para predecir el resultado. Como se observó hace algunos siglos por John Arbuthnot,

 Es imposible que un dado, con tal fuerza y dirección determin'd, para no caer en tal lado determin'd, sólo que no sé la fuerza y la dirección que lo hace caer en tal lado determin'd, y por lo tanto llamarlo suerte, que no es sino la falta de arte ....

Con suficiente tiempo y recursos, no hay ninguna razón fundamental para suponer que las mediciones adecuadamente precisos no se podrían hacer, lo que permitiría la predicción de los resultados de las monedas, dados, y las tarjetas con alta precisión: el trabajo de Persi Diaconis con máquinas de monedas flipping es un ejemplo práctico de esto.

Monedas

Una moneda tiene dos caras simétricas, cabezas y colas marcadas arbitrariamente. Suponiendo que la moneda debe caer en un lado o el otro, los resultados de un sorteo se excluyen mutuamente, exhaustiva e intercambiables. De acuerdo con el principio de indiferencia, se asigna a cada uno de los posibles resultados de una probabilidad de 1/2.

Está implícito en este análisis que las fuerzas que actúan sobre la moneda no se conocen con precisión. Si el impulso impartido a la moneda, ya que se puso en marcha se conoce con suficiente precisión, el vuelo de la moneda podría ser predicha de acuerdo con las leyes de la mecánica. Por lo tanto la incertidumbre en el resultado del lanzamiento de una moneda se deriva de la incertidumbre con respecto a las condiciones iniciales. Este punto se discute con mayor detalle en el artículo sobre la moneda de volteo.

También hay un tercer resultado posible: la moneda podría aterrizar en su borde. Sin embargo, el principio de la indiferencia no dice nada acerca de este resultado, ya que la cabeza de las etiquetas, la cola, y el borde no son intercambiables. Se podría argumentar, sin embargo, que la cabeza y la cola siguen siendo intercambiables, y por lo tanto, Pr y Pr son iguales, y ambos son iguales a 1/2.

Dados

A los dados simétrica tiene n caras, marcadas arbitrariamente entre 1 y n. Dados cúbicos ordinarios han n = 6 caras, aunque dados simétricos con diferente número de caras pueden ser construidos; ver dados. Suponemos que la matriz debe aterrizar en una cara u otra, y no hay otros resultados posibles. Aplicando el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los posibles resultados de una probabilidad de 1/n.

Como con las monedas, se asume que las condiciones iniciales de tirar los dados no se conocen con la suficiente precisión para predecir el resultado de acuerdo con las leyes de la mecánica. Dados se lanzan generalmente con el fin de recuperarse en una mesa u otra superficie. Esta interacción hace que la predicción del resultado mucho más difícil.

Tarjetas

Una baraja contiene 52 cartas, cada uno dado un sello único en forma arbitraria, es decir, ordenó arbitrariamente. Sacamos una carta de la baraja, la aplicación del principio de indiferencia, se asigna a cada uno de los posibles resultados de una probabilidad de 1/52.

En este ejemplo, más que los otros, muestra la dificultad de que se aplique efectivamente el principio de indiferencia en situaciones reales. Lo que realmente queremos decir con la frase "arbitraria ordenada" es simplemente que no tenemos toda la información que nos llevaría a favor de una tarjeta en particular. En la práctica, esto no suele ser el caso, una nueva baraja de cartas no es ciertamente en orden arbitrario, y tampoco es una cubierta inmediatamente después de una mano de cartas. En la práctica, por lo tanto, barajar las cartas, lo que no destruye la información que tenemos, sino que hace que nuestra información prácticamente inutilizable, aunque todavía se puede utilizar en principio. De hecho, algunos expertos jugadores de blackjack pueden rastrear ases de la baraja, para ellos, la condición para aplicar el principio de indiferencia no es satisfecho.

Aplicación a las variables continuas

Aplicando el principio de indiferencia incorrectamente puede llevar fácilmente a resultados sin sentido, sobre todo en el caso de múltiples variables, las variables continuas. Un caso típico de uso indebido es el siguiente ejemplo.

  • Supongamos que hay un cubo escondido en una caja. Una etiqueta en la caja dice que el cubo tiene una longitud lateral de entre 3 y 5 cm.
  • No sabemos la longitud del lado real, pero podemos asumir que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 4 cm.
  • La información en la etiqueta nos permite calcular que el área de la superficie del cubo es de entre 54 y 150 cm. No sabemos la superficie real, pero podemos asumir que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 102 cm.
  • La información de la etiqueta nos permite calcular que el volumen del cubo es de entre 27 y 125 cm3. No sabemos el volumen real, pero podemos asumir que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 76 cm3.
  • Sin embargo, ahora hemos llegado a la conclusión imposible que el cubo tiene una longitud lateral de 4 cm, con una superficie de 102 cm, y un volumen de 76 cm3!

En este ejemplo, las estimaciones mutuamente contradictorias de la longitud, área superficial, y el volumen del cubo surgen porque hemos asumido tres distribuciones mutuamente contradictorios para estos parámetros: una distribución uniforme para cualquiera de las variables implica una distribución no uniforme de la otra dos. En general, el principio de la indiferencia no indica qué variable es tener una distribución de probabilidad uniforme epistémica.

Otro ejemplo clásico de este tipo de mal uso es la paradoja de Bertrand. Edwin T. Jaynes introdujo el principio de grupos de transformación, que puede producir una distribución de probabilidad epistémica para este problema. Esto generaliza el principio de indiferencia, diciendo que uno es indiferente entre problemas equivalentes en lugar de indiferencia entre proposiciones. Esto reduce aún con el principio de la indiferencia ordinaria cuando se considera una permutación de las etiquetas como la generación de problemas equivalentes. Para aplicar esto al ejemplo cuadro de arriba, tenemos tres problemas, sin ninguna razón para pensar que uno de los problemas es "nuestro problema" más que cualquier otro - que son indiferentes entre sí. Si no tenemos ninguna razón para favorecer a uno sobre el otro, entonces nuestras probabilidades previas deben estar relacionados por la regla para cambiar las variables de distribuciones continuas. Sea L la longitud, y V el volumen. Entonces tenemos que tener

Que tiene una solución general: donde K es una constante arbitraria, determinado por el rango de L, en este caso igual a:

Para ponerlo "a prueba", que pide la probabilidad de que la duración es inferior a 4 - Esto no tiene probabilidad de:

El "principio de razón suficiente" pasó a llamarse "principio de indiferencia" por el economista John Maynard Keynes, quien tuvo el cuidado de señalar que sólo se aplica cuando no hay conocimiento que indica probabilidades desiguales.

Los intentos de poner la idea en un terreno más firme filosófica han comenzado generalmente con el concepto de equipossibility y progresado desde que equiprobabilidad.

El principio de indiferencia se puede dar una justificación más profunda lógica observando que los estados equivalentes de conocimiento se deben asignar probabilidades epistémicas equivalentes. Este argumento fue propuesto por E. T. Jaynes: lleva a dos generalizaciones, a saber, el principio de la transformación de los grupos como en las anteriores Jeffreys, y el principio de máxima entropía.

En términos más generales, se habla de los priores no informativos.